高中数学第四章函数应用41函数与方程学案北师大必修1.docx
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高中数学第四章函数应用41函数与方程学案北师大必修1
4.1函数与方程
[核心必知]
1．利用函数性质判定方程解的存在
（1）函数零点：
函数y＝f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f（x）＝0的解．
（2）函数零点的判定定理：
若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）＜0，则在区间（a，b）内，函数y＝f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解．
2．利用二分法求方程的近似解
（1）二分法：
在区间[a，b]上f（x）的图像是一条连续的曲线，且f（a）·f（b）＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
（2）用二分法求方程近似解的过程（如图）：
其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：
取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：
方程解满足要求的精确度．
[问题思考]
1．函数的零点是一个点吗？
提示：
不是，是一个使f（x）＝0的x的取值．
2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？
提示：
等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．
3．如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么在（a，b）上零点的个数是多少？
什么情况下在（a，b）上有且只有一个零点？
若f（a）f（b）＞0，在区间（a，b）上就没有零点吗？
提示：
若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f（a）·f（b）＜0时在（a，b）上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当（a，b）是f（x）的单调区间时只有一个零点；当f（a）·f（b）＞0时也不一定没有零点．
讲一讲
1．
（1）函数f（x）＝4x－16的零点为________．
（2）函数f（x）＝x－
的零点的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
（3）函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
（4）已知函数f（x）＝2x－3x2.问方程f（x）＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
为什么？
[尝试解答]
（1）令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函数的零点为x＝2.
答案：
2
（2）选C 令f（x）＝0，而x－
＝0，
∴x＝±2，故有两个．
（3）选C 由f（0）＝－1＜0，f
（1）＝e－1＞0，知函数f（x）的零点在区间（0,1）内．
（4）∵f（－1）＝
－3＜0，f（0）＝1＞0，
又∵函数f（x）＝2x－3x2的图像是连续曲线，
∴f（x）在区间[－1,0]内有零点，
即f（x）＝0在区间[－1,0]内有实数解．
（1）求函数f（x）的零点的方法：
令f（x）＝0，解方程f（x）＝0即可．
（2）判断函数零点的个数，常用的方法有：
①解方程法：
当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
②用定理法：
用零点存在性定理并结合函数的单调性．
③利用图像的交点法：
有些题目可先画出某两个函数y＝f（x），y＝g（x）的图像，其交点的横坐标是函数y＝f（x）－g（x）的零点．
（3）判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f（x）＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：
①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．
练一练
1．函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C f
·f
＝
＋log2
＝
＜0.
2．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
解：
设函数f（x）＝x3－2x，
则f
（1）＝1－2＝－1＜0，f
（2）＝8－4＝4＞0，
∴f
（1）·f
（2）＜0.
又函数f（x）＝x3－2x的图像是连续曲线，
∴函数f（x）＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数解．
讲一讲
2．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在（0,1）上，另一个根在（1,2）上？
[尝试解答]
（1）当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
（2）当a＞0时，
设f（x）＝ax2－2x＋1，
因为方程的根分别在区间（0,1），（1,2）上，
所以
即
解得
＜a＜1.
（3）当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝
＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，当
＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在（0,1）上，另一个根在（1,2）上．
若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？
解：
设f（x）＝ax2－2x＋1，
由已知得：
或
即
或
解得0＜a＜1.
解决该类问题，有两种常用途径：
（1）利用零点的判定定理构建不等式求解．
（2）画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．
练一练
3．已知函数f（x）＝x2－x－m在区间
（－1,1）上有零点，求实数m的取值范围．
解：
法一：
①当函数f（x）＝x2－x－m
＝
2－m－
，
其对称轴x＝
∈（－1,1），
故函数在区间（－1,1）上只有1个零点时，
Δ＝0或
或
即1＋4m＝0或
或
解得m＝－
或0＜m＜2或m＝0.
②当函数f（x）＝x2－x－m在区间（－1,1）上有2个零点时，
即
解得－
＜m＜0.
综上所述，实数m的取值范围为
.
法二：
函数f（x）＝x2－x－m在区间（－1,1）上有零点
⇔方程x2－x－m＝0在区间（－1,1）上有解
⇔方程x2－x＝m在区间（－1,1）上有解
⇔函数y＝x2－x与函数y＝m在区间
（－1,1）上有交点，
∵函数y＝x2－x在区间（－1,1）上的值域为
，
∴－
≤m＜2，
∴实数m的取值范围为
.
讲一讲
3．求方程lgx＝3－x的近似解（精确到0.1）．
[尝试解答]
令f（x）＝lgx＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lgx和y＝3－x的图像如图所示，观察图像可以发现lgx＝3－x有唯一解x0，
x0∈[2,3]，且f
（2）＜0，f（3）＞0，
利用二分法可列下表：
计算次数
左端点
右端点
1
2
3
2
2.5
3
3
2.5
2.75
4
2.5
2.625
5
2.5625
2.625
由于区间（2.5625,2.625）内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.
