人教a高中数学必修四教案全.docx
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人教a高中数学必修四教案全
学必修4教
1任意角
教学目标
（一）知识与技能目标
理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念•
（二）过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写.
（三）情感与态度目标
1.提高学生的推理能力；2•培养学生应用意识.
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写.
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.
教学过程
一、引入：
1•回顾角的定义
1角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
2角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所
形成的图形.
二、新课：
1.角的有关概念:
1角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
2
③角的分类:
始边
角的名称:
-正角：
按逆时针方向旋转形成的角
零角：
射线没有任何旋转形成的角
-负角：
按顺时针方向旋转形成的角④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，"角a”或"/a”可以简化成“a
⑵零角的终边与始边重合，如果a是零角a=0
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.
⑤练习：
请说出角a、B、丫各是多少度
2•象限角的概念：
1定义：
若将角顶点与原点重合，角的始边与外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例1•如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除
B1
B3
例2.在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.
⑴60°;⑵120°;⑶240°;⑷300°;⑸420°;⑹480°;
答：
分别为1、2、3、4、1、2象限角.
3.探究：
教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合S={3I3=a+
k•360°,
k€Z}，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.
⑴k€Z
⑵a是任一角；
⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们
相差
360°的整数倍；
⑷角a+k•720°与角a终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.
例3.在0。
到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角.
⑴—120°;⑵640°;⑶—950°12/.
答：
⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48/,第二象限角；
例4.写出终边在y轴上的角的集合（用0°到360°的角表示）.
解:
{aIa=90°+n•180°,n€Z}.
例5.写出终边在yx上的角的集合S,并把S中适合不等式一360°<3<720°的元素3写出来.
4.课堂小结
1角的定义；
2角的分类：
一正角：
按逆时针方向旋转形成的角
T零角：
射线没有任何旋转形成的角
L负角：
按顺时针方向旋转形成的角
3象限角；
4终边相同的角的表示法.
5.课后作业：
①阅读教材P2-P5；②教材F5练习第1-5题；③教材习题第1、2、3题
思考题：
已知a角是第三象限角，贝U2a,一各是第几象限角？
2
解：
角属于第三象限，
k•360°+180°又k•180°+90°<—2
当k为偶数时，令k=2n（n€Z），贝Un•360°+90°<—2
此时，一属于第二象限角
2
当k为奇数时，令k=2n+1（n€Z），贝Un•360°+270°<一2
此时，—属于第四象限角
2
因此—属于第二或第四象限角.
2
弧度制
（一）
教学目标
（四）知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特
殊角的弧度数.
（五）过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，
并能运用公式解决一些实际问题
（六）情感与态度目标
通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.
教学重点
弧度的概念•弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系.
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？
1
规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制.
360
二、新课：
1.弓I入：
由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度一弧度制，它是如何定义呢？
2.定义
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制
叫做弧度制.在弧度制下，1弧度记做1rad.在实际运算中，常常将rad单位省略.
3.思考:
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？
与圆的半径大小有关
吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳:
弧度制的性质：
2r
②整圆所对的圆心角为212.
r
④负角的弧度数是一个负数.
⑥角a的弧度数的绝对值|a|=-.
r
r
①半圆所对的圆心角为—
r
3正角的弧度数是一个正数.
5零角的弧度数是零.
4.角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
3602；180
②将弧度化为角度：
面0.01745rad；n
rad.
180
180
2p=360?
；p=180?
；1rad=（竺）盎57.30?
57?
18@n=（
P
180n
P
角度
0
O
30
O
45
O
60
O
90
O
120
O
135
O
150
O
180
O
270
O
360
O
弧
0
2
3
5
3
2
度
6
4
3
2
4
~6
2
5•常规写法：
1用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少n的形式，不必写成小数.
2弧度与角度不能混用.
6.特殊角的弧度
弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.例1.把67°30/化成弧度.
3
例2.把—rad化成度.
5
例3.计算：
7.弧长公式
l
a二一？
丨r?
a
r
（1）sin;
（2）tan1.5.
4
例4.将下列各角化成0到2n的角加上2kn（k€Z）的形式:
19
（1）旦;
（2）315.
3
例5.将下列各角化成2kn+a（k€Z,019
（1）；⑵
3
19
解：
（1）
3
31
6
而—是第三象限的角，宜是第三象限角.
