7空间解析几何与向量代数习题与答案可编辑修改word版.docx
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7空间解析几何与向量代数习题与答案可编辑修改word版
第七章空间解析几何与向量代数
A
一、
1、平行于向量a=（6,7,-6）的单位向量为.
2、设已知两点M1（4,2,1）和M2（3,0,2），计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.
3、设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴
上的投影，及在y轴上的分向量.
二、
1、设a=3i-j-2k,b=i+2j-k，求
（1）a⋅b及a⨯b；
（2）（-2a）⋅3b及a⨯2b（3）a、b的
夹角的余弦.
2、知M1（1,-1,2）,M2（3,3,1）,M3（3,1,3），求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.
3、设a=（3,5,-2）,b=（2,1,4），问λ与μ满足时，a+b⊥z轴.
三、
1、以点（1,3,-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程为.
2、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示曲面.
3、1）将xOy坐标面上的y2=2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为
，曲面名称为.
2）将xOy坐标面上的x2+y2=2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程
，曲面名称为.
3）将xOy坐标面上的4x2-9y2=36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方
程为，曲面名称为.4）在平面解析几何中y=x2表示图形。
在空间解析几何中
y=x2表示图形.
5）画出下列方程所表示的曲面
（1）z2=4（x2+y2）
（2）z=4（x2+y2）
四、
⎧x2y2
⎪=1
1、指出方程组⎨49
⎪⎩y=3
在平面解析几何中表示图形，在空间解
析几何中表示图形.
2、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影方程.
3、求上半球0≤z≤
与圆柱体x2+y2≤ax
（a>0）的公共部分在
xOy面及xOz面上的投影.
五、
1、求过点（3,0,-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.
2、求过点（1,1,-1），且平行于向量a=（2,1,1）和b=（1,-1,0）的平面方程.
3、求平行于xOz面且过点（2,-5,3）的平面方程.
4、求平行于x轴且过两点（4,0,-2）和（5,1,7）的平面方程.
六、
1、求过点（1,2,3）且平行于直线=
2
y-3=
1
z-1
5
的直线方程.
2、求过点（0,2,4）且与两平面x+2z=1,y-3z=2平行的直线方程.
⎨
⎧x-2y+4z-7=0
3、求过点（2,0,-3）且与直线
⎩3x+5y-2z+1=0
垂直的平面方程.
4、求过点（3,1,-2）且通过直线
x-4=
5
y+3=
2
z
的平面方程.
1
⎧x+y+3z=0
⎩
5、求直线⎨x-y-z=0
与平面x-y-z+1=0的夹角.
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
⎧x+2y-z=7
1）
⎩
直线⎨-2x+y+z=7与直线
x-1=
2
y-3
-1
=z;
-1
2）
直线
x-2=
3
y+2=
1
z-3
-4
和平面x+y+z=3.
⎧x+y-z+1=0
⎩
7、求点（3,-1,2）到直线⎨2x-y+z-4=0的距离.
B
1、已知a+b+c=0（a,b,c为非零矢量），试证:
a⨯b=b⨯c=c⨯a.
2、a⋅b=3,a⨯b={1,1,1},求∠（a,b）.
3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模|a+tb|最小？
并证明此时b⊥（a+tb）.
4、求单位向量n，使n⊥a且n⊥x轴，其中a=（3,6,8）.
5、求过z轴，且与平面2x+y-
5z=0的夹角为的平面方程.
3
6、求过点M1（4,1,2），M2（-3,5,-1），且垂直于6x-2y+3z+7=0的平面.
⎧x-2y+z-1=0
xyz
⎩
7、求过直线⎨2x+y-z-2=0，且与直线l2：
1=-1=2平行的平面.
⎧y=1
⎩
8、求在平面:
x+y+z=1上，且与直线L：
⎨z=-1
垂直相交的直线方程.
9、设质量为100kg的物体从空间点M1（3,1,8），移动到点M2（1,4,2），计算重力所做的功（长度单位为m）.
