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实验报告
2011——2012学年第一学期
合肥学院数理系
实验报告
课程名称：
数值分析
实验项目：
插值和数据拟合实验
实验类别：
综合性□设计性□验证性□
专业班级：
09级数学与应用数学
（2）班
姓名：
徐国华学号：
06
实验地点：
7#604
实验时间：
2011年11月17日
指导教师：
孙梅兰成绩：
1.实验目的：
1、熟悉利用拉格朗日多项式求函数的近似值
2、学会编写用newton前差值公式计算函数值的程序
3、学会利用最小二乘法对数据进行拟合
2、实验内容：
实验一：
1、
1
用四次拉格朗日多项式求
的函数近似值
2、函数y=f（x）由下列数据给出：
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
试用k=3、4、5、6这四组构造三次多项式，求出y=f（x）在x=处的近似值，并用matlab中的polyfit命令验证结果
3、编写一个用newton前差值公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x的函数值，并应用下面的问题：
20
21
22
23
24
求x=时的三次差值多项式的值。
实验二：
1、由化学实验得到某物质浓度与时间的关系如下：
时间t
1
2
3
4
5
6
7
8
浓度y
时间t
9
10
11
12
13
14
15
16
浓度y
求浓度与时间的二次拟合曲线。
2、试求下表中y与t的拟合曲线
t
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Y/（*10^（-4））
0
要求：
（1）用plot画出原始数据分布趋势图
（2）用最小二乘法拟合，近似表达式为y=a2x^3+a1x^2+a0x
（3）打印出y
（4）另取方程y=ax^b拟合，并比较
3、用形如a*e^x+bsin（x）+cln（x）+dcos（x）的函数在最小二乘法的意义下拟合数据表
x
y
4、
使用次数x
2
3
5
6
7
9
10
容积y
使用次数x
11
12
14
16
17
19
20
容积y
选用双曲线1/y=a+b/x对数据进行拟合，使用最小二乘法求出拟合函数，做出曲线图
三、实验方案（程序设计说明）
实验一：
1、建立的lagrange1文件：
functionyy=lagrange1（x,y,xi）
m=length（x）;n=length（y）;
ifm~=n,error（'向量x与y的长度必须一致'）;end
s=0;
fori=1:
n
z=ones（1,length（xi））;
forj=1:
n
ifj~=i
z=z.*（xi-x（j））/（x（i）-x（j））;
end
end
s=s+z*y（i）;
end
yy=s;
在命令窗口调用Lagrange函数如下
>>x=[,,,,1];
>>y=[,,,,];
>>xi=[];
>>yi=lagrange1（x,y,xi）
yi=
>>plot（x,y,'o',xi,yi,'g^'）
2、建立的lagrange1文件：
functionyy=lagrange1（x,y,xi）
m=length（x）;n=length（y）;
ifm~=n,error（'向量x与y的长度必须一致'）;end
s=0;
fori=1:
n
z=ones（1,length（xi））;
forj=1:
n
ifj~=i
z=z.*（xi-x（j））/（x（i）-x（j））;
end
end
s=s+z*y（i）;
end
yy=s;
在命令窗口调用Lagrange函数如下
x=[,,,];
>>y=[,,,];
>>xi=[];
>>yi=lagrange1（x,y,xi）
yi=
>>plot（x,y,'o',xi,yi,'g^'）
3、
functionf=Newtonforward（x,y,x0）
symst;
if（length（x）==length（y））
n=length（x）;
c（1:
n）=;
else
disp（'x和y的维数不相等！
'）;
return;
end
f=y
（1）;
y1=0;
xx=linspace（x
（1）,x（n）,（x
（2）-x
（1）））;
if（xx~=x）
disp（'节点之间不是等距的！
'）;
return;
end
for（i=1:
n-1）
for（j=1:
n-i）
y1（j）=y（j+1）-y（j）;
end
c（i）=y1
（1）;
l=t;
for（k=1:
i-1）
l=l*（t-k）;
end;
f=f+c（i）*l/factorial（i）;
