学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系.docx
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学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系
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3平面坐标系
知识目标
目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念
目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征
目标三灵活运用点和线的平移变换。
点的对称变换求坐标
模块一平面直角坐标系的相关概念
知识导航
1有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）,利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。
2平面直角坐标系
3、点的坐标
平面的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。
对于平面任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。
如图，点p为坐标平面内一点，过点p作x轴的垂线，垂足M在x轴上对应点的数是-2，则-2就是p的横坐标；过点p作y轴的垂线，垂足N在y轴上对应的数为3，则3为点p的纵坐标，点p就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p（-2,3）。
由坐标确定点的方法：
要确定由坐标（a,b）所表示的点p的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点p即为所求的位置。
由点求坐标的方法：
先由已知点p分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x轴上的坐标a和B在轴上的坐标b，则点p的坐标为（a,b）
巩固练习点的坐标
（1）在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：
A（3，4）,B（-2，3）,C（-5，-2）,D（4，-1）,E（1，0）,F（0，3）,G（-2，0）,H（0，-4）.
（2）写出图2中点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标。
图1图2
4象限及坐标轴的点坐标特征
象限的点p（a,b）
坐标轴上的点p（a,b）
点p在第一象限
a＞0,b＞0
点p在x轴正半轴
a＞0,b=0
点p在第二象限
a＜0，b＞0
点p在x轴负半轴
a＜0，b=0
点p在第三象限
a＜0，b＜0
点p在y轴正半轴
a=0，b>0
点p在第四象限
a＞0,b＜0
点p在y轴负半轴
a=0，b＜0
5、坐标轴夹角平分线上的点的特征
若点p（a,b）在一、三象限的角平分线上，则a=b,例如p（3,3）p（-5,-5）等；
若点Q（a,b）在二、四象限的角平分线上，则a=-b,例如Q（-1,1）p（4,-4）等;
Q（n,m）
6、平面直角坐标系点到坐标轴的距离公式
点p（a,b）到x轴的距离为
；点p（a,b）到y轴的距离为
，
题型一坐标系概念应用
例1
（1）若用有序数对（3,6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置有序数对可表示为。
（2）点（2,1）在第象限；点（-2,1）在第象限；
点（-2，-1）在第象限；点（2，-1）在第象限。
（3）若点（a+1,-5）在第三象限，则a的取值围为；
若点（-5,a+1）在第二象限，则a的取值围为；
（4）点p（6，x-5）在第四象限，则x的取值围是；
点p（x-1，4-x）在第一象限，则x的取值围是；
（5青山区2015-2016年七下期中）点A在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位，则点A坐标为。
（洪山区2015-2016七下期中）若点p（m+3,m+1）在x轴上，则点p的坐标为。
（6）已知点P（x,y）在第四象限，且
=3，
=5，则p点的坐标为。
练
（1）实数x,y,满足
，则点p（x,y）的位置在第象限；
（2）（汉阳区2015-2016七下期中）写出一个在x轴正半轴上点的坐标。
例2
（1）（武昌七校2015-2016七下期中）点p（-5,6）到x轴的距离是，点Q（3,6）到y轴的距离是，线段pq的长度是。
（2）（江汉区2015-2016七下期中）已知点A（4,3），AB∥y轴，且AB=3，则B点的坐标为
练
（1）（江岸区2015-2016七下期中）点M（-3,2）到x轴的距离是。
（2）（硚口区2015-2016七下期中）点A（2,5），点B在过A点且平行于x轴的直线上，点B到点A的距离是4个单位，则点B的坐标是。
例3
（1）已知点p位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距x轴4个单位长度，则点p的坐标是
