抛物线及其标准方程教学分析.docx
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抛物线及其标准方程教学分析
教学分析
2010-2011第一学期
五常高级中学
朱莹
拋物线及其标准方程
五常高级中学朱莹
一、教学内容分析
《抛物线及其标准方程》是人教版选修2-1第二章第四节的知识，本节在教材中的地位和作用：
在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。
二、学生学习情况分析
在此之前，学生已熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。
但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。
三、设计思想
在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现，使学生不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，体验成功的喜悦。
四、教学目标
1•理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。
2、明确拋物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。
3、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。
五、教学重点和难点
教学重点：
拋物线的定义及其标准方程的推导。
通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。
教学难点：
拋物线概念的形成。
六、教学过程设计
一•设置情景，导入新课
（借助多媒体）先给出一张姚明的图片。
（此时学生的兴趣来啦！
）
师：
姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！
大家
都知道姚明的投篮非常精准！
为什么呢？
生：
天赋、身高！
生：
勤奋练习！
（再给出两张姚明的图片）
生：
与投篮时的弧线有关！
生：
这弧线是抛物线！
师：
对！
姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。
（进而引出本节研究的课题：
抛物线及其标准方程）
【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动。
二•引导探究，获得新知
师：
这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。
师：
前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，那么它们的联系和差异是什么？
2222
生：
定义不一样！
方程！
椭圆是笃爲1，双曲线是$爲1
abab
师：
这只是图象不同，为什么会这样呢？
生：
第二定义！
就是它们到定点的距离与到定直线的距离的比等于一个常数!
生：
这个常数是离心率e！
师：
对啊！
这是定性上的，定量上有不同吗？
生：
离心率e不同，椭圆离心率e的范围是0e1，双曲线离心率e的范围是e1。
师：
对了，e可看成是它们的相同点，又是不同点！
师：
现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。
生：
0e1是椭圆，e1是双曲线。
师：
但你们有没观察到e1时的图象？
生：
抛物线！
【学情预设】学生认真观察图象的变化，认知e1的图象就是抛物线。
【设计意图】回顾椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础师：
那这条抛物线与什么有关？
众生：
e1！
师：
e1是什么意思？
生：
到定点的距离等于到定直线的距离！
师：
回答得很好！
那你们能据此设计一种方案，画出这样的点吗？
【活动设计】前后学生组成四人小组，探讨画图方案
【教师活动】教师以平等的身份介入学生的讨论中
【学情预设】学生可能找到个别点，教师应指导学生设计好如上图中的方案。
【设计意图】着重培养学生合情推理与逻辑思维能力
师：
同学们的设计让我们看到了这条曲线上的一个点，那么怎么画满足e1的图象
呢？
（课堂又一片寂静）（出示预先准备的圆锥曲线教具）师：
现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直固定在黑板上，再将磁铁固定在定点上，拉紧白线，就可以画出来了。
谁上来试试？
（两位学生积极上台板演）
师：
这两位同学表现非常好！
这就是我们见过的拋物线！
【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。
【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。
【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用。
【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。
【学情预设】学生惊讶！
计算机软件居然能演示抛物线形成的过程，学生学习的兴趣再次调动起来！
【设计意图】强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值。
师：
现在变换教具的位置，那么画出的图象还是抛物线吗？
众生：
是。
师：
这说明了什么？
生：
画抛物线与位置无关。
师：
现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！
生：
平面内到一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
还要注意定点不能在定直线上。
师：
说得很好！
这里F叫做拋物线的焦点，定直线L叫做拋物线的准线。
【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。
【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。
三•深入探索，推导方程
师：
接下来你们试试推导拋物线的方程？
（简单回顾求曲线方程的方法）。
1.以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：
y22pxp2p0
2.以F为原点，过F且垂直于定直线F的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：
y22pxp2p0
3.以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：
y22pxp0
师：
哪个好呢？
a
1
Ar
心？
x
LF?
