高考数学总复习 23函数的奇偶性与周期性基础巩固强化练习 新人教A版.docx

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高考数学总复习23函数的奇偶性与周期性基础巩固强化练习新人教A版

基础巩固强化

1.（2012·洛阳示范高中联考）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）单调递增的函数是（　　）

A．y＝x3B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|

[答案]　B

[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在（0，＋∞）上为减函数，故选B.

2．（文）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）的值等于（　　）

A．－1B.

C．1D．－

[答案]　A

[解析]f

（2）＝22－3＝1，又f（x）是奇函数，

∴f（－2）＝－f

（2）＝－1，故选A.

（理）（2011·浙江杭州月考）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋m（m为常数），则f（－1）的值为（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

[答案]　A

[解析]∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1.

∴当x≥0时，f（x）＝2x＋2x－1，f

（1）＝21＋2×1－1＝3，

f（－1）＝－f

（1）＝－3.

3．（文）函数f（x）（x∈R）是周期为3的奇函数，且f（－1）＝a，则f（2014）的值为（　　）

A．aB．－a

C．0D．2a

[答案]　B

[解析]∵f（x）周期为3，

∴f（2014）＝f（671×3＋1）＝f

（1），

∵f（x）为奇函数，f（－1）＝a，

∴f

（1）＝－a，故选B.

（理）（2012·河南商丘模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－

）的值为（　　）

A．－

B．0

C.

D．T

[答案]　B

[解析]∵f（－

）＝－f（

），且f（－

）＝f（－

＋T）＝f（

），∴f（

）＝0，∴f（－

）＝0.

4．（文）（2011·北京东城一模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f（x）＝ln（x＋1），则函数f（x）的图象大致为（　　）

[答案]　C

[解析]　函数f（x）＝ln（x＋1）的图象由f（x）＝lnx的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．

（理）

（2011·北京西城模拟）定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（－2,0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（　　）

A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1

C．y＝

D．y＝

[答案]　C

[解析]∵f（x）为偶函数，由图象知，f（x）在（－2,0）上为减函数，而y＝x3＋1在（－∞，0）上为增函数．

5．已知定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝2－

，且对任意的x都有f（x＋3）＝

，则f（2013）的值为（　　）

A．－2－

B．－2＋

C．2－

D．－3－

[答案]　A

[解析]　由题意得f（x＋6）＝f（x＋3＋3）＝

＝

＝f（x）．∴函数f（x）的周期为6.

f（2013）＝f（335×6＋3）＝f（3），而f（3）＝f（0＋3）＝－

＝－

＝－2－

.

6．（文）（2011·合肥模拟）设f（x）是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f（2x）＝f（

）的所有x之和为（　　）

A．－

B．－

C．－8D．8

[答案]　C

[解析]∵f（x）是偶函数，f（2x）＝f（

），

∴f（|2x|）＝f（|

|）．

又∵f（x）在（0，＋∞）上为单调函数，

∴|2x|＝|

|，即2x＝

或2x＝－

，

整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，

设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.

则（x1＋x2）＋（x3＋x4）＝－

＋（－

）＝－8.

（理）已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在（－∞，0]上是增函数，设a＝f（log47），b＝f（log

3），c＝f（0.20.6），则a、b、c的大小关系是（　　）

A．c

C．b

[答案]C

[解析]　由题意知f（x）＝f（|x|）．

∵log47＝log2

>1，|log

3|＝log23>log2

，0<0.20.6<1，

∴|log

3|>|log47|>|0.20.6|.

又∵f（x）在（－∞，0]上是增函数，且f（x）为偶函数，

∴f（x）在[0，＋∞）上是减函数．

∴b

7．（文）若f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈（－2,2）时，f（x）＝－x2＋1.则f（－5）＝________.

[答案]　0

[解析]　由题意知f（－5）＝f（5）＝f（2＋3）＝f（2－3）＝f（－1）＝－（－1）2＋1＝0.

（理）（2011·湖南文）已知f（x）为奇函数，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝3，则f

（2）＝________.

[答案]　6

[解析]　由g（x）＝f（x）＋9知g（－2）＝f（－2）＋9＝3，

∴f（－2）＝－6，而由于f（x）是奇函数，

所以f

（2）＝－f（－2）＝－（－6）＝6.

8．（文）若f（x）＝lg

（a∈R）是奇函数，则a＝________.

[答案]　－1

[解析]∵f（x）＝lg

是奇函数，

∴f（－x）＋f（x）＝0恒成立，

即lg

＋lg

＝lg

＝0.

∴

＝1，

∴（a2＋4a＋3）x2－（a2－1）＝0，

∵上式对定义内的任意x都成立，

∴

∴a＝－1.

