届高三数学第一次统练一模试题 理.docx

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届高三数学第一次统练一模试题理

北京市顺义区2018届高三数学第一次统练（一模）试题理

第Ⅰ卷（选择题共40分）

1、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设

为虚数单位，则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2.已知集合

，

，则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）

（A）15

（B）21

（C）24

（D）35

5.已知向量

，

，其中

.则“

”是“

”成立的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

6.直线

：

（

为参数）与圆

：

（

为参数）

的位置关系是（）

（A）相离

（B）相切（C）相交且过圆心（D）相交但不过圆心

7.在平面直角坐标系中，若不等式组

（

为常数）表示的区域面积等于

，则

的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

8.如图，已知平面

=

，

.

是直线

上的两点，

是平面

内的两点，且

，

，

，

.

是平面

上的一动点，

且有

，则四棱锥

体积的

最大值是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

2、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.

的展开式中

的系数为

（用数字作答）.

10.抛物线

的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形面积为

11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是

（单位:

）.

12.已知函数

则

的最小值

为．

13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂）,要

求此患者每天早、晚间隔

小时各服一次药，每次一片，每片

毫克．假设该患者的肾脏每

小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的

，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过

毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午

点第一次服药，则第二天上午

点服完药时，药在其体内的残留量是

毫克，若该患者坚持长期服用此药

明显副作用（此空填“有”或“无”）.

14..设

是空间中给定的

个不同的点，则使

成立的点

的个数有

个.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数

，

.

（Ⅰ）求函数

的最大值；

（Ⅱ）若

，求函数

的单调递增区间.

16.（本小题满分13分）

在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了

两个问题，规定：

被抽签抽到的答题同学，答对问题

可获得

分，答对问题

可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后

，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对

问题的概率分别为

.

（Ⅰ）记甲先回答问题

再回答问题

得分为随机变量

，求

的分布列和数学期望；

（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？

请说明理由.

17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥

中，等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,

为

的中点，

为

的中点，且

（Ⅰ）求证：

平面

；

（Ⅱ）求二面角

的余弦值；

（Ⅲ）在线段

上是否存在点

，使线段

与

所在平面成

角.若存在，

求出

的长,若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数

.

（Ⅰ）求曲线

在点

处的切线方程；

（Ⅱ）设

，若函数

在

上（这里

）恰有两个不同的零点,求实数

的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率

，且点

在椭圆

上.

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）直线

与椭圆

交于

、

两点，且线段

的垂直平分线经过点

.

求

（

为坐标原点）面积的最大值.

20.（本小题满分14分）

在数列

中，

，

，其中

，

.

（Ⅰ）当

时，求

的值；

（Ⅱ）是否存在实数

，使

构成公差不为0的等差数列？

证明你的结论；

（Ⅲ）当

时，证明：

存在

，使得

.

顺义区2018届高三第一次统练数学试卷（理科）

参考答案及评分标准

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C；2.B；3.B；4.C；5.A；6.D；7.B；8.A.

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.

;10.

;11.

;12.

；13.

无.14.

.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）由已知

【3分】

【6分】

当

，即

，

时，

【7分】

（Ⅱ）

当

时，

递增【9分】

即

，令

，且注意到

函数

的递增区间为

【13分】

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）

的可能取值为

.【2分】

，

，

【5分】

分布列为：

.【7分】

（Ⅱ）设先回答问题

，再回答问题

得分为随机变量

，则

的可能取值为

.

，

，

，【10分】

分布列为：

.

【12分】

应先回答

所得分的期望值较高.【13分】

17.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）

是等边三角形，

为

的中点,

平面

平面

，

是交线，

平面

平面

.【4分】

（Ⅱ）取

的中点

，

底面

是正方形，

，

两两垂直.

分别以

的方向为

轴、

轴、

轴

的正方向建立空间直角坐标系，

则

【5分】

，

，

，

设平面

的法向量为

，

，

，

，

平面

的法向量即为平面

的法向量

.

由图形可知所求二面角为锐角，

【9分】

（Ⅲ）方法1：

设在线段

上存在点

，

，

使线段

与

所在平面成

角，

平面

的法向量为

，

，

，解得

，适合

在线段

上存在点

，当线段

时，与

所在平

面成

角.【13分】

方法2：

由（Ⅰ）知

平面

，

，

平面

.

设在线段

上存在点

使线段

与

所在平面成

角，

连结

，由线面成角定义知：

即为

与

所在平面所成的角,

当线段

时，与

所在平

面成

角.

18.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）函数定义域为

【1分】

，

【2分】

又

，

所求切线方程为

，即

【5分】

（Ⅱ）函数

在

上恰有两个不同的零点，

等价于

在

上恰有两个不同的实根，【8分】

等价于

在

上恰有两个不同的实根，

令

则

当

时，

，

在

递减；

当

时，

，

在

递增.

故

，又

.【11分】

，

，

即

【13分】

19.（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由已知

，

【2分】

点

在椭圆上，

，解得

.

所求椭圆方程为

【4分】

（Ⅱ）设

，

，

的垂直平分线过点

的斜率

存在.

当直线

的斜率

时，

当且仅当

时，

【6分】

当直线

的斜率

时，设

.

消去

得：

由

.

①【8分】

，

，

的中点为

由直线的垂直关系有

，化简得

②

由①②得

【10分】

又

到直线

的距离为

，

【12分】

，

时，

.

由

，

，解得

；

即

时，

；

综上：

；【14分】

20.（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）

，

，

.【3分】

（Ⅱ）

成等差数列，

，

即

，

，即

.

，

.

将

，

代入上式，解得

.【7分】

经检验，此时

的公差不为0.

存在

，使

构成公差不为0的等差数列.【8分】

（Ⅲ）

又

，

令

.【10分】

由

，

，

……

，

将上述不等式相加，得

，即

.【12分】

取正整数

，就有

.【14分】