x
图21卜
图1
图3
l|
生：
方案3所得的方程更简洁！
师：
把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准是顶点在原点，图象关于x轴对称
【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案。
【学情预设】可能出现的情况如上。
若只出现第一种和第二种方案，教师要适时引导出现第三种方案；若直接出现第三种方案，教师就引导学生归纳抛物线的标准方程。
【设计意图】使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。
师：
现在请同学们增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，抛物线有什么变化？
再缩小这个距离试一试。
生：
点F到直尺L的距离发生变化，抛物线开口也发生变化。
师：
观察很准确！
这说明了什么？
生：
焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几何特征。
师：
说得非常好！
接下来看课本的一条拋物线，试将你们的课本逆时针旋转90。
再观
察，会有什么发现？
生：
和y22px图象关于y轴对称，将x替换x就行，就是y22px！
师：
再逆时针旋转90。
呢？
众生：
和x22py图象关于x轴对称，将y替换y就行，就是x22py！
【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清
抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。
【设计意图】为学生分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。
四.指导应用，鼓励创新师：
现在我们回到姚明的这副图，有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m，篮框高为3m，篮框中心离最高点的水平距离为2m，怎么求投中时抛物线的方程？
（生思考）师：
这是一道实际生活问题！
我们如何将这个问题转化成数学问题呢？
生：
建立直角坐标系！
师：
那怎么建立啊？
生：
这里应该以点0为坐标原点，0A所在直线为y轴建立坐标系，这样抛物线就在x轴下方，直接设x22pyp0，又B2,1，则p2，方程就是x24y！
师：
很好！
接着我们还可以算出？
生：
只要知道姚明的身高，我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。
师：
非常好！
【学情预设】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，禾U用掌握的相关知识解决了实际生活问题。
【设计意图】设计一道求投篮轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知识，加深学生的数学应用意识。
五•小结概括，深化认识
师：
今天我们学习了什么内容？
生：
可以巧妙地利用几何知识画出抛物线。
生：
知道了抛物线的标准方程，它的顶点在原点，焦点落在对称轴上，有四种形式。
师：
这是知识方面的。
我们还学到了哪些数学思想方法？
生：
转化思想，求解抛物线方程问题时要特别注意先化成标准方程。
师：
还有吗？
生：
从椭圆和双曲线中e的变化研究到抛物线，实际是用了类比的方法。
【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。
【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。
六•布置作业
课本P1191、2、3、4
板书设计
拋物线及其标准方程
1•拋物线的定义
2•拋物线的标准方程
3.应用与小结
七、教学反思
本节应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。
时时与前两种曲线进行比较，不断复习学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。
在教学设计中，注重设计三个活动：
第一个活动让学生感受曲线上的一个点，并培养学习的信心；第二个活动中，圆锥曲线教具在概念的形成过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，三个活动有机结合，协调发挥作用。
总之，在
“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，要在每个阶段的教学中都必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。
教学案例
2010-2011第一学期
五常高级中学
朱莹
2010．12．20
圆锥曲线定义的运用
五常高级中学朱莹
一、教学内容分析本课选自《全日制普通高级中学教科书（选修2-1）?
数学》（人教版）高二（上），第二章（圆锥曲线方程复习课）
圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略.
二、学生学习情况分析与以往的学生比较，这届学生的特点是：
参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。
三、设计思想
由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.
四、教学目标
1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。
2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法.
3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.
