第一章勾股定理题型汇总.docx

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第一章勾股定理题型汇总

新北师大版八年级上册第一章《勾股定理》培优提升

类型一勾股定理中分类讨论思想的应用

例1已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形第三边的平方为___________.

提升训练：

1.如果一个三角形两边的长是9和12，要使其成为一个直角三角形，那么第三边长的平方应为多少？

2.已知ABC中，AB＝20，AC＝15，CB边上的高为12，求△ABC的面积.

类型二运用勾股定理解决计算问题

例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离CD为______.

提升训练：

1.在△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C、所对的边分别为a、b、c.

（1）若a＝9，b＝15，求c；

（2）若a:

b＝7∶25，c＝8，求a.

2．（2017﹒包头）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC＝3,AB＝5,则CE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2017春﹒潮阳区期中）如图,把一块等腰直角三角形零件（△ABC,其中∠ACB＝90°）,放置在一凹槽内,三个顶点A,B,C分别落在凹槽内壁上,已知∠ADE＝∠BED＝90°,测得AD＝5cm,BE＝7cm,求该三角形零件的面积．

4.（2017春﹒宁江区期中）一架方梯AB长25米,如图所示,斜靠在一面上：

（1）若梯子底端离墙7米,这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）在

（1）的条件下,如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

5．（2017春﹒黄陂区期中）如图,数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1）,聪明的小红发现：

先测出垂到地面的绳子长m,再将绳子拉直（如图2）,测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n,利用所学知识就能求出旗杆的长,若m＝2,n＝6,求旗杆AB的长．

6.如图所示，在一棵树的10米高的D点处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树20米远的池塘A处，另一只爬上树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的路程相同，试求这棵树的高度.

7.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积是多少.

类型三运用直角三角形的判别条件判断三角形的形状

例3已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（c2－a2－b2）2＋│a－b│＝0，则△ABC的形状为______________.

例4如图，每个小方格的边长均为1，△ABC的三个顶点均是格点，△ABC是直角三角形吗？

为什么？

提升训练

1.阅读下列题目的解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.

解：

∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①

∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），②

∴c2＝a2＋b2，③

∴△ABC是直角三角形.

问：

⑴上述解题过程从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号：

_________；

⑵写出错误的原因：

____________________________________________________________________.

⑶本题正确的结论为____________________________________________，并说明理由.

2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，且AB=3，BC＝12，CD＝13，AD=4，求四边形ABCD的面积.

3.如图，已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，求∠BAD的度数.

4.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝

CD，试判断△AEF的形状.

5.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连接EF，试说明：

以BE、CF、EF的长为边的三角形是直角三角形.

类型四折叠问题

例5如图长方形纸片ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点B与CD边上的点F重合.求线段EF的长.

例6已知长方形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面涂色，如图所示，测涂色部分的面积为_____________.

提升训练

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E.若AC＝6，AB＝10，则BE＝____________.

类型五最短路径计算

例7如图，要在河边修建一个水泵站分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李两村庄相距13km.

（1）水泵站应建在什么地方，可使所用水管最短？

请在图中设计出水泵的位置；

（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元.

提升训练

1.如图矩形ABCD中，P是矩形ABCD内的一点，且S△ABP＝

S矩形ABCD，AB＝5，BC＝8.求△ABP周长的最小值.

2.如图，透明的圆柱型容器（容器的厚度忽略不计）高为8cm，底面周长为12cm，在容器内壁离底部2cm点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程.

3．如图,圆柱的高为50cm,底面圆的周长为120cm,一只蚂蚁从A点出发绕圆柱的侧面,爬到圆柱的母线AB的另一端B点,则蚂蚁爬行的最短路线长是________．

4.如图，圆柱底面圆的半径为

cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度的最短是多少？

5.如图，四边形ABCD中，E是AB上一点，AE＝3，BE＝4，∠DEC＝135°，BC＝8，AD＝2.

求线段CD的最大值.

类型六、拼图题

例如图，请用四个全等的直角三角形通过拼图，证明勾股定理.（画出拼图并证明）

提升训练

1.如图，请用两个全等的直角三角形通过拼图，证明勾股定理.（画出拼图并证明）

D

C

B

A

2．如图是“赵爽弦图”,其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABC的和EFGH都是正方形．根据这个图形的面积关系,可以证明勾股定理．设AD＝c,AE＝b,c＝10,a－b＝2．

（1）正方形EFGH的面积为________,四个直角三角形的面积和为________．

（2）求

的值．

（3）a＋b＝________,a＝________,b＝________．

3．如图：

已知△ABC为直角三角形,分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC,以AB为直径作半圆ACB,记两个月牙形阴影部分的面积之和为,△ABC的面积为,则与的大小关系为（　　）

A．B．C．＝D．不能确定

E

4．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．90B．100C．110D．121

5．小明非常喜欢数学，他无意中发现等腰直角三角形非常好玩，下面是他的两种玩法：

玩法⑴如图1，两个等腰直角三角形ABC、CDE，∠ACB＝∠DCE＝90°,D、E两点分别落在边AC、BC上，然后把等腰直角三角形CDE绕点C顺时针旋转一个角度，如图2、图3，连接AD、BE，小明形象称这种玩法为“大手牵小手，捆绑旋转”，并且总是存在△ACD≌△BCE，请你选择图2和图3中的其中一个图证明△ACD≌△BCE；（5分）

玩法⑵如图4，直线l经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E，发现△ACD≌△CEB，若把直线l绕点C旋转一个角度，其余条件不变如图5，发现仍有△ACD≌△CEB，由于∠ADC＝∠ACB＝∠CEB＝90°，故小明称这种玩法为“一线三直角，K形全等”，请你选择图4和图5中的其中一个图证明△ACD≌△CEB.（5分）

应用：

用“大手牵小手，捆绑旋转”或“一线三直角，K形全等”在解决数学问题时，常常可以出奇制胜，请你帮小明解决下题：

如图，四边形ABCD中，AD＝3，CD＝4，∠ADC＝∠BAC＝∠ABC＝45°,请你求出BD的长.

（4分）