7空间解析几何与向量代数习题与答案可编辑修改word版.docx

1、7空间解析几何与向量代数习题与答案可编辑修改word版第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量a = (6,7,-6) 的单位向量为 .2、 设已知两点M1 (4, 2,1)和M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M 2 的模，方向余弦和方向角.3、 设m = 3i + 5j + 8k, n = 2i - 4j - 7k, p = 5i + j - 4k ，求向量a = 4m + 3n - p 在 x 轴上的投影，及在 y 轴上的分向量.二、1、设a = 3i - j - 2k, b = i + 2j - k ，求(1) a b及a b；(2)(-2a) 3b及a 2b (3)a、

2、b 的夹角的余弦.2、知M1 (1,-1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3) ，求与M1M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量.3、设 a = (3,5,-2), b = (2,1,4) ，问与 满足 时， a + b z轴.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为 .2、方程 x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y + 2z = 0 表示 曲面.3、1)将 xOy 坐标面上的 y 2 = 2x 绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 ，曲面名称为 .2)将 xOy 坐标面上的 x 2 + y 2 = 2x 绕 x 轴旋转一周，生

3、成的曲面方程 ，曲面名称为 .3)将 xOy 坐标面上的4x 2 - 9 y 2 = 36 绕 x 轴及 y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 ，曲面名称为 . 4）在平面解析几何中 y = x 2 表示 图形。在空间解析几何中y = x 2 表示 图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z 2 = 4(x 2 + y 2 )(2) z = 4(x 2 + y 2 )四、x 2 y2 = 1 1、指出方程组 4 9 y = 3在平面解析几何中表示 图形，在空间解析几何中表示 图形.2、求球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与平面 x + z = 1的交线在 xOy 面上的投影方程.3、

4、求上半球0 z 与圆柱体 x 2 + y 2 ax(a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线 =2y - 3 =1z - 15的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面 x + 2z = 1 , y - 3z = 2 平行的直线方

5、程.x - 2 y + 4z - 7 = 03、求过点(2,0,-3)且与直线3x + 5 y - 2z + 1 = 0垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线x - 4 =5y + 3 =2z的平面方程.1x + y + 3z = 05、求直线x - y - z = 0与平面 x - y - z + 1 = 0 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x + 2 y - z = 71)直线- 2x + y + z = 7 与直线x - 1 =2y - 3- 1= z ;- 12)直线x - 2 =3y + 2 =1z - 3- 4和平面 x+y+z=3.x + y -

6、z + 1 = 07、求点(3,-1,2)到直线2x - y + z - 4 = 0 的距离.B1、已知 a + b + c = 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证: a b = b c = c a .2、 a b = 3, a b = 1,1,1, 求(a, b) .3、已知 a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模| a + tb |最小？并证明此时b(a + tb) .4、求单位向量 n ，使 na 且 nx 轴，其中 a = (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面2x + y -5z = 0 的夹角为 的平面方程.36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (

7、-3,5,-1) ，且垂直于6x - 2 y + 3z + 7 = 0 的平面. x - 2 y + z - 1 = 0x y z7、求过直线2x + y - z - 2 = 0 ，且与直线l2 ： 1 = - 1 = 2 平行的平面. y = 18、求在平面 : x + y + z = 1上，且与直线 L：z = -1垂直相交的直线方程.9、设质量为100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ）. y 2 + z 2 - 2x = 010、求曲线 z = 3在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么

8、曲线？11、已知OA = i + 3k , OB = j + 3k ，求OAB 的面积12、.求直线2x - 4 y + z = 0在平面4x - y + z = 1上的投影直线方程.3x - y - 2z - 9 = 0C1、设向量 a, b, c 有相同起点,且 a + b + c = 0 ，其中 + + = 0 ， , , 不全为零,证明: a, b, c 终点共线.x + 2y - 1 2 2、求过点 M 0 (1,2,-1) ，且与直线 L ： 2= - 1= 相交成 角的直线方程.1 33、过(-1,0,4) 且平行于平面3x - 4 y + z - 10 = 0 又与直线程.x