五、教学重点与难点:
教学重点
1.对圆锥曲线定义的理解
2.利用圆锥曲线的定义求“最值”
3.“定义法”求轨迹方程
教学难点:
巧用圆锥曲线定义解题
六、教学过程设计
【设计思路】
由于这是一堂习题课，在教学中，我拟采用师生共同参与的谈话法：
由教师提出问题，激发学生积极思考，弓I导他们运用已有的知识经验，禾I」用合情推理来自行获取新知识。
通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。
最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点。
（一）开门见山，提出问题
一上课，我就直截了当地给出一一
例题1:
⑴已知A（-2,0），B（2,0）动点M满足|MA|+|MB|=2,则点M的轨迹是（）。
（A）椭圆（B）双曲线（C）线段（D）不存在
（2）已知动点M（X，y）满足1）L（y—2）2|3x4y|，则点M的轨迹是（）。
（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）两条相交直线
【设计意图】
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。
为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线，精心准备了两道练习题。
为杜绝一些错误认识在学生大脑中滋生、萌芽，我准备采用电脑多媒体辅助教学一一先制作好若干“电脑小课件”，一旦有学生提出错误的解法，就向学
生们展示。
希望用形象生动的“电脑课件”使学生对问题有正确的认识。
【学情预设】
估计多数学生能够很快回答出正确答案，但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此，在学生们回答后，我将要求学生接着说出：
若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？
这对于已学完圆锥曲线这部分知识的学生来说，并不是什么
难事。
但问题
（2）就可能让学生们费一番周折一一
如果有学生提出：
可以利用变形来解决问题，那么我就可以循着他的思路，先对
原等式做变形：
（xi3x席2）5这样，很快就能得出正确结果。
如若不然,
5
我将启发他们从等式两端的式子入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式。
在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：
该双曲线的中心坐标
是，实轴长为，焦距为。
以
深化对概念的理解。
（二）理解定义、解决问题
例2
（1）已知动圆A过定圆B：
x2y26x70的圆心，且与定圆C:
（2）在
（1）的条件下，给定点P（-2,2）,求|PA|5|AB|的最小值。
3
（3）在
（2）的条件下求|PA|+|AB|的最小值。
【设计意图】
运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。
例2的设置就是为了方便学生的辨析。
【学情预设】
根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题，但真正能完整解答的可能并不多…。
事实上，解决本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，有了练习题1的铺垫，这个问题对学生们来讲就显得颇为简单，因此面对例2
（1）、
（2），多数学生应
该能准确给出解答，但是对于例2（3）这样相对比较陌生的问题，学生要么就卡壳了，要么可能得出错误的解答。
我准备在学生们都解答完后，选择几份有“共性”错
误的练习，借助于实物投影仪与电脑，加以点评。
这时，也许会有学生说应当是P、
A、B三点共线时，取最小值。
那么，我应该鼓励学生进行的大胆构想，同时不急于给出标准答案，而是打开“几何画板”，利用其能够准确测量线段的特点，让学生们自己发现错误，在电脑动画.的帮助下.，.让学生们寻找到点.B所在的正确位置后,.叫学生演练出正确的解题过程,.并借助实物投影加以演示。
.在学生们得出正确解答后，.由一位学生进行归纳小结:
.在椭圆中，当定点A不在椭圆内部时，则A，F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点；当定点A在椭圆内部时，则A与另一焦点F'的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。
（3）自主探究、深化认识
如果时间允许，练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会一一
练习：
设点Q是圆C：
（x1）2y225上动点,点A（1,0）是圆内一点,AQ
的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。
引申：
若将点A移到圆C夕卜，点M的轨迹会是什么？
【设计意图】
练习题设置的目的是为学生课外自主探究学习提供平台C【知识链接】
（1）圆锥曲线的定义
圆锥曲线的第一定义，圆锥曲线的统一定义
（2）圆锥曲线定义的应用举例
22
1.双曲线乞乞1的两焦点为Fi、F2,P为曲线上一点，若P到左焦点Fi的距
169
离为12,求P到右准线的距离。
2.P为等轴双曲线x2y2a2上一点，F1、F2为两焦点，0为双曲线的中心，求
巴訂的取值范围。
|PO|
2px上有一点A（4,m）,A点到抛物线的焦点F的距离为5,求
2
—，在抛物线上求一点M，使
8|PM|+|FM|最小。
内的点，M是椭圆上的动点，求
225.已知A（4,0）,B（2,2）是椭圆乞乂
259
|MA|+|MB|的最小值与最大值。
七、教学反思
本课将借助于“POWERPOINT”，利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索，以及对猜测结果的检测研究，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性，使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法，领略数学的统一
美•“电脑多媒体课件”的介入，将使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。