求方程近似解的步骤：
①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间（n，n＋1），n∈Z；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M；③写出方程的近似解．
练一练
4．求函数f（x）＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点（精确到0.1）．
解：
由于f
（1）＝－6<0，f
（2）＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
计算次数
左端点
右端点
1
1
2
2
1.5
2
3
1.5
1.75
4
1.625
1.75
5
1.6875
1.75
6
1.71875
1.75
7
1.71875
1.734375
由上表可知，区间[1.71875,1.734375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．
求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数．
[解] 法一：
∵f（0）＝1＋0－2＝－1＜0，
f
（2）＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，
∴f（x）在（0,2）上必定存在零点．
又显然f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为增函数，故f（x）有且只有一个零点．
[尝试用另一种方法解题]
法二：
在同一平面直角坐标系中作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的图像．
由图像，知y＝lg（x＋1）和y＝2－2x有且只有一个交点．
1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为（ ）
A．3,1；（－1，－4）
B．－3，－1；（－1,4）
C．－3,1；（1，－4）
D．－3,1；（－1，－4）
答案：
D
2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
解析：
选C 当且仅当函数f（x）在区间[a，b]上连续且f（a）·f（b）＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：
选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．
3．（北京高考）函数f（x）＝x
－
x的零点个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选B 因为y＝
在x∈[0，＋∞）上单调递增，y＝
x在x∈R上单调递减，所以f（x）＝
－
x在x∈[0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝－1<0，f
（1）＝
>0，所以f（x）＝
－
x在定义域内有唯一零点．
4．已知函数f（x）＝x3＋x2－2x－2，f
（1）·f
（2）＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f（x0）＝________.
解析：
由题意知f（x0）＝f
＝f（1.5），代入解析式易计算得0.625.
答案：
0.625
5．（湖南高考）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：
由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点．
答案：
（0,2）
6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点．
（1）f（x）＝x2－8x＋16，x∈[1,8]；
（2）f（x）＝log2（x＋2）－x，x∈[1,3]；
（3）f（x）＝
，x∈[2,4]．
解：
（1）f
（1）＝9，f（8）＝16，f
（1）·f（8）＞0，但是f（4）＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.
（2）由于f
（1）＝log2（1＋2）－1＝log2
＞0，f（3）＝log2（3＋2）－3＝log2
＜0，因此f
（1）·f（3）＜0，
又函数f（x）在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．
（3）因为函数的定义域为（－∞，3）∪（3，＋∞），所以函数y＝f（x）的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．
函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．
一、选择题
1．下列函数有两个零点的是（ ）
A．y＝x＋1
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝2log2x
D．y＝
解析：
选D 易知A只有一个零点；对于B，方程x2＋2x＋3＝0无解；对于C，令2log2x＝0，也无解；对于D，y＝0有两解x＝2012和x＝0.
2．（重庆高考）若aA．（a，b）和（b，c）内
B．（－∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内
D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：
选A 令y1＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＝（x－b）·[2x－（a＋c）]，y2＝－（x－c）（x－a），由a3．函数f（x）＝ln（x＋1）－
的零点所在的大致区间是 （ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2，e）D．（3,4）
解析：
选B ∵f
（1）＝ln2－2＜0，f
（2）＝ln3－1＞0，则函数f（x）的零点所在的大致区间是（1,2）．
4．若方程|ax|＝x＋a（a＞0）有两个解，则a的取值范围是 （ ）
A．（1，＋∞）B．（0,1）
C．（0，＋∞）D．∅
解析：
选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图像如图：
结合图像可知方程|ax|＝x＋a有两个解时，有a＞1.
二、填空题
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
解析：
令f（x）＝x3－2x－5，
可知，f
（2）、f（3）分别等于－1、16，又因为f（2.5）＝
＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5）．
答案：
[2,2.5）
6．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
解析：
分别作出函数f（x）＝3－x2与函数g（x）＝2－x的图像，如图所示．∵f（0）＝3，g（0）＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．
答案：
2
7．已知函数f（x）＝
则函数y＝f（x）－2的零点是________．
解析：
当x≤1时，y＝3x－2，令y＝0，得x＝log32≤1，
当x＞1时，y＝－x－2，令y＝0，得x＝－2不合题意，
综上，零点是log32.
答案：
log32
8．已知y＝x（x－1）·（x＋1）的图像如图所示，今考虑f（x）＝x（x－1）·（x＋1）＋0.01，则方程式f（x）＝0
①有三个实根；
②当x＜－1时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；
③当－1＜x＜0时，恰有一实根；
④当0＜x＜1时，恰有一实根；
⑤当x＞1时，恰有一实根．
正确的有________．
解析：
函数f（x）的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f（x）＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f（x）＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．
答案：
①②
三、解答题
9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解（精确到0.1）．
解：
设函数f（x）＝x3－x－1，因为f
（1）＝－1＜0，
f（1.5）＝0.875＞0，且函数f（x）＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间（1,1.5）的中点x1＝1.25，用计算器可算得
f（1.25）＜0，因为f（1.25）·f（1.5）＜0，
所以x0∈（1.25,1.5）．
再取（1.25,1.5）的中点x2＝1.375，用计算器可算得
f（1.375）≈0.22＞0，
因为f（1.25）·f（1.375）＜0，
所以x0∈（1.25,1.375）．
同理，可得x0∈（1.3125,1.375），
x0∈（1.3125,1.34375）．
由于区间（1.3125,1.34375）内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．
10．已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）＝f（x）－ax，x∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[－1,1]时，不等式f（x）＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0），
由f（0）＝1，得c＝1，
故f（x）＝ax2＋bx＋1.
因为f（x＋1）－f（x）＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以
所以
所以f（x）＝x2－x＋1.
（2）h（x）＝f（x）－ax＝x2－（a＋1）x＋1，
则h
（2）＝3－2a，h（3）＝7－3a.
所以h（x）＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需
或
即
或
解得
≤a≤
.
经验证，知当a＝
时，方程h（x）＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝2；当a＝
时，方程h（x）＝0在区间[2,3]上有唯一解x＝3；
故a的取值范围是
.
（3）由题意，得f（x）＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0在区间[－1,1]上恒成立．
设g（x）＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝
，
所以g（x）在区间[－1,1]上是减少的．
所以只需g
（1）＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1.
即m的取值范围为（－∞，－1）．
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