高三数学一轮复习单元练习题函数Ⅰ.doc
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高三数学单元练习题：
函数（Ⅰ）
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、函数的定义域为▲。
2、设f（x）＝，则f[f（）]＝▲。
3、已知的定义域为，则的定义域为▲。
4、若，，，则a、b、c从大到小的顺序是▲。
5、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式▲。
6、若不等式｜3x－b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为▲。
7、定义运算法则如下：
则M＋N＝▲。
8、设，函数，则使的取值范围是▲。
9、设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是▲。
10、设方程的解为,则关于的不等式的最大整数解为▲。
11、若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是▲。
12、设，则对任意实数，是的
▲条件。
13、已知函数的图象如左图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是▲。
－2
2
O
1
－1
－1
1
O
－2
2
1
－1
－2
1
2
O
－2
－2
2
1
－1
1
2
O
－2
4
1
－1
－2
1
2
O
－2
2
－1
2
4
A
B
C
D
（）
（）
（）
（）
14、是实数,函数.如果函数在区间[－1,1]上有零点,则的取值范围是▲。
二、解答题：
本大题共6小题，共90分。
请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（－x＋5）＝f（x－3），且方程f（x）＝x有两个相等的实根。
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m,n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在,求出m,n的值，若不存在,请说明理由。
图1
图2
16、某投资公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：
利润与投资量单位：
万元）
（1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：
怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？
其最大利润为多少万元？
17、设函数．
（1）求的最小值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
18、已知函数
（1）若为奇函数，求a的值.
（2）将的图象向右平移两个单位，得到的图象．求函数的解析式；
（3）若函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
（4）设的最大值是，且求实数的取值范围．
19、设、是函数的两个极值点.
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求的最大值；
（3）设函数，，当时，求证：
。
20、已知函数的定义域为，且同时满足：
①；②恒成立；③若，则有。
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较与的大小N）；
（3）某人发现：
当x＝（nÎN）时，有f（x）<2x＋2.由此他提出猜想：
对一切xÎ（0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由。
参考答案
一、填空题：
1、函数的定义域为▲。
（1,3）
2、设f（x）＝，则f[f（）]＝▲。
3、已知的定义域为，则的定义域为▲。
4、若，，，则a、b、c从大到小的顺序是▲。
a>b>c
5、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式．▲条件。
6、若不等式｜3x－b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为▲。
（5，7）
7、定义运算法则如下：
则M＋N=▲。
8、设，函数，则使的取值范围是▲。
解析：
因为，由得：
，即：
，所以，故，故选C．▲。
9、设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是▲。
•
（A）且（B）且
（C）且（D）且
解析：
由图象知要使方程有7解，应有有3解，有4解．则，选C．
10、已知函数的图象如左图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是▲。
C
－2
2
O
1
－1
－1
1
O
－2
2
1
－1
－2
1
2
O
－2
－2
2
1
－1
1
2
O
－2
4
1
－1
－2
1
2
O
－2
2
－1
2
4
A
B
C
D
（）
（）
（）
（）
11、设方程的解为,则关于的不等式的最大整数解为___▲___。
4
12、若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是____▲____。
13、设，则对任意实数，是的▲条件。
充要
14、是实数,函数.如果函数在区间[－1,1]上有零点,则的取值范围是▲。
二、解答题：
15、已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
解：
（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．
从而．
当时，有相同的结果．
所以．
已知二次函数f（x）=x2＋bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（－x＋5）=f（x－3），且方程f（x）=x有两个相等的实根。
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m,n（m16、知：
函数，，且方程有实根。
（１）求证：
且；
（２）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。
【解析】：
（1），
又c＜b＜1，故
方程f（x）＋1＝0有实根，即有实根，故△＝
即或
又c＜b＜1，得－3＜c≤－1，由知．
（2），，
∴ c＜m＜1 ∴ ，
∴ ，∴ 的符号为正。
17、设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：
（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
18、已知f（x）=（x∈R）在区间[－1，1]上是增函数.，
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2.试问：
是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？
若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：
（1）f＇（x）==，
∵f（x）在[－1，1]上是增函数，
∴f＇（x）≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①
设j（x）=x2－ax－2，
①
－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f＇（－1）=0以及当a=－1时，f＇
（1）=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（2）由=，得x2－ax－2=0，∵△=a2＋8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1＋x2=a，
∴从而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1－x2|=≤3.
要使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2＋tm＋1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2＋tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②
设g（t）=m2＋tm－2=mt＋（m2－2），
方法一：
g（－1）=m2－m－2≥0，
②
g
（1）=m2＋m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0，m<0，
②或
g（－1）=m2－m－2≥0g
（1）=m2＋m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
19、设、是函数的两个极值点.
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求的最大值；
（3）设函数，，当时，求证：
.
【解析】：
（I）∵，∴
依题意有，∴.
解得，∴.
（II）∵,
依题意，是方程的两个根，且，
∴。
即：
，
∴。
∵，∴.
设，则.
由得，由得.
即：
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，
∴的最大值为.
（III）证明：
∵是方程的两根，
∴.
∵，，∴.
∴
∵，即∴
∴
.
∴
20、已知函数的定义域为，且同时满足：
①；②恒成立；③若，则有．
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较与的大小N）；
（3）某人发现：
当x=（nÎN）时，有f（x）<2x＋2.由此他提出猜想：
对一切xÎ（0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
解:
（1）设0≤x1由条件③得,f（x2）=f（x1＋t）³f（x1）＋f（t）－2,
∴f（x2）－f（x1）³f（t）－2,
由条件②得,f（x2）－f（x1）³0,
故当0≤x≤1时,有f（0）≤f（x）≤f
（1）.
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f
（1）³f
（1）＋f（0）－2,即f（0）≤2,∴f（0）=2,
故函数f（x）的最大值为3,最小值为2.
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