9、+ 1 =1y - 3 =1z相交的直线方2x - 1 y z x y z + 24、求两直线 L1 ： 0= - 1 = - 1 与直线 L2 ： 6 = - 3 =的最短距离.05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为 1），母线平行于向量 g = 1,1,1 ，求此柱面方程.6、设向量 a,b 非零， b = 2,(a, b) =x = 2 y ，求lim .3 x0 x7、求直线 L : z = - 1 ( y - 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程. 2第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案 6 7一、1、 , ,11 11A- 6 11 1 2 12 3

10、2、 M 1 M 2 =2, cos = - 2 , cos =, cos = , =2 2, =3, =4 33、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j二、1、1） a b = 3 1 + (-1) 2 + (-2) (-1) = 3i a b = 31j k- 1 - 2 = 5i + j + 7k 2 - 1（2） (-2a) 3b = -6(a b) = -18 ， a 2b = 2(a b) = 10i + 2 j + 14k（3） cos(a, b) =a b 3 2 212、 M 1 M 2 = 2,4,-1, M 2 M 3 = 0,-2,2i a = M

11、 1 M 2 M 2 M 3 = 20j k4 - 1 = 6i - 4 j - 4k- 2 2 = , - 4 , 即为所求单位向量。3、 = 2三、1、(x - 1)2 + ( y - 3)2 + (z + 2)2 = 142、以(1,-2,-1)为球心,半径为 的球面3、1)y 2 + z 2 = 2x ,旋转抛物面2)x 2 + y 2 + z 2 = 2x ,球面3)绕 x 轴： 4x 2 - 9 y 2 - 9z 2 = 36 旋转双叶双曲面绕 y 轴： 4x 2 + 4z 2 - 9 y 2 = 36 旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面5、四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的

12、交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。2x 2 - 2x + y 2 = 82、 z = 0 a 2 2 2 2 2 23、在 xoy 面的投影为： (x - 2 ) + y a x + z a在 xOz 面的投影为：z = 0 y = 0五、1、3x - 7 y + 5z - 4 = 0 2、1 (x - 1) + 1 ( y - 1) - 3(z + 1) = 03、 y + 5 = 0 4、9 y - z - 2 = 0六、1、 x - 1 =y - 2 = z - 3 2、 x= y - 2 = z - 4 2 1 5- 2 3 13、16x - 14 y - 11z -

13、65 = 0 4、8x - 9 y - 22z - 59 = 05、0 6、1）垂直 2）直线在平面上 7、2B1、证明思路： a + b + c = 0 ，a (a + b + c) = 0即 a b + a b + a c = 0 ，又 a a = 0 ，a b = -a c = c a同理得a b = b c2、思路： a b = a b sin(a, b) a b = a b cos(a, b) 。答案： (a, b) = 63、思路 | a + tb |2 = (a + tb) (a + tb) =| a |2 +t 2 | b |2 +2t(a b)该式为关于t 的一个 2 次方程

14、，求其最小值即可。答案： t = -4、思路：取b = i ，则 na, nb 。 答案： n = 1 (8 j - 6k )10a b| b |25、思路：平面过 z 轴，不妨设平面方程为 Ax + By = 0 ，则 n = A, B,0 ，又（ A, B不全为0 ）答案：所求平面方程为 x + 3y = 0 或 x - y = 036、法一：，所求平面法向量 nM 1 M 2 ，且 nn1 = 6,-2,3i取 n = M 1 M 2 n1 = - 76j k4 - 3 = 6,3,-10- 2 31又平面过点 M 1 (4,1,2) ，则平面方程为6x + 3y - 10z - 7 =

