湖南省三轮联考数学对口试题docx.docx
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2017年湖南省三轮联考数学对口试题
2017年湖南省跨地区普通高等学校对口招生三轮联考
数学试题
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时
量120分钟．满分120分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的）
，=
，=
，则
（
）
1．设全集
U
=
{a,b,c,d}
{b,c}
{b,d}
C（A
A
B
B）
U
A．{a}
B．{b,c,d}
C．{c}D．{a，b,d}
2．“x1”的一个充要条件是
（
）
A．x2
1B．x1
C．x12
D．1x0
3、已知函数
f（x）
x2
1（x
0），则f
（1）
（
）
2x（x0）
A．0
B．2
C．1
D．0或1
2
2
4．已知点A（3,0），B（-1,2），则线段AB的垂直平分
线方程是
（
）
A.x2y30
B.2xy20
C.2xy30
D.2xy10
5．设函数f（x）ln（1x）
ln（1
x），则f（x）是（
）
A．奇函数，且在
上是增函数
B．奇函
（0,1）
数，且在
上是减函数
（0,1）
C．偶函数，且在
上是增函数
D．偶函
（0,1）
数，且在
上是减函数
（0,1）
6．从3名女生中任选
1人，从4名男生中任选2人，去
完成3项不同的工作，每人完成1项，则不同的安排方
法有（）
A、18种B、54种C、72种D、108种
7．已知数列an为等比数列，a11，an12an，则a5（）
A、1B、1C、32D、16
3216
8．已知a,b为两条不重合的直线，表示平面，则下列命
题中：
①
a//,b//
则a//b
②
a,b
则a//b
③a
b
，则ab。
正确的命题有
（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3
个
9．已知an为等差数列，a1
a3
8，a2
a4
14，则数列an的
一个通项公式（
）
A、an
3n1
B、an
3n2
C、an
2n2
D、an
2n1
10．若关于x的不等式x2
2x
a0的解集是实数集R，则实
数a的取值范围是（
）
A．（1，）
B．1，
C．（
，1）
D．
，1
二、填空题（本大题共
5个小题，每小题4
分，共20
分）
11．已知sin
5
是第二象限角，则tan（）
13
___________．
12．三个数：
3
0.5log0.53中，最小的一个是
0.5
，3，
13．已知等比数列an的中，前n项和为Sn，若S33S2
0，
则公比q_________．
14．抛掷一枚骰子，观察向上一面出现的点数，则点数
为偶数或5的概率是
．
15．若直线3x4ya
0与圆x2
y2
2x0相切，则a
三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题。
满分60分．解答应写出文字说明或演算步骤）16．（本小题满分10分）已知函数f（x）lg（x2m）的图像过点（5，0）．
（）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的定义域
17.已知向量a（1,7），b（5,5），c（x,14）。
（1）若a//c，求x的值；
（2）设向量OAa，OBACb，判断向量OC与向量AB是否垂直？
并说明理由
18．已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
已知b2
c2
a2
bc。
（1）求A；
（2）若
1
，求sinC的
4
sinB
值
19．如图1所示，在四棱锥P
ABC中，底面ABC是正三角形，侧面PAB
底面ABC，
且PAPB
2，APB90
，D，E，F分别是PA，AB,AC的中点。
（I）证明：
平面DEF//平面PBC；
（II）求三棱锥PABC的体积．
20．双曲线
Cx2
y2
1a0，b0
）的右焦点与抛物线
y2
8x
：
a2
b2
（
的焦点F重合，且双曲线C的渐近线方程是y3x。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）倾斜角为45
的
直线l过点F，l与双曲线C交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB的面积。
注意：
第21题，22题为选做题，请考生根据专业要求选择其中一题作答．
21、在复平面内，复数za3i（i为虚数单位）对应的点在第四
象限，且满足z35.
