梯形积分和3点Gauss积分2.docx
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梯形积分和3点Gauss积分2
实验六
一、实验名称
复合梯形积分和复化3点Gauss积分计算数值积分
二、实验目的与要求：
实验目的:
掌握复合梯形积分和复化3点Gauss积分算法。
实验要求：
1.给出复合梯形积分和复化3点Gauss积分算法思路，
2.用C语言实现算法，运行环境为MicrosoftVisualC++。
三、算法思路：
1．复合梯形积分
我们把整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=0，1,2,…,n，其中x0=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题：
当这n+1个结点为等距结点时，即
，i=0,1,2,…,n，复化梯形公式的形式是
算法：
inputn
fori=1tondo
enddo
outputS
2．复化3点Gauss积分
根据书上6.8节定理5，可以用递推法求正交多项式如下：
，
，
，
求
的根，得到
，
，
，则积分可近似表示为如下形式
，将
带入其中得到
，带入上式得到复化3点Gauss积分公式。
分别在每个小区间上应用三点Gauss积分并求和，便得到复合三点Gauss积分法数值积分值。
算法：
inputn,a,b
h=（a+b）/2
fori=1ton
do
，
，
，
enddo
outputS
四、实验题目：
为了方便起见，我们采取复合梯形积分的方法取N充分大时（这里取N等于2的20次方）得到的积分值近似看作积分的真实值，因为题中的积分函数在积分闭区域上是一致连续的，所以由黎曼积分的定义知在N充分大的情况下，复化梯形积分的值充分接近原积分值，故我们这样做是合理的。
五、问题的解：
编写程序（程序见后面附录），输出结果如下：
为了便于看清数值积分结果与原函数积分实际结果的差异。
我在运行程序时故意计算了一下原函数积分的近似真实结果。
分析并比较得到的数据可以看出，当k越来越大时，error1和error2越来越接近于零，数值积分的结果越来越靠近原函数积分实际结果，并且error2比error1更快地接近于零。
误差比率总是大于零的，当误差比率越大，误差减小得越快。
复合梯形积分的误差项是
.，
，当h趋于零时，显然积分的误差项更快地趋于零，实验结果复符合这一结论。
观察复化3点Gauss积分结果，发现每个结果的误差已经早早地为零了，而三个复合梯形积分的误差还是大于零的，所以我们可以得到结论，使用复化3点Gauss积分能够更精确地得到积分值。
六、附录：
实验编程，运行环境为MicrosoftVisualC++
第一个积分的程序：
#include
#include
#include
doublef（doublex）//定义函数f（x）//
{
doubley;
y=exp（-x*x）;
return（y）;
}
doubleR（intN,doublea,doubleb）//建立复合梯形积分//
{
doubles,h;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
s=s+h*（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））/2.0;
}
return（s）;
}
doubleT（intN,doublea,doubleb）//建立复化3点Gauss积分//
{
doubles,h,A1,A2,A3,x1,x2,x3;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
A1=A3=5.0*h/18.0;A2=4.0*h/9.0;
x1=a+（i-1/2.0）*h-sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
x2=a+（i-1/2.0）*h;
x3=a+（i-1/2.0）*h+sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
s=s+A1*f（x1）+A2*f（x2）+A3*f（x3）;
}
return（s）;
}
voidmain（）//main函数进行最终运算并输出结果//
{
intk,N;
doubles1[8],s2[8],s,error1[8],error2[8];
printf（"对第一个积分\n"）;
s=R（pow（2,20）,0.0,1.0）;
printf（"s1代表复合梯形积分\n"）;
error1[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s1[k]=R（N,0.0,1.0）;
error1[k]=fabs（s1[k]-s）;
printf（"N=%d,s1=%.12f,error1=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s1[k],error1[k],error1[k-1]/error1[k]）;
}
printf（"\ns2代表复化3点Gauss积分\n"）;
error2[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s2[k]=T（N,0.0,1.0）;
error2[k]=fabs（s2[k]-s）;
printf（"N=%d,s2=%.12f,error2=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s2[k],error2[k],error2[k-1]/error2[k]）;
}
}
第二个积分的程序：
#include
#include
#include
doublef（doublex）//定义函数f（x）//
{
doubley;
y=1.0/（1.0+x*x）;
return（y）;
}
doubleR（intN,doublea,doubleb）//建立复合梯形积分//
{
doubles,h;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
s=s+h*（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））/2.0;
}
return（s）;
}
doubleT（intN,doublea,doubleb）//建立复化3点Gauss积分//
{
doubles,h,A1,A2,A3,x1,x2,x3;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
A1=A3=5.0*h/18.0;A2=4.0*h/9.0;
x1=a+（i-1/2.0）*h-sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
x2=a+（i-1/2.0）*h;
x3=a+（i-1/2.0）*h+sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
s=s+A1*f（x1）+A2*f（x2）+A3*f（x3）;
}
return（s）;
}
voidmain（）//main函数进行最终运算并输出结果//
{
intk,N;
doubles1[8],s2[8],s,error1[8],error2[8];
printf（"对第二个积分\n"）;
s=R（pow（2,20）,0.0,4.0）;
printf（"s1代表复合梯形积分\n"）;
error1[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s1[k]=R（N,0.0,4.0）;
error1[k]=fabs（s1[k]-s）;
printf（"N=%d,s1=%.12f,error1=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s1[k],error1[k],error1[k-1]/error1[k]）;
}
printf（"\ns2代表复化3点Gauss积分\n"）;
error2[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s2[k]=T（N,0.0,4.0）;
error2[k]=fabs（s2[k]-s）;
printf（"N=%d,s2=%.12f,error2=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s2[k],error2[k],error2[k-1]/error2[k]）;
}
}
第三个积分的程序：
#include
#include
#include
#definePI3.1415926
doublef（doublex）//定义函数f（x）//
{
doubley;
y=1.0/（2.0+cos（x））;
return（y）;
}
doubleR（intN,doublea,doubleb）//建立复合梯形积分//
{
doubles,h;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
s=s+h*（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））/2.0;
}
return（s）;
}
doubleT（intN,doublea,doubleb）//建立复化3点Gauss积分//
{
doubles,h,A1,A2,A3,x1,x2,x3;
inti;
h=（b-a）/N;s=0.0;
for（i=1;i<=N;i++）
{
A1=A3=5.0*h/18.0;A2=4.0*h/9.0;
x1=a+（i-1/2.0）*h-sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
x2=a+（i-1/2.0）*h;
x3=a+（i-1/2.0）*h+sqrt（3.0/5.0）*h/2.0;
s=s+A1*f（x1）+A2*f（x2）+A3*f（x3）;
}
return（s）;
}
voidmain（）//main函数进行最终运算并输出结果//
{
intk,N;
doubles1[8],s2[8],s,error1[8],error2[8];
printf（"对第三个积分\n"）;
s=R（pow（2,20）,0.0,2*PI）;
printf（"s1代表复合梯形积分\n"）;
error1[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s1[k]=R（N,0.0,2*PI）;
error1[k]=fabs（s1[k]-s）;
printf（"N=%d,s1=%.12f,error1=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s1[k],error1[k],error1[k-1]/error1[k]）;
}
printf（"\ns2代表复化3点Gauss积分\n"）;
error2[0]=0.0;
for（k=1;k<=7;k++）
{N=pow（2,k）;
s2[k]=T（N,0.0,2*PI）;
error2[k]=fabs（s2[k]-s）;
printf（"N=%d,s2=%.12f,error2=%.12f,比率=%.12f\n",
N,s2[k],error2[k],error2[k-1]/error2[k]）;
}
}
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