（2）已知点p的坐标（2-a,3a+6）,且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是。
（3）点M在第一、三象限的角平分线上，且到x轴的距离为2，则点M的坐标是。
（4）点A（5，y-1）,B（x+3,2）都在第二、四象限的角平分线上，则x+y=。
练
（1）已知A（5，y-1）,B（x+3,-2）都在第一、三象限的角平分线上，则x=,y=
（2）点p（2x,x+3）在坐标轴角平分线上，则点Q（-x+2,2x+3）坐标是
题型二建立平面直角坐标系
例4
（1）（江岸区2015-2016七下期中）如图，由小正方形组成格点图形，已知格点A坐标为（-1，-2），则格点B的坐标为。
（2）（洪山区2015-2016七下期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则：
“炮”位于点的坐标是多少？
（3）小明从点p出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10,20）表示的位置是哪个点？
点A和点D的坐标分别是多少？
练
（青山区2015-2016七下期中）
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC，正方形ABDE、正方形ACGF的顶点均在格点上。
（1）以格点为原点，建立合适的平面坐标系，使得B/C两点的坐标分别为B（-1，-3）,C（4，-3）,则点A的坐标为；点D的坐标为；
（2）利用面积计算线段AB=，AC=,则AB/AC/BC三条线段的数量关系为
模块二、平面直角坐标系中的平移变换
把一个图形整天沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与远图形的形状和大小完全相同。
图形的这种移动，叫做平移。
（图形平移的方向，不限于是水平的，也可以竖直或倾斜）
新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的
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1平移
新图形中的每一点，都是由原图形中某一点平移后的到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，可见原图形中每一个点的平移方向和平移距离均相同。
2、坐标系中点的平移
平移前
平移方式
平移后
点p（a,b）
向左平移m个单位长度
点
（a-m,b）
点p（a,b）
向右平移m个单位长度
点
（a+m,b）
点p（a,b）
向上平移m个单位长度
点
（a,b+n）
点p（a,b）
向下平移n个单位长度
点
（a,b-n）
3、坐标系中图形的平移
把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，即图形整体向右（或向左）平移a个单位。
把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数b，即图形整体向右（或向左）平移b个单位.
如左图，线段AB向下平移3个单位长度得到线段
线段上的每一个点的横坐标不变，纵坐标减去3.再向右平移5个单位长度得到线段
线段上每一个点横坐标加5，纵坐标不变。
例5
（1）已知点A的坐标为（3,5），则点A：
先向上平移3个单位，则点坐标为；
再向下平移5个单位，则点坐标为；
再向左平移7个单位，则点坐标为；
再向右平移9个单位，则点坐标为；
（2）已知点B的坐标为（3,5），则点B：
先向上平移a个单位，则点坐标为；
再向下平移b个单位，则点坐标为；
再向左平移c个单位，则点坐标为；
再向右平移d个单位，则点坐标为；
练
（江汉区2015-2016七下期中）如图，三角形ABC经过平移后，使点A与点
重合，
（1）画出平移后的三角形
;
（2）写出平移后三角形
另外两个顶点的坐标为
（）
（）；
（3）若三角形
有一点p（a,b）,经过平移后的对应点
的坐标为（）；
例6
（1）点p（m,n）向右平移2个单位，向下平移3个单位得
（3,5），则
点坐标为；
（2）点p（m-1,2n+1）向右平移3个单位，向下平移2个单位得
（n,3m），则
点坐标为；
（3）已知AB两点的坐标分别为（1,0）（0,2），若将线段AB平移到
，点
、
的坐标分别为（2，a）、（b,3）,则a+b=.
练
（1）若将点p（a-2,b+1）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点
（2b,3a），则
点坐标.
（2）已知AB两点的坐标分别为A（3,4）（2,,20），若将线段AB平移至
，点
、求点
的坐标；
模块三平面直角坐标中的对称变换
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1轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说“成轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
对称点所连的线段的中点在对称轴上，并且垂直于对称轴，即对称点到对称轴的距离相等。
如左图，点p与
，点
与
关于x轴对称，点p与
，点
与
关于y轴对称.