（1）求z；
（2）设复数
2
z
，求
2017的值。
2
2i
22．某农场计划栽种甲、乙两种农作物，栽种每亩地需要的化肥、工时及产值见下表。
已知农场化肥总量为
30000公斤，工时总量为4000小时。
那么怎样安排两种作物的栽种面积才能获得产值最大？
并求最大产值。
甲作物
乙作物
总量
化肥（公斤）200
150
30000
工时（小时）20
40
4000
每亩农作物0.6
0.9
产值（万元）
2017年湖南省跨地区普通高等学校对口招生三轮联考
数学（对口）试题参考答案
一、选择题
1．A2．C3．C4．D5．A6．D7．D
8．C9．B10．B
二、填空题
11．5
12．log0.53
13．-2
14．2
15．-2或8
12
3
三、解答题
16
．解：
（Ⅰ）
由题意得
f（5）
lg（5
m）0
，
（2
分）
∴
m4
.
（5
分）
（Ⅱ）由题意得
x2
40
，
（7分）
解得x
2或x
2，
函数f（x）的定义域是（，2）
（2，+）.
（10
分）
17．解：
（Ⅰ）Qa//c，
（1）147x
0，
（3
分）
解
得
5分）
uuur
uuur
uuur
（4,12），
（Ⅱ）OC
OA
AC
（1,7）
（5,5）
uuur
uuur
uuur
（6,2），
AB
OB
OA
（5,5）
（1,7）
分）
uuuruuur
，
OC?
AB0
uuur
故
向
量
与
向
量
OC
（10分）
18．解：
（Ⅰ）由余弦定理，得（4分）
x2.
（9
uuur
AB垂直.
b2
c2
a2
1
，
cosA
2bc
2
又
（5分）
2π
.
3
QA（0，π），A
（Ⅱ）由sinB
1
且B
π
，
2
15
，
（7分）
，
4
0
2
得cosB
1sin
B
4
sinCsin[π（A
B）]
sinAcosB
cosAsinB
（8
分）
3
15
1
1
3
5
1
.
2
4
2
4
8
（10分）
19．解：
（Ⅰ）D是PA的中点，E是AB的中点，DE//PB，DE//平面PBC
同理DF//PC，DF//平面PBC
（3分）
又DE，DF是平面DEF内的两条相交直线，
平面DEF//平面PBC
.
（5分）
（Ⅱ）如图所示连接PE，
PAPB，E是AB中点，
PEAB.
又平面PAB底面ABC，
PE平面ABC.
由PA
PB
2，
得AB
2
，三棱锥PABC
的高，PE
1，
（7分）
1
3
1
3
SABC
2
2
223，VPABC
33
1
3，
故
三
棱锥P
ABC
的体积是
3
.
3
（10分）
20．解：
（Ⅰ）抛物线y2
8x的焦点坐标是F（2,0），
由条件得：
c2，b
3
，a
1，b3，
a
故双曲线C
的方程是x2y2
1
.
3
（3分）
（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线l斜率为1，方程是yx2，
y
x2
，消y整理得2x2
4x7
0.
解方程组
2
y
2
3x
3
由韦达定理得x1
x2
2,x1
x2
72，
（7分）
S△OAB
1
2|y1y2||x1
x2|
（x1
x2）2
4x1x2
4
143
2，
2
故
△OAB
的
面
积
是
3
2.
（10分）
21．解：
（Ⅰ）
由题意得（a
2
2
25，a1或a7，
3）（3）
又复数za
3i对应的点在第四象限，
a1，
故z13i.（5
分）
（Ⅱ）解法一：
（10分）
z
2
2
cos
isin
，
2
2
2i
2
i
4
2
4
2017
cos
2017
isin
2017
2
2i
.
4
4
2
2
2
解法二：
2
2
2
i
，
2017
2016
（i）
1008
2
2
i.
2
2
2
2
i
22．解：
设栽种甲、乙两种农作物面积各为x，y亩，利润
为Z万元.
则Z0.6x0.9y，
（2分）
200x150y30000，
x，y
20x
40y4000，
满
足
约
束
条
件x
0，
y
0，
（6分）
x120,y40时，maxZ108.
答：
栽种甲农作物120亩、乙农作物40亩时产值最大，最大产值是108万元.（10分）
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