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1、实验报告20112012学年第一学期合肥学院数理系实验报告课程名称： 数值分析 实验项目： 插值和数据拟合实验 实验类别：综合性 设计性 验证性 专业班级： 09级数学与应用数学（2）班 姓 名： 徐国华 学 号： 06 实验地点： 7#604 实验时间： 2011年11月17日 指导教师： 孙梅兰 成 绩： 1.实验目的：1、熟悉利用拉格朗日多项式求函数的近似值2、学会编写用newton前差值公式计算函数值的程序3、学会利用最小二乘法对数据进行拟合2、实验内容：实验一：1、1 用四次拉格朗日多项式求的函数近似值2、函数y=f(x)由下列数据给出：k012345678试用k=3、4、5、6这四

2、组构造三次多项式，求出y=f(x)在x=处的近似值，并用matlab中的polyfit命令验证结果3、编写一个用newton前差值公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x的函数值，并应用下面的问题：2021222324求x=时的三次差值多项式的值。实验二：1、由化学实验得到某物质浓度与时间的关系如下：时间t12345678浓度y时间t910111213141516浓度y求浓度与时间的二次拟合曲线。2、试求下表中y与t的拟合曲线t0510152025303540455055Y/(*10(-4)0要求：（1)用plot画出原始数据分布趋势图（2)用最小二乘法拟合，近似表达式为y=a2 x3

3、+ a1x2 + a0x（3)打印出y（4)另取方程y=axb拟合，并比较3、用形如a*ex+bsin(x)+cln(x)+dcos(x)的函数在最小二乘法的意义下拟合数据表x y4、使用次数x23567910容积y 使用次数x11121416171920容积y 选用双曲线1/y=a+b/x对数据进行拟合，使用最小二乘法求出拟合函数，做出曲线图三、实验方案（程序设计说明）实验一：1、建立的lagrange1文件：function yy=lagrange1(x,y,xi)m=length(x);n=length(y);if m=n,error(向量x与y的长度必须一致);ends=0;for i

4、=1:n z=ones(1,length(xi); for j=1:n if j=i z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j); end end s=s+z*y(i);endyy=s;在命令窗口调用Lagrange函数如下 x=,1; y=,; xi=; yi=lagrange1(x,y,xi) yi = plot(x,y,o,xi,yi,g)2、建立的lagrange1文件：function yy=lagrange1(x,y,xi)m=length(x);n=length(y);if m=n,error(向量x与y的长度必须一致);ends=0;for i=1:n z=ones(1,

5、length(xi); for j=1:n if j=i z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j); end end s=s+z*y(i);endyy=s;在命令窗口调用Lagrange函数如下x=,; y=,; xi=; yi=lagrange1(x,y,xi)yi = plot(x,y,o,xi,yi,g)3、function f = Newtonforward(x,y,x0)syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = ;else disp(x和y的维数不相等！); return;endf = y(1);y1 =

6、0;xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1);if(xx = x) disp(节点之间不是等距的！); return;endfor(i=1:n-1) for(j=1:n-i) y1(j) = y(j+1)-y(j); end c(i) = y1(1); l = t; for(k=1:i-1) l = l*(t-k); end; f = f + c(i)*l/factorial(i); simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,(x0-x(1)/(x(2)-x(1); else f = coll

7、ect(f); f = vpa(f, 6); end endend l = t; for(k=1:i-1) l = l*(t+k); end; f = f + c(i)*l/factorial(i); simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,(x0-x(n)/(x(2)-x(1); else f = collect(f); f = vpa(f, 6); end endend在命令窗口调用Lagrange函数如下x=20,21,22,23,24; y=,; x0=; f=Newtonforward(x,y,x0)实验二

8、：1、 xi=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; yi= ;plot(xi,yi,o) A=ones(size(xi);xi;xi.2A = 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 4 16 1 5 25 1 6 36 1 7 49 1 8 64 1 9 81 1 10 100 1 11 121 1 12 144 1 13 169 1 14 196 1 15 225 1 16 256 a=Ayia = b= b = y=poly2str(b,x)y = x2 + x + f2=polyval(flipud(a),xi); plot(xi,yi,bo,

9、xi,f2,r-)2、（1）画出数据分布趋势图 ti=0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55; yi=0 .*(10(-4); plot(ti,yi,o)（2）建立数学模型y=a3x3+ a2x2 + a1x+a0建立超定方程组系数矩阵 A=ones(size(ti);ti;ti.2;ti.3A = 1 5 25 125 1 10 100 1000 1 15 225 3375 1 20 400 8000 1 25 625 15625 1 30 900 27000 1 35 1225 42875 1 40 1600 64000 1 45 2025 91125 1 50

10、 2500 125000 1 55 3025 166375（3）求超定方程组的最小二乘解 a=Ayia = * （4）求拟合曲线方程 b=a(1) a(2) a(3) a(4)b = * y=poly2str(b,x)y= x3 + x2 - x + f3=polyval(flipud(a),ti);（5）用方程y=axb拟合 t=ones(size(ti);log(ti); aa=tlog(yi)aa = yy=exp( *xi.( ;plot(ti,yi,bo,ti,yy,r-,ti,f3,b-)legend(原始数据,指数拟合曲线,3阶拟合曲线)title(拟合曲线比较)3、编写命令M文

11、件t1如下data= ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;x=data(:,1);y= data(:,2);A(:,1)=exp(x); A(:,2)=sin(x);A(:,3)=log(x); A(:,4)=cos(x);c=Ayxx=:;g=c(1)*exp(xx)+ c(2)*sin(xx)+ c(3)*log(xx) + c(4)*cos(xx);plot(x,y,bo,xx,g,r-);c = g= *exp(xx)+ *sin(xx)+ *log(xx) + *cos(xx);4、 xi=2 3 5 6 7 9 10 11 12 14 16 17 19 20; yi= ; xj=

12、1./xi;yj=1./yi; A=ones(size(xj);xjA = a=Ayja = b=a(2) a(1)b = y=poly2str(b,x)y = x + f2=polyval(flipud(a),xj);plot(xj,yj,bo,xj,f2,r-)四、程序运行结果实验一： 第一题图 第二题图 第三题运行结果： f =实验二：第一题图 第二题图 2、3、 第三题图 第四题图 五、实验总结： 通过matlab的运用，我基本熟悉了插值多项式构造，并通过多次调试和实验解决了实验问题；掌握了运用matlab数据插值的思想方法；明白了小二乘法的基本原理。 学生签名：徐国华 2011年11月17日六教师评语及成绩 教师签名： 年 月 日