算法分析课后习题解答.doc
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2-34、Gray码是一个长度为2n的序列。
序列中无相同元素。
每个元素都是长度为n位的串。
相邻元素恰好只有一位不同。
用分治策略设计一个算法对任意的n构造相应的Gray码。
答：
设序列中元素由0、1组成。
当n=1时Gray码的序列有2个元素（21=2），分别为：
0，|1
当n=2时Gray码的序列有4个元素（22=4），分别为：
00，10，|11，01
当n=3时Gray码的序列有8个元素（23=8），分别为：
000，100，110，010，|011，111，101，001
当n=4时Gray码的序列有16个元素（24=16），分别为：
0000，1000、1100、0100，0110，1110，1010，0010，|0011，1011，1111，0111，0101，1101，1001，0001
从上面的列举可得如下规律：
n=k时，Gray码的序列有2k个元素，分别为：
n=k-1时的Gray码元素正向后加0，得前2k-1个元素，反向后加1的后2k-1个元素。
如n=2时Gray码序列的4个元素分别为：
00，10，11，01
当n=3时Gray码序列的前4个元素（23=8），分别为：
000，100，110，010
是n=2时Gray码四个元素正向后加0，即：
000，100，110，010
Gray码序列的后4个元素（23=8），分别为：
011，111，101，001
是n=2时Gray码四个元素反向后加1，
n=2时Gray码四个元素：
00，10，11，01
即：
011，111，101，001
可以看出，Gray码可以用分治策略，递归实现，2n的Gray码可以用2n-1的Gray码构成。
算法描述：
voidGray（typea[],intn）
{chara[];
if（n==1）{a[0]=’0’;a[1]=’1’;}
if（n>1）
{Gray（a[],n-1）;
intk=2n-1-1;//Gray码的个数，因为数组下标从0开始
inti=k;
for（intx=k;x>=0;x--）
{chary=a[x];
a[x]=y+’0’;
a[i+1]=y+’1’;i++;
}
}
}
3-7给定由n个英文单词组成的一段文章，……
答：
设由n个单词组成的一段文章可以表示为A[1:
n]，它的“漂亮打印”方案记为B[1:
n]，构成该最优解的最小空格数（最优值）记为m[1][n]
（1）分析最优解的结构：
A[1:
n]的最优解B[1:
n]，必然在第k个单词处断开，那么A[1:
k]是“漂亮打印”，并且A[k+1:
n]也是“漂亮打印”。
故m[1][n]最小时有m[1][n]=m[1][k]+m[k+1][n]，m[1][k]是A[1:
k]的最小值，m[k+1][n]是A[k+1:
n]的最小值。
因此，原问题的最优解包含其子问题的最优解，具有最优子结构性质。
（2）建立递归关系：
第一行，row=1，最漂亮的打印字符数
最小空格数
第二行，row=2，最漂亮的打印字符数
最小空格数
那么，
设：
sum=i1+k2+……+in+n为文章中字符的总长度，其中i1,i2,……in分别为n个单词的长度，n为单词之间的空格数。
M是一行可以输出的字符数
该文章可能输出的行数约为：
sum/M+1（由于最后一行除外，故可能需处理的行数为sum/M行。
第sum/M行时，row=sum/M
最小空格数
1.当i=j时，A[i:
i]=A[i]，m[i][j]=0，表示一个单词，没有空格。
2.当i若A[i:
j]的最优解在Ak和Ak+1处断开，i<=km[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]}，此时，k只有j-i中可能，k是使m[i][j]达到最小的那个位置。
从而m[i][j]可以递归地定义为：
m[i][j]=//上面两个式子
m[i][j]给出了最优值，即A[i:
j]的最小空格数
若将对应于m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解
（3）计算最优值
算法：
voidf（intn,int**m,int**s,intsum,intM）
{for（inti=1;i<=n;i++）m[i][j]=0;
for（introw=1;row<=sum/M;row++）
{i=1;
for（intr=2;r<=n;r++）
{j=i+r-1;
m[i][j]=row*M-j+row-（i1+i2+……ik）
if（m[i][j]<0）break;
s[i][j]=j;
for（intk=i+1;k{t=m[i][k]+m[k+1][j];
if（t}
}
};x=j-1;
}
（4）构造最优解
算法描述：
voidT（int*B,int**s,intx）
{y=1;
do
b[y]=s[1][x];
x=b[y];
y=y+1;
while（x<>1）
do
printf（“%d,”,b[y]）;
y--;
while（y>0）
}
4-26求极差M=max-min
解：
该问题采用贪心选择算法解决。
算法思想：
求max的步骤：
（1）对黑板上的n个正数从小到大排序
（2）取最小的两个数，进行a*b+1运算，将结果插入数列，再从小到大排序。
（3）重复步骤
（2），直到黑板上剩一个数为止，该数为最大值max。
求min的步骤：
（1）对黑板上的n个正数从大到小排序
（2）取最大的两个数，进行a*b+1运算，将结果插入数列，再从大到小排序。
（3）重复步骤
（2），直到黑板上剩一个数为止，该数为最大值min。
算法描述：
Voidmax-min（intn,intmax,intmin,type**x,type**y）
{MinHeap>x（1000）;
MaxHeap>y（1000）;
While（true）
{
MinHeapNodex;
MaxHeapNodey;
a=x.DeleteMin（x）;
b=x.DeleteMin（x）;
Max=a*b+1
x.insert（max）;
c=y.DeleteMin（y）;
d=y.DeleteMin（y）;
Min=c*d+1
y.insert（min）;
catch（outofBounds）{break;}
}
M=a-c
}
5-10最小重量机
解：
该问题用回溯法求解。
1．问题的解空间：
部件：
n个1<=I<=n,供应商：
m个1<=j<=m
wij：
是从供应商j处构得的部件I的重量。
Cij：
是从供应商j处构得的部件I的价格。
当（C11+C12+……+Cnm）假设n=4m=2时，该问题的解空间树如下：
该树为n层的m叉树。
2．回溯法的基本思想：
按深度优先的方式搜索整个解空间树。
3．求约束函数和限界函数
（1）约束函数：
若大于总价格C，则该结点不可能有解，可剪去以这个结点为根的子树。
Constraint（c）：
计算（C11+C12+……+Cnm）（2）限界函数：
先找到一个解，在寻找下一个解时，判断扩展结点处的（W11+W12+……+Wnm）是否小于前一个解的（W11+W12+……+Wnm），若是，则继续扩展，否则，则该子树不能得到最优解，剪去以该结点为根的子树。
Bound（w）：
计算（W11+W12+……+Wnm）的最小值。
4．递归回溯算法
Voidweight-cost（t）
{if（I>0）
if（ccif（bestc{if（cwreturn;}
for（j=1;j<=m;j++）
{if（cc+c[I][j]cc+=c[I][j];
weight-cost（I+1）;
cc-=c[I][j];
}
}
intn,//部件数
m,//供应商树
type**w,//是从供应商j处构得的部件I的重量。
type**c,//是从供应商j处构得的部件I的价格。
c,//总价格
cc,//当前总价格
cw,//当前总重量
bestc,//当前最优价格
bestw;//当前最优重量
main（）
{
n=4;m=2;c=1000;cc=0;cw=0;bestc=0;bestw=32767;
weight-cost
（1）;
}
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