河南省中原名校学年高三上学期第二次联考理科数学试题.docx
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河南省中原名校学年高三上学期第二次联考理科数学试题
中原名校2021－2022学年上期第二次联考
高三数学（理）试题
（考试时间：
120分钟试卷满分：
150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|lgx<0}，则A∪B＝
A.（
，3]B.（0，
]C.（0，3]D.[
，＋∞）
2.已知复数z＝
，则z的共轭复数对应复平面内的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.x>3是lnx>1的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知a＝ln2，b＝2－1.1，c＝log3π，则
A.b5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＋2cosA＝0，则tanA＝
A.2B.
C.－
D.－2
6.已知函数f（x）＝
的最小值为－1，则实数m
A.有最小值－1B.有最小值－3C.有最大值2D.有最大值－3
7.在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，E为CD中点，若
，且AE⊥DF，λ＝
A.
B.
C.－
D.－
8.已知sinθ＋cosθ＝
，则tanθ＋tan（
－θ）＝
A.－
B.－
C.
D.
9.1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列。
将图2中第k行第m列的数字记为akm，
，则k＝
A.n＋1B.nC.2nD.2n－1
10.已知函数f（x）＝
为奇函数，则g（x）在x＝－1处的切线方程为
A.x－y＝0B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0D.3x－y＋2＝0
11.已知函数f（x）＝sinx＋acosx（a>0）的最大值为
，若f'（x0）＝－
（x0∈（0，π）），则tanx0＝
A.
B.
C.－
D.－
12.已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx在x＝1处取得极值，且c>5a>0，b≠0，若f（x）的单调递减区间为（m，n）（n>m），则|m－n|的取值范围为
A.（－∞，
）B.（0，
）C.（
，
）D.（
，＋∞）
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13.已知命题p：
∃x∈R，ax2－ax＋1<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围为。
14.已知向量a＝（1，2），b＝（－2，x），若a⊥b，则|a－2b|＝。
15.已知函数f（x）＝tanx的导函数为f'（x），若x∈（0，
），满足f'（x）≤4f（x）的实数x的最大值为θ，则cos3θ＝。
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－k（k为非零常数），且a4＝a22，若bn＝（－1）n＋1an，则{bn}的前9项和为。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知复数z＝
＋m（m∈R），z的共轭复数为
。
（1）若m＝1，求z·
；
（2）若z·
>5|z|，求m的取值范围。
18.（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
若a＝6，且
＝1。
（1）求角A；
（2）若B＝
，求△ABC的面积。
19.（本题满分12分）
已知函数f（x）＝
，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线为l。
（1）解不等式f（x）（2）求证：
直线l与y＝f（x）在（－3，－2）内有且只有一个交点。
20.（本题满分12分）
已知平面向量a＝（cosx，sinx），b＝（cosx，－
cosx），记b在a上的投影为f（x）。
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若平面向量c＝（cosx0，－
cosx0），f（x0）＝c2，且x0∈（－
，
），求函数y＝tan（x0x）的最小正周期。
21.（本题满分12分）
定义：
若两个有限数列的首项、末项及项数对应相等，则称这两个数列为“同级数列”。
已知{an}是首项为a1＝4，公比为2的等比数列，等差数列{bn}与{an}为“同级数列”。
若数列{an}的项数为k，数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn。
（1）求Tk。
（2）当k>3时，试比较Sk与Tk的大小，并说明理由；
（3）设
，数列{cn}的前n项和为Mn，求Mn。
22.（本题满分12分）
已知函数f（x）＝mlnx＋
x2－x（m∈R）。
（1）试判断f（x）的单调性；
（2）若m＝1，求证：
f（x）。
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