6
3
/c、31p5p
⑵Q-=-6p+,
66
空是第二象限角•
6
例6.利用弧度制证明扇形面
1
积公式S丄IR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.
2
证法一：
•圆的面积为R2,•圆心角为1rad的扇形面积为
12
R2,又扇形弧长为I,半径为
2
R,
丨'12
•••扇形的圆心角大小为-rad,•••扇形面积s丄丄R2
R
丄IR
2
证法二：
设圆心角的度数为
n,
则在角度制下的扇形面积公式为S
nr2
話，又此时弧长
nR1nR
l,•S-
1802180
而弧度制下的扇形面积公式显然要
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化,简洁得多.
112
扇形面积公式：
S—IR—R
22
7•课堂小结①什么叫1弧度角？
②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别.
&课后作业：
1阅读教材P6-P8；
2教材P9练习第1、2、3、6题；
3教材P10面7、8题及B2、3题.
任意角的三角函数（三）
教学目的：
知识目标：
1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：
掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：
学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：
正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：
正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：
1.三角函数的定义
2.诱导公式
sin（2k
）sin（kZ）
cos（2k
）cos（kZ）
tan（2k
）tan（kZ）
练习1.
tan600o的值是
.D
A3
A.
B.-^C.-3D.3
3
3
练习2.
若sin0cos00,则0在
.B
A.第-
」、二象限
B.
第-
一、三象限
C.第-
」、四象限
D.
第二
二、四象限
练习3.
若
cos0
0,
且sin2
0则啲终边在
—C
A.第一象限
B.
第三象限
C.第四象限
D.第二象限
二、讲解新课：
当角的终边上一点P（x,y）
的坐标满足x
y时，有三角函数正弦、余弦、正切值的
几何表示三角函数线。
有向线段：
带有方向的线段。
2•三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P（x,y），
过P作x轴的垂线，垂足为M;过点A（1,0）作单位圆的切线，它与角的终边或其反向
延
长线交与点T.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM
x,MPy，于是有
yyx
sinyMP，cos
r1r
xOM,tan
yJMP
xOM
AT
AT
OA
我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线
在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：
正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：
三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反
向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：
有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4.例题分析：
例1.
作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）
52
；
（2）5；（3）2；
363
（4）
13
6
解:
图略。
例2.若0，证明sin
2
cos
1.
例3.比较大小：
2匕42匕4
（1）sin与sin—
（2）cos与cos—
3535
2匕4
（3）tan与tan
35
例4.在［0,2］上满足sinx
A.0,-
6
B.
1
1的x的取值范围是（
2
5
66
C.
例5.
利用单位圆写出符合下列条件的角
（1）sinx
1
2;
cosx
答案：
（1）;
（2）
2k
6
P17面练习
62k，kZ；
三、巩固与练习：
四、小结：
本节课学习了以下内容：
1•三角函数线的定义；
2•会画任意角的三角函数线；
3•利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
作业4
参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
.2与.4sin与sin
3
如图可知：
解:
例2.
tan—
3
的范围.
与tan4
5
D.
.2
sin-
3
利用单位圆寻找适合下列条件的
.4
sin-
5
tan
到360
2
3
的角
tan
1sin
tan
解:
>12
_3
3
30ww150
3090或210270
补充：
1•禾U用余弦线比较cos64°,cos285°的大小;
2•若，则比较sin、cos、tan的大小;
42
3.分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1）cos
（2）tan
1；（3）sin
任意角的三角函数
（1）
教学目的：
知识目标：
1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式
（一）。
能力目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标：
（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：
利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切函数值分别用他
们的集合形式表示出来•
教学过程：
、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的?
在Rt△ABC中，设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依
次为sinA
ab
-,cosA-,tanAcc
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1•三角函数定义
在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（X,y）,
它与原点的距离为
r（r|x|2
|y|2
22
\xy
0），那么
（1）比值1叫做a
r
的正弦，记作
sin
，即sin
y.