[点评]　①可以先将真数通分，再利用f（－x）＝－f（x）恒成立求解，运算过程稍简单些．

②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f（x）＝lg

为奇函数，显然x＝－1不在f（x）的定义域内，故x＝1也不在f（x）的定义域内，令x＝－

＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．

（理）设函数f（x）＝sin（

x＋φ）（0<φ<π）．若f（x）＋f′（x）是奇函数，则φ＝________.

[答案]

[解析]∵f′（x）＝

cos（

x＋φ）．

∴f（x）＋f′（x）＝sin（

x＋φ）＋

cos（

x＋φ）

＝2sin

.

f（x）＋f′（x）是奇函数⇔φ＋

＝kπ（k∈Z），

即φ＝kπ－

（k∈Z）．

又∵0<φ<π，∴k＝1时，φ＝

.

9．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（

）＝0，则满足f（log

x）<0的集合为________．

[答案]　（0，

）∪（2，＋∞）

[解析]　由题意知f（x）<0的解为x>

或x<－

，

∴由f（log

x）<0得log

x>

或log

x<－

，

∴0

或x>2.

10．（文）已知函数f（x）＝1－

（a>0且a≠1）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数．

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的值域；

（3）当x∈（0,1]时，tf（x）≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．

[解析]　

（1）∵f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，即f（－x）＝－f（x）恒成立，∴f（0）＝0.

即1－

＝0，解得a＝2.

（2）∵y＝

，∴2x＝

，

由2x>0知

>0，

∴－1

（3）不等式tf（x）≥2x－2即为

≥2x－2.

即：

（2x）2－（t＋1）·2x＋t－2≤0.设2x＝u，

∵x∈（0,1]，∴u∈（1,2]．

∵u∈（1,2]时u2－（t＋1）·u＋t－2≤0恒成立．

∴

解得t≥0.

（理）（2011·烟台模拟）已知函数f（x）＝ax＋

（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围．

[解析]　

（1）定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

当a＝0时，f（x）＝

，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴a＝0时，f（x）是偶函数；

当a≠0时，f

（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，

若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；

若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，

∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数．

（2）对任意x1，x2∈[3，＋∞），且x1>x2，

f（x1）－f（x2）＝ax1＋

－ax2－

＝a（x1－x2）＋

＝（x1－x2）（a－

）．

∵x1－x2>0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，

∴a>

，即a>

＋

在[3，＋∞）上恒成立．

∵

＋

<

，∴a≥

.

能力拓展提升

11.（文）（2011·泰安模拟）f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f

（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0,6）内解的个数至少是（　　）

A．1　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

[答案]　B

[解析]　由f

（2）＝0，得f（5）＝0，

∴f（－2）＝0，f（－5）＝0.

∴f（－2）＝f（－2＋3）＝f

（1）＝0，

f（－5）＝f（－5＋9）＝f（4）＝0，

故f（x）＝0在区间（0,6）内的解至少有1,2,4,5四个．

（理）（2012·东北三校联考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2＋x）＝－f（x），且当x∈[0,1]时有f（x）＝－x2＋1，当x∈（1,2]时，f（x）＝x－2，f（x）＝0在[－1,5]上有5个根xi（i＝1,2,3,4,5），则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值为（　　）

A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10

[答案]　D

[解析]∵f（2＋x）＝－f（x），∴f（4＋x）＝f[2＋（2＋x）]＝－f（2＋x）＝f（x），∴f（x）的周期为4，

∵x∈[0,1]时，f（x）＝－x2＋1，

∴x∈[－1,0]时，f（x）＝－x2＋1，

即x∈[－1,1]时，f（x）＝－x2＋1，

又x∈（1,2]时，f（x）＝x－2，

∴x∈[－2，－1）时，f（x）＝－x－2，

∴x∈[2,3）时，f（x）＝f（x－4）＝－（x－4）－2＝2－x.

从而可知在[－1,5]上有f（－1）＝0，f

（1）＝0，f

（2）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，故选D.

12．（2012·河南洛阳统考）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）>0的x的取值范围是（　　）

A．（－1,0）B．（－1,0）∪（1，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

[答案]　B

[解析]∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，∴当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－lg（－x），且f（0）＝0，∴f（x）>0⇔

或

解得x>1或－1

13．（文）（2011·山东淄博一模）设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T＝3，若f

（1）≥1，f

（2）＝

，则a的取值范围是（　　）

A．a<－1或a≥

B．a<－1

C．－1

D．a≤

[答案]　C

[解析]　函数f（x）为奇函数，则f（－1）＝－f

（1）．

由f

（1）＝－f（－1）≥1得，f（－1）≤－1；

函数的最小正周期T＝3，

则f（－1）＝f

（2），由

≤－1解得，－1

.

（理）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[