分解质因数的例题讲析.docx

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分解质因数的例题讲析

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分解质因数的例题讲析

分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。

分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。

*例1ABCX0=1673,在这个乘法算式中，A、B、C、

D代表不同的数字，ABC是一个三位数。

求ABC代表什么数？

（适于六年级程度）

解：

因为ABCXD=1673,ABC是一个三位数，所以可

把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239X7

答：

ABC代表239。

例2—块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地

的周长是多少米？

（适于六年级程度）

解：

先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2X2X2X2X2X2X2X2X3X3

（2X2X2X2X3）X（2X2X2X2X3）

=48X48

正方形的边长是48米。

这块田地的周长是：

48X4=192（米）

答略。

*例3有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友,

剩下10个。

己知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。

求

这个幼儿园有多少名小朋友？

（适于六年级程度）

解：

3250-10=3240（个）

把3240分解质因

3240=23X34X5

接近40的数有36、37、38、39

这些数中36=22X32,所以只有36是3240的约数。

23X34X54-（22X32）

=2X32X5

=90

答：

这个幼儿园有90名小朋友。

乂例4105的约数共有几个？

（适于六年级程度）

解：

求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

因为,105=3X5X7,

所以，含有一个质数的约数有1、3、5.7共4个；

含有两个质数的乘积的约数有3X5、3X7、5X7共3个；

含有三个质数的乘积的约数有3X5X7共1个。

所以，105的约数共有4+3+1=8个。

答略。

*例5把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个

数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。

这三组数分

别是多少？

（适于六年级程度）

解：

将这九个数分别分解质因数:

15=3X5

22=2X1130=2X3X535=5X739=3X13

44=2X2X11

52=2X2X13

77=7X11

91=7X13

观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,—个11和一个13。

由以上观察分析可得这三组数分别是：

15、52和77；

22、30和91；

35、39和44。

答略。

*例6有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。

四个学生的年龄分别是几岁？

（适于六年级程度）

解：

把5040分解质因数：

5040=2X2X2X2X3X3X5X7

由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。

用八个质因数表示四个连续自然数是：

7,2X2X2,3X3,2X5

即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

答略。

*例7在等式35X（）X81X27=7X18X（）X162

的两个括号中，填上适当的最小的数。

（适于六年级程度）

解：

将己知等式的两边分解质因数，得:

5X37X7X（）=22X36X7X（）

把上面的等式化简，得：

15X（）=4X（）

所以，在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。

15X（4）=4X（15）

答略。

*例8把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？

（适于六年级程度）

解：

把84分解质因数：

84=2X2x3x7

除了1和84外，84的约数有：

2,3,7,2X2=4,2X3=6,2X7=14,3X7=21,2X2X3=12,2X2X7=28,2X3X7=42。

下面可根据不同的约数进行分组。

844-2=42（组），844-3=28（组），844-4=21（组），844-6=14（组），844-7=12（组），844-12=7（组），844-14=6（组），844-21=4（组），844-28=3（组），844-42=2（组）。

因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。

一共有10种分法。

答略。

*例9把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相

等。

求这两组数。

（适于六年级程度）

解：

要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数

不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数

一定相同。

14=2X7143=11X13

30=2X3X5169=13x13

33=3X114445=5X7X127

75=3X5X54953=3X13X127

在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。

在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2>7、m127各有1个，质因数3、5、13各有2个。

按这个要求每一组四个数的积应是：

2X7X11X127X3X3X5X5X13X13

因为，（2X7）X（3X5X5）X（11X13）X（3X13

X127）=14X75X143X4953,根据接下来为“14、75、143、

4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143.

4953,另一组的四个数是:

30、33、169、4445。

*例10一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6

厘米。

求这个长方形的长和宽。

（适于五年级程度）

解：

设长方形的磬狠厘米，则长为（x+6）厘米。

根据

意列方程，得:

x（x+6）=315

x（x+6）=3X3X5X7

=（3X5）X（3X7）

x（x+6）=15X21

x（x+6）=15X（15+6）

x=15

x+6=21

答：

这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。

*例11已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然

数各是多少？

（适于五年级程度）

解：

设这三个连续自然数分别是X,X+1,根据］

意列方程，得:

（x-1）XxX（x+1）

=210

=21X10

=3X7X2X5

=5X6X7

比较方程两边的因数，得：

x=6,

x-l=5,x+l=7o

答：

这三个连续自然数分别是5、6、7o

*例12将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多

12,求甲、乙、丙各是几？

（适于六年级程度）

解：

把1440分解质因数：

1440=12X12X10

=2X2X3X2X2X3X2X5

=（2X2X2）X（3X3）X（2X2X5）

=8X9X20

如果甲、

乙二数分别是8、9,

丙数是20,则:

8X9=72,

20X3+12=72

正符合题中条件。

答：

甲、乙、丙三个数分别是8、9、20o

*例13一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：

“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？

”儿子们齐声回答说：

“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。

”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下

第二个儿子？

（适于六年级程度）

解：

由题意可知，母亲有三个儿子。

母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于:

33X1000+32X10=27090

把27090分解质因数：

27090=43X7X5X32X2

根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：

43X14X9X5

这个质因式中14就是9与5之和。

所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。

43-9=34（岁）

答：

母亲在34岁时生下第二个儿子。