；r
（2）比值X叫做a
r
的余弦，记作
cos
，即cos
X
；r
（3）比值1叫做a的正切，记作tan
，即tan-；
X
X
X
（4）比值仝叫做a的余切，记作C0t
X
，即cot
y
y
说明：
①a的始边与X轴的非负半轴重合，
a的终边没有表明a疋疋正角或负角，
以及
的大小，只表明与a的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角a,四个比值不以点P（X,y）在a的终边上
的位置的改变而改变大小；
3当一k（kZ）时，a的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标X都等
2
于0，
所以tany无意义；同理当
x
X
k（kZ）时，cot无意义;
y
4除以上两种情况外，对于确定的值a,比值
y、x、y、-分别是一个确定的实
rrxy
数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为
三角函数。
2•三角函数的定义域、值域
函数
定义域
值域
ysin
R
[1,1]
ycos
R
[1,1]
ytan
{1-k,kZ}
R
注意:
（1）在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与X轴的非负半轴重合•
（2）a是任意角，射线0P是角a的终边，a的各三角函数值（或是否有意义）与0X转了
几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关•
（3）sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“a”的积•其余五个符号也是这样•
（4）任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形
的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定
义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
（5）为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆
3.例题分析
（通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）
0；
（2）；
（3）3
2
解：
（
:
1）因为当
0时，Xr,y
0,所以
sin00,
cos01,
tan00,
（2）
因为当
时，xr,y
0，所以
例1.求下列各角的四个三角函数值:
cot0不存在。
（3）因为当
cos
—时，x
2
tan0,
r，所以
cot
不存在,
.3
sin-
2
3cos——
2
例2•已知角a的终边经过点P（2,
解：
因为
2,y
sin
tan
3
.13
3；
—;
2
3，所以r
313
13；
丄3f…tan不存在,
2
3），求a的四个函数值。
13,
-.22
（3）2
cos
cot
例3.
解:
因为过点（a,2a）（a
（a,2a）（a
0），所以
a（时，sin
2a
.5|a|
tan
2;cot1；ec
2
5;csc
0时，sin
2a
2
S3
2
3.
0），求a的四个三角函数值。
、、5IaI,x
2±5
5
2a
5a
5
2
2a
a,y
cos
cotl
2
213
13
2a
5a
5
xcos
r
4•三角函数的符号
5|a|x5a
、5a；
;
5
tan2;cot
1;sec
2
5;csc
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
y对于第一、二象限为正（y0,r0）,对于第三、
r
-对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、
r
①正弦值
②余弦值
四象限为负
三象限为负
y对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（
x
说明：
若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
练习：
③正切值
确定下列三角函数值的符号:
（1）
cos250°；
o
（3）tan（672）;
0,r
0,r
0）;
o）；
x,y异号）.
求证：
若sin
（2）sin（）；
4
0，则角是第三象限角，反之也成立。
（4）tan11
3
0且tan
例4.
5•诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：
终边相同的角三角函数值相同。
即有:
sin（
2k
）
sin
cos（
2k
）
cos
tan（
2k
）
tan
，其中kZ.
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0〜2n间角的三角函数值问题.
911
例5.求下列三角函数的值：
（1）cos,
（2）tan（
46
cosxtanx
例6.求函数y的值域
cosx|tanx|
解：
定义域：
cosx0/•x的终边不在x轴上又:
tanx0/•x的终边不在y轴上
•••当x是第I象限角时，x0,y0cosx=|cosx|tanx=|tanx|/•y=2
n,x0,y0|cosx|=cosx|tanx|=tanx•y=2inw,x0：
0|cosx|=cosx阳nx|=tanx•y=0
四、小结：
本节课学习了以下内容：
1•任意角的三角函数的定义；2•三角函数的定义域、值域；3•三角函数的符号及诱
导公式。
五、巩固与练习
1、教材P15面练习；
2、作业P20面习题1.2A组第1、2、3
（1）
（2）（3）题及P21面第9题的
（1）、（3）题。
同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：
1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联
系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标：
牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
教学重点：
同角三角函数的基本关系式
教学难点：
三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程：
一、复习引入：
1•任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点P（x,y），它与原点的距离为
r（r|yf.x2y20），那么：
sin-,cos-,tan—,
rrx
2•当角a分别在不同的象限时，Sina、cosa、tga的符号分别是怎样的？
3
3.背景：
如果sinA-,A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
5
4•问题：
由于a的三角函数都是由x、y、r表示的，则角a的三个三角函数之间有什么关
系？
二、讲解新课：
（1）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：
同角的三角函数的基本关系）
1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
sin
（1）商数关系：
tan
con
2
（2）平方关系：
sin
2
con
说明：
1注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24
2注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
k
tancot1（,kZ）；
3对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、
co
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