2坐标系中对称点的坐标关系
对称前
对称方式
对称后
点p（a,b）
关于x轴对称
点
（a,-b）
点p（a,b）
关于y轴对称
点
（-a,b）
点p（a,b）
关于一、三象限角平分线对称
点
（b,a）
点p（a,b）
关于二、四象限角平分线对称
点
（-b,-a）
点p（a,b）
关于原点对称（原点为中点）
点
（-a,-b）
点p（a,b）
关于
（m,n）点对称（
为中点）
点
（2m-a,2n-b）
对称前
对称方式
对称后
点p（a,b）
关于平行于y轴的直线x=m对称
点
（2m-a,b）
点p（a,b）
关于平行于x轴的直线y=m对称
点
（a,2n-b）
巩固练习：
关于特殊直线的对称点的坐标
题型一关于特殊直线对称
例7
（1）（硚口区2015-2016七下期中）点（3-2）关于x轴对称的点
的坐标是；
（2）点p（2,3）关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是；
关于x=-2对称的点的坐标是，关于y=4对称的点的坐标是；
关于y=x轴对称的点的坐标是，关于y=-x轴对称的点的坐标是；
（3）点p（a+3b,3）与点
（-5，a+2b）关于x轴对称,则a=，b=。
（4）点p（1,a-2）与关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值围。
（5）点p（a-1,3-2a）关于一、三象限角平分线对称,点在第二、四象限角平分线上，则a=.
练
（1）点（1,2）关于x轴对称点的坐标是，关于y轴对称点的坐标是；
关于x=-1对称点的坐标是，关于y=1对称点的坐标是；
关于y=x对称点的坐标是，关于y=-x对称点的坐标是；
（2）p（3m+2,2n-1）关于x轴对称点在第三象限，求m,n的取值围。
题型二关于点对称
例8
（1）点（3，8）与点关于原点对称，与点（1,3）关于点对称，与点（）
关于点（2,1）对称。
（2）点（a,b）与点关于原点对称，与点关于点（2,1）对称。
练
（1）点（2,7）关于原点对称的点坐标是，点（2,7）关于点（5,1）的对称点的坐标是
（2）点（a,b）关于点（2,7）对称的点坐标是,点（a,b）关于点（2a+1,3b-2）的对称点的坐标是
数学趣题
正整数集只是有理数集合的一部分，有趣的是，德国数学家康托尔（1845-1918）曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队，从而和正整数集一一对应起来，让我们跟随康托尔的思路吧！
任一个有理数都可以写成一个既约分数
（p，q都是整数），它可以对应着网格纸（如图）上的一个点，即p所在行与q所在列的交点，记为点（q，p）如
对应图中的点A（3，1）,这样，每个有理数对应着网格纸上的一个格点（水平线与竖直线的交叉点），而康托尔用图中的方法从中心O出发“螺旋式”地扩展开去，将平面所有格点“一网打尽”。
在图中，O（0，0）是第一个点，A（1，-1）是第个点，B（-1,2）是第个点，第35个点是（）。
第3讲课后作业平面直角坐标系
1、点（3,2）在第象限；点（-10,2）在第象限；
点（-3，-8）在第象限；点（20，-7）在第象限。
2、点p（-5,6）到y轴的距离为，点q（3,-6）到x轴的距离为。
3、点c在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则C点的坐标为。
4、已知点p的坐标（4-a,2a+6）,且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是。
5、已知点A（1，8a+4）到x轴的距离是y轴距离4倍，则a的值为。
6、点A（x-1,-2）在第三象限，求x的取值围。
点A（1,x-2）在第四象限，求y的取值围。
.
7.在平面直角坐标系中，将点（2，-5）向右平移3个单位长度可得到对应点坐标、
将点（-2，-5）向左平移3个单位长度可得到对应点坐标；将点（2，5）向上平移3个单位长度可得到对应点坐标、将点（-2，5）向下平移3个单位长度可得到对应点坐标、
8线段CD是由线段AB平移得到的，A（-1,4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，-1）的对应点的坐标为。
9、点A的坐标为（2,3），则点A关于x轴的对称点B的坐标为，点B关于y轴的对称点C的坐标为；若点E（a+1,b-2）与点F（4，-2）关于原点对称，则点C（a,b）到y轴的距离为；若点p（2-m,2m+1）在第四象限的角平分线，则点M（
m）关于y轴对称点的坐标是.
10.（2013江岸区七下期中）已知，6×6的网格中，点A的坐标为（-1,3），点C的坐标为（-1，-1），则点B的坐标为。
11、小明和爸爸、妈妈到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园景区地图，如图所示，可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴，只知道游乐园D的坐标为（2，-2），且每一格的距离代表一个单位长度，请帮他求出其它各景点的坐标。
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