15、 0解法 2. 在平面上任取一点 M (x, y, z) ，则 MM1M 1 M 2和 n = 6,-2,3 共面，由三向量共面的充要条件得x - 46- 7y - 1- 24z - 23- 3= 0 ，整理得所求平面方程7、思路：用平面束。设过直线l1 的平面束方程为 x - 2 y + z - 1 + (2x + y - z - 2) = 0答案：平面方程为11x + 3y - 4z - 11 = 08、思路：求交点(1,1,-1) ，过交点(1,1,-1) 且垂直于已知直线的平面为 x - 1 = 0 。 x - 1 = 0答案： x + y + z = 19、思路：重力的方向可看作与向

16、量 k 方向相反答案：W = F M 1M 2 = 0 (-2) + 0.3 + (-100g) (-6) = 600 g = 5880J10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 y 2 - 2x + 9 = 0。原曲线是由旋转抛物面 y 2 + z 2 - 2x = 0 被 z = 3 平面所截的抛物线。 z = 011、思路： S = 1 | OA OB | ，答案： 19 OAB 2 217x + 31y - 37z - 117 = 012、思路：利用平面束方程。答案C4x - y + z = 1 1、证明：设OA = a ， OB = b ， OC =

17、 c ，根据三角形法则。则 AB = b - a ， AC = c - a ，BC = c - b 。根据条件 , , 不全为0 ，不妨设 0 ，则 AB = c - a = - a + b - a = a + b - a + 即 AC 与 AB 共线。点 A, B, C 在一条直线上。2、解：在已知直线 L 上任取两点 P1 (-2,1,0) ， P2 (0,0,1) ，则向量P1 M 0= 3,1,-1, P2 M 0= 1,2,-2 ，则构造直线束方程 L* ：x - 13 + 1= y - 2 = + 2 + 1，- - 2表示过点 M 且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当 L

18、* 与 L 成 角时，有3(3 + 1) 2 + (-1)( + 2) + 1 (- - 2) = cos ，即4 - 2 = 1 ， = 5所求直线方程为 x - 1 =3 2 8y - 2 = z + 1 。 23 21- 213、解：设所求直线方程为x + 1 = y =m nz - 4p 所求直线与已知平面平行，则3m - 4n + p = 0（1）又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(-1,3,0) ，则m n M 0 M 1 = 0,3,-4 在平面上。三向量共面，得 1 10 3p2 = 0 ，- 4即10m - 4n - 3 p = 0 （2）x + 1 y z -

19、4由（1）（2），得 m : n : p = 16 :19 : 28所求直线方程： = =16 19 284、解：已知两直线的方向向量为 S1 = 0,-1,-1, S2 = 6,-3,0，故垂直于两方向向量的向量 n 可取为 n = S1 S2 = -3i - 6 j + 6k ，又点(1,0,0) 在直线 L1 上过直线 L1 且平行于 L2 的平面为- 3(x - 1) - 6 y + 6z = 0 ，即 x + 2 y - 2z - 1 = 0 ，又点(0,0,-2) 在直线 L1 上，该点到平面 x + 2 y - 2z - 1 = 0 的距离d = 3= 1为所求两直线间的最短距离

20、。5、解：设柱面上任意一点 M (x, y, z) ，过 M 作平行于向量 g 的母线且准线相交于M 0 (x0 , y0 ,0) ，又 M 0 M | g ，即 M 0 M0 0 0又 M 在圆上， x 2 + y 2 = 1= g ， x - x0 = ， y - y0 = ， z = 。(x - )2 + ( y - )2 = 1，即(x - z)2 + ( y - z)2 = 16、解：limx0 x= limx02= lim) x0(a + xb) (a + xb) - a a2a b = limx0= = = 2 cos = 1 37、 解：对旋转曲面上任一点 P(x,y,z)，过 P 作平面垂直 y 轴，与 y 轴的交点为 B(0,y,0)，与 L 的交点为 Q( x0 , y0 , z0 )。因为 PB =BQ ，所以 x 2 + z 2 = x 2 + z 2又因为 Q 在 L 上，所以 x0= 2 y, z0= - 1 ( y - 1) ，代入得2x 2 + z 2 = 4 y 2 + 1 ( y - 1)2 ,即4x 2 - 17 y 2 + 4z 2 + 2 y - 1 = 0 。4