教学反思
2010-2011第一学期
五常高级中学
朱莹
2010．12．20
高中数学教学反思
五常高级中学朱莹
一个教师要想成为一名优秀教师，除了具备一定的教学经验外，还必须具备不断反思的意识。
一个教师不论其教学能力起点有多高，都有必要通过多种途径对自己的教学进行反思，这样做有利于提高教师的自我教学意识，增强自我评价、自我纠错的能力，然后再回到实践进行新的一轮反思，不断循环，螺旋上升。
另一方面通过对反思的探索，构建理论与实践的桥梁，对反思基本理念进行确认，将理论回归实际。
这样才能使自己与时俱进；才能对自己提出更高远的目标，向教学艺术的殿堂迈进。
作为一名数学教师，我的教学反思有以下几个方面：
对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。
一、对数学概念的反思——学会数学的思考
对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。
而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。
以函数为例：
1、从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等，以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数教学的基础，但不是全部。
2、从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系。
如方程的根可以作为函数的图象与x轴交点的横坐标；
不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合；
、对学数学的反思
当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。
教师不能把他们看成“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。
要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中老师尽量少讲，让学生多动手，动脑操作，尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。
三、对教数学的反思教得好本质上是为了促进学得好。
但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？
我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为已经把题目讲得清楚明白了，一题多解，举一反三，发散思维都用到了，学生受到了一定的启发。
但结果却不尽如人意，遇到同类型的题目学生仍然很茫然，无从下手。
经过反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的把自己的想法强加给他们，想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。
下次遇到同类型的题目只会机械地模仿，有时甚至生搬硬套，照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。
对此我从四个视角反思：
1．自我经历
在教学中，我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照，我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐，紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。
当然，我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材，那么我们可以“重新做一次学生”以学习者的身份从事一些探索性的活动，并有意识的对活动过程的有关行为做出反思。
2.学生角度
教学行为的本质在于使学生受益，教得好是为了促进学得好
在新课程实验中，学习分段函数时，让学生去了解出租汽车的出租费用、或家长工资中的扣税标准，并写出调查报告
在讲习题时，当我们向学生介绍一些精巧奇妙的解法时，特别是一些奇思妙解时，学生表面上听懂了，但当他自己解题时却茫然失措。
我们教师在备课时把要讲的问题设计的十分精巧，连板书都设计好了，表面上看天衣无缝，其实，任何人都会遭遇失败，教师把自己思维过程中失败的部分隐瞒了，最有意义，最有启发的东西被抽掉了，学生除了赞叹我们教师的高超的解题能力以外，又有什么收获呢？
所以贝尔纳说“构成我们学习上最大障碍的是已知的东西，而不是未知的东西”。
大数学家希尔伯特的老师富士在讲课时就常把自己置于困境中，并再现自己从中走出来的过程，让学生看到老师的真实思维过程是怎样的。
人的能力只有在逆境中才能得到最好的锻炼。
经常去问问学生，对数学学习的感受，借助学生的眼睛看一看自己的教学行为，是促进教学的必要手段。
3.与同事交流
同事之间长期相处，彼此之间形成了可以讨论教学问题的共同语言、沟通方式和宽松氛围，便于展开有意义的讨论。
由于所处的教学环境相似、所面对的教学对象知识和能力水平相近，因此容易找到共同关注的教学问题展开对彼此都有成效的交流。
交流的方式很多，比如：
共同设计教学活动、相互听课、做课后分析等等。
合作解决问题——共同从事教学设计，从设计的依据、出发点，到教学重心、基本教学过程，甚至富有创意的素材或问题。
更为重要的是这样的设计要为其后的教学反思留下空间。
4.参考资料
学习相关的数学教育理论，我们能够对许多实践中感到疑惑的现象做出解释；能够对存在与现象背后的问题有比较清楚的认识；能够更加理智的看待自己和他人教学经验；能够更大限度的做出有效的教学决策。
阅读数学教学理论可以开阔我们教学反思行为的思路，不再总是局限在经验的小天地里，我们能够看到自己的教学实践行为有哪些与特定的教学情境有关、哪些更带有普遍的意义，从而对这些行为有较为客观的评价。
能够使我们更加理性的从事教学反思活动并对反思得到的结论更加有信心。
更为重要的是，阅读教学理论，可以使我们理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能够从更深刻的层面
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