轴对称知识点专题练习.docx

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轴对称知识点专题练习

第十三章轴对称

【轴对称知识要点】

1．轴对称图形与轴对称

轴对称图形：

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．

轴对称：

把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴．

2．轴对称的性质

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

3．线段的垂直平分线的性质和判定

性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）；

【温馨提示】

1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．

2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．

【等腰三角形知识要点】

1．等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．

2．等腰三角形的判定方法

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

3．等边三角形的性质和判定方法

性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．

判定方法1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

判定方法2：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

4．直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【温馨提示】

1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．

2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：

（1）必须是在直角三角形中；

（2）必须有一个锐角等于30°．

【方法技巧】

1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．

2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．

3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．

13.1轴对称

13.2画轴对称图形

专题一轴对称图形

1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（）

2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：

______________________．（答案不唯一）

3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．

专题二轴对称的性质

4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：

①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．

6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．

（1）结合图形指出对称点．

（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？

其他对应线段（或其延长线）的交点呢？

你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．

专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（　　）

A．3　　　B．2　　　C．

　　　D．1

8．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．

9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？

并加以证明．

专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围

10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（　　）

A．1B．－1C．5D．－5

11．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．

参考答案:

1．D解析：

∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，

故选D．

2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等

3．如图所示：

4．A解析：

根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．

5．解：

根据题意A点和E点关于BD对称，

有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．

B点、C点关于DE对称，

有∠DBE=∠BCD，∠ABC=2∠BCD．

且已知∠A=90°，

故∠ABC+∠BCD=90°．

故∠ABC=60°，∠C=30°．

6．解：

（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．

（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．

7．B解析：

在Rt△FDB中，∵∠F＝30°，∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°．在Rt△AED中，∵∠A＝30°，DE＝1，∴AE＝2．连接EB.∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝2.∴∠EBD＝∠A＝30°．∵∠ABC＝60°，∴∠EBC＝30°．∵∠F＝30°，∴EF＝EB＝2．故选B．

8．8解析：

∵DF是AB的垂直平分线，∴DB=DA．∵EG是AC的垂直平分线，∴EC=EA．

∵BC=8，∴△ADE的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．

9．解：

AB+BD=DE．

证明：

∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，

∴AC=CE．

∴AB=CE．

∴AB+BD=CE+DC=DE．

10．C解析：

关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5．

解得1.5＜a＜2.5，又因为a必须为整数，∴a=2．∴点P2（－1，－1）．

∴P1点的坐标是（－1，1）．

13.3等腰三角形

13.4课题学习最短路径问题

专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用

1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：

①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．（填序号）

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；

（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？

为什么？

（4）请你猜想：

当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．

3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？

并说明理由．

（3）如果BC=10，求AB+AE的长．

专题二等边三角形的性质和判定

4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．

5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？

写出你的判断过程．

6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？

如存在，请求出此时M、N运动的时间．

专题三最短路径问题

7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（　　）

A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E

8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给

、

两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小?

（保留作图痕迹及简要说明）

参考答案:

1．①②③解析：

∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．

2．解：

（1）证明：

∵AD+EC=AB，∴BD=CE．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵BE=CF，

∴△BDE≌△CEF．

∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．

（2）∵∠A=40°，∴∠B=∠C=

（180°－∠A）=

（180°－40°）=70°．

∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．

∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．

（3）不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）60°．理由：

当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由

（2）可得∠DEF=60°．

∴∠EDF+∠EFD=120°．

3．解：

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．

（2）AD与BE垂直．

证明：

∵BE为∠ABC的平分线，

∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，

∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．

∴A、D是对称点．

∴AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，

∴AE=DE．

在Rt△ABE和Rt△DBE中，

∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．

∴AB=BD．

又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴∠C=45°．

又∵ED⊥BC，

∴△DCE为等腰直角三角形．

∴DE=DC．

即AB+AE=BD+DC=BC=10．

4．6解析：

连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，

∴AO=PB=3，∴AP=6．

5．解：

（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．

∴△ODE是等边三角形．

（2）BD=DE=EC．

其理由是：

∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°．

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°．

∴∠DBO=∠DOB．

∴DB=DO．

同理，EC=EO．

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．

6．解：

（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+12=2x，

解得：

x=12．

（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，

∴t=12－2t．

解得t=4．

∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由

（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM．

∴∠AMN=∠ANM．

∴∠AMC=∠ANB．

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等边三角形．

∴∠C=∠B．

在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN．

∴CM=BN．

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．

y－12=36－2y，

解得：

y=16．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．

7．A解析：

由轴对称－－最短路线的要求可知：

输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．

8．解：

如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.