⎧y2+z2-2x=0
10、求曲线⎨
⎩
z=3
在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲
线？
11、已知OA=i+3k,OB=j+3k，求∆OAB的面积
⎧
12、.求直线⎨
2x-4y+z=0
在平面4x-y+z=1上的投影直线方程.
⎩3x-y-2z-9=0
C
1、设向量a,b,c有相同起点,且a+b+c=0，其中++=0，,,不全为零,
证明:
a,b,c终点共线.
x+2
y-12
2、求过点M0（1,2,-1），且与直线L：
2
=-1
=相交成角的直线方程.
13
3、过（-1,0,4）且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线程.
x+1=
1
y-3=
1
z
相交的直线方
2
x-1yzxyz+2
4、求两直线L1：
0
=-1=-1与直线L2：
6=-3=
的最短距离.
0
5、柱面的准线是xoy面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量g={1,1,1}，
求此柱面方程.
6、设向量a,b非零，b=2,（a,b）=
⎧x=2y
⎪
，求lim.
3x→0x
7、求直线L:
⎨z=-1（y-1）绕y轴旋转一周所围成曲面方程.
⎩⎪2
第七章空间解析几何与向量代数
习题答案
⎧67
一、1、±⎨,,
⎩1111
A
⎭
-6⎫11⎬
121
23
2、M1M2=2,cos=-2,cos=
cos=,=
22
=
3
=
43
3、a在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j
二、1、1）a⋅b=3⋅1+（-1）⋅2+（-2）⋅（-1）=3
ia⨯b=3
1
jk
-1-2=5i+j+7k2-1
（2）（-2a）⋅3b=-6（a⋅b）=-18，a⨯2b=2（a⨯b）=10i+2j+14k
^
（3）cos（a,b）=
a⋅b3
221
2、M1M2={2,4,-1},M2M3={0,-2,2}
ia=M1M2⨯M2M3=2
0
jk
4-1=6i-4j-4k
-22
±=±{
-4,}
即为所求单位向量。
3、λ=2μ
三、1、（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14
2、以（1,-2,-1）为球心,半径为的球面
3、1）
y2+z2=2x,旋转抛物面
2）x2+y2+z2=2x,球面
3）绕x轴：
4x2-9y2-9z2=36旋转双叶双曲面
绕y轴：
4x2+4z2-9y2=36旋转单叶双曲面
4、抛物线，抛物柱面
5、
四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
⎧2x2-2x+y2=8
⎩
2、⎨z=0
⎩
⎧a222⎧222
3、在xoy面的投影为：
⎪（x-2）+y
≤ax+z≤a
在xOz面的投影为：
⎨
⎪⎩z=0
⎨y=0
五、1、3x-7y+5z-4=02、1⋅（x-1）+1⋅（y-1）-3（z+1）=0
3、y+5=04、9y-z-2=0
六、1、x-1=
y-2=z-3
2、x
=y-2=z-4
215
-231
3、16x-14y-11z-65=04、8x-9y-22z-59=0
5、06、1）垂直2）直线在平面上7、
2
B
1、证明思路：
a+b+c=0，∴a⨯（a+b+c）=0
即a⨯b+a⨯b+a⨯c=0，又a⨯a=0，
∴a⨯b=-a⨯c=c⨯a
同理得
a⨯b=b⨯c
2、思路：
a⨯b=absin（a,b）a⋅b=abcos（a,b）。
答案：
（a,b）=
6
3、思路|a+tb|2=（a+tb）⋅（a+tb）=|a|2+t2|b|2+2t（a⋅b）
该式为关于t的一个2次方程，求其最小值即可。
答案：
t=-
4、思路：
取b=i，则n⊥a,n⊥b。
答案：
n=±1（8j-6k）
10
a⋅b
|b|2
5、思路：
平面过z轴，不妨设平面方程为Ax+By=0，则n={A,B,0}，又（A,B
不全为0）
答案：
所求平面方程为x+3y=0或x-y=0
3
6、法一：