simplify（f）;
y=y1;
if（i==n-1）
if（nargin==3）
f=subs（f,'t',（x0-x
（1））/（x
（2）-x
（1）））;
else
f=collect（f）;
f=vpa（f,6）;
end
end
end
l=t;
for（k=1:
i-1）
l=l*（t+k）;
end;
f=f+c（i）*l/factorial（i）;
simplify（f）;
y=y1;
if（i==n-1）
if（nargin==3）
f=subs（f,'t',（x0-x（n））/（x
（2）-x
（1）））;
else
f=collect（f）;
f=vpa（f,6）;
end
end
end
在命令窗口调用Lagrange函数如下
>>x=[20,21,22,23,24];
>>y=[,,,,];
>>x0=;
>>f=Newtonforward（x,y,x0）
实验二：
1、>>xi=[12345678910111213141516];
>>yi=[];
plot（xi,yi,'o'）
>>A=[ones（size（xi））;xi;xi.^2]'
A=
111
124
139
1416
1525
1636
1749
1864
1981
110100
111121
112144
113169
114196
115225
116256
>>a=A\yi'
a=
>>b=[]
b=
>>y=poly2str（b,'x'）
y=
x^2+x+
>>f2=polyval（flipud（a）,xi）;
>>plot（xi,yi,'bo',xi,f2,'r-'）
2、
（1）画出数据分布趋势图
>>ti=[0510152025303540455055];
>>yi=[0].*（10^（-4））;
>>plot（ti,yi,'o'）
（2）建立数学模型y=a3x^3+a2x^2+a1x+a0
建立超定方程组系数矩阵
>>A=[ones（size（ti））;ti;ti.^2;ti.^3]'
A=
1525125
1101001000
1152253375
1204008000
12562515625
13090027000
135122542875
140160064000
145202591125
1502500125000
1553025166375
（3）求超定方程组的最小二乘解
>>a=A\yi'
a=
*
（4）求拟合曲线方程
>>b=[a
（1）a
（2）a（3）a（4）]
b=
*
y=poly2str（b,'x'）
y=
x^3+x^2-x+
f3=polyval（flipud（a）,ti）;
（5）用方程y=ax^b拟合
t=[ones（size（ti））;log（ti）];
>>aa=t'\log（yi）'
aa=
>>yy=exp（*xi.^（;
>>plot（ti,yi,'bo',ti,yy,'r--',ti,f3,'b--'）
legend（'原始数据','指数拟合曲线','3阶拟合曲线'）
title（'拟合曲线比较'）
3、编写命令M文件t1如下
data=[;
;
;
;
;
;
;
;
;
];
x=data（:
1）;y=data（:
2）;
A（:
1）=exp（x）;A（:
2）=sin（x）;
A（:
3）=log（x）;A（:
4）=cos（x）;
c=A\y
xx=:
:
;
g=c
（1）*exp（xx）+c
（2）*sin（xx）+c（3）*log（xx）+c（4）*cos（xx）;
plot（x,y,'bo',xx,g,'r--'）;
c=
g=*exp（xx）+*sin（xx）+*log（xx）+*cos（xx）;
4、
>>xi=[2356791011121416171920];
>>yi=[];
>>xj=1./xi;
yj=1./yi;
>>A=[ones（size（xj））;xj]'
A=
>>a=A\yj'
a=
>>b=[a
（2）a
（1）]
b=
>>y=poly2str（b,'x'）
y=
x+
>>f2=polyval（flipud（a）,xj）;
plot（xj,yj,'bo',xj,f2,'r-'）
四、程序运行结果
实验一：
第一题图第二题图
第三题运行结果：
f=
实验二：
第一题图第二题图
2、
3、
第三题图第四题图
五、实验总结：
通过matlab的运用，我基本熟悉了插值多项式构造，并通过多次调试和实验解决了实验问题；掌握了运用matlab数据插值的思想方法；明白了小二乘法的基本原理。
学生签名：
徐国华
2011年11月17日
六．教师评语及成绩
教师签名：
年月日
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