，所求平面法向量n⊥M1M2，且n⊥n1={6,-2,3}
i
∴取n=M1M2⨯n1=-7
6
jk
4-3={6,3,-10}
-23
1
又平面过点M1（4,1,2），则平面方程为6x+3y-10z-7=0
解法2.在平面上任取一点M（x,y,z），则MM1
M1M2
和n
={6,-2,3}共面，由三向量共
面的充要条件得
x-4
6
-7
y-1
-2
4
z-2
3
-3
=0，整理得所求平面方程
7、思路：
用平面束。
设过直线l1的平面束方程为x-2y+z-1+（2x+y-z-2）=0
答案：
平面方程为11x+3y-4z-11=0
8、思路：
求交点（1,1,-1），过交点（1,1,-1）且垂直于已知直线的平面为x-1=0。
⎧x-1=0
⎩
答案：
⎨x+y+z=1
9、思路：
重力的方向可看作与向量k方向相反
答案：
W=F⋅M1M2=0⋅（-2）+0.3+（-100g）⋅（-6）=600⋅g=5880J
10、思路：
先求投影柱面方程，答案：
原曲线在xoy面上的投影曲线方程为
⎧y2-2x+9=0
⎨
。
原曲线是由旋转抛物面y2+z2-2x=0被z=3平面所截的抛物线。
⎩z=0
11、思路：
S=1|OA⨯OB|，答案：
19
OAB22
⎧17x+31y-37z-117=0
12、思路：
利用平面束方程。
答案⎨
⎩
C
4x-y+z=1
1、证明：
设OA=a，OB=b，OC=c，根据三角形法则。
则AB=b-a，AC=c-a，
BC=c-b。
根据条件,,不全为0，不妨设≠0，则AB=c-a=-a+b-a
=a+b-a
+
即AC与AB共线。
∴点A,B,C在一条直线上。
2、解：
在已知直线L上任取两点P1（-2,1,0），P2（0,0,1），则向量
P1M0
={3,1,-1},P2M0
={1,2,-2}，则构造直线束方程L*：
x-1
3+1
=y-2=
+2
+1
，
--2
表示过点M且与已知直线共面的所有直线。
根据已知条件：
当L*
与L成角时，有
3
（3+1）⋅2+（-1）（+2）+1⋅（--2）=cos，即4-2=1，∴=5
∴所求直线方程为x-1=
328
y-2=z+1。
2321
-21
3、解：
设所求直线方程为
x+1=y=
mn
z-4
p
所求直线与已知平面平行，则3m-4n+p=0
（1）
又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点（-1,3,0），则
mnM0M1={0,3,-4}在平面上。
三向量共面，得11
03
p
2=0，
-4
即10m-4n-3p=0
（2）
x+1yz-4
由
（1）
（2），得m:
n:
p=16:
19:
28
∴所求直线方程：
==
161928
4、解：
已知两直线的方向向量为S1={0,-1,-1},S2={6,-3,0}，故垂直于两方向向量的向量n可取为n=S1⨯S2=-3i-6j+6k，又点（1,0,0）在直线L1上
∴过直线L1且平行于L2的平面为-3（x-1）-6y+6z=0，即x+2y-2z-1=0，又点
（0,0,-2）在直线L1上，该点到平面x+2y-2z-1=0的距离
d=3
=1为所求两直线间的最短距离。
5、解：
设柱面上任意一点M（x,y,z），过M作平行于向量g的母线且准线相交于
M0（x0,y0,0），又M0M||g，即M0M
000
又M在圆上，∴x2+y2=1
=g，∴x-x0=，y-y0=，z=。
∴（x-）2+（y-）2=1，即（x-z）2+（y-z）2=1
6、解：
lim
x→0x
=lim
x→0
2
=lim
）x→0
（a+xb）⋅（a+xb）-a⋅a
2a⋅b
=lim
x→0
===2cos=13
7、解：
对旋转曲面上任一点P（x,y,z），过P作平面垂直y轴，与y轴的交点为B（0,y,0），
与L的交点为Q（x0,y0,z0）。
因为PB=
BQ，所以x2+z2=x2+z2
又因为Q在L上，所以x0
=2y,z0
=-1（y-1），代入得
2
x2+z2=4y2+1（y-1）2,即4x2-17y2+4z2+2y-1=0。
4
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