第三章-函数逼近与计算1.ppt

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第三章,函数逼近与计算,在科学与工程技术的很多领域，人们常碰到大量带有误差的实验数据，这时采用高次插值会出现震荡，采用分段插值则会使函数非常复杂，无法准确反映被侧函数的整体性态，因此，不适合用插值法。

1引言,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。

一、问题的提出,二、函数逼近问题的一般提法：

对于函数类,中给定的函数,，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类,中寻找一个函数,，使,与,之差在某种度量意义下最小。

注：

本章中所研究的函数类,通常为区间,上的连续函数，记做,;而函数类,通常是代数多项式或三角多项式。

的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。

三、常用的度量标准：

（一）最佳一致逼近,若以函数f（x）和P（x）的最大误差,作为度量误差f（x）P（x）“大小”的标准,在这种意义下,

（二）最佳平方逼近：

采用,作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平方逼近或均方逼近。

2最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,设函数,是区间,对于任意,，如果存在多项式,，使不等式,则称多项式,在区间,上一致逼近（或均匀逼近）于函数,定义,上的连续函数，,给定的,成立，,。

二、最佳一致逼近多项式的存在性,定理1（维尔斯特拉斯定理）若f（x）是区间a,b上的连续函数，则对于任意0，总存在多项式P（x），使对一切axb有,上的最佳一致逼近,在,能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个,表示由所有次数不超过n的代数多项式构成的线性空间。

空间中的最佳一致逼近问题。

意义下:

，使得,其中，,这就是,三、,四、上最佳一致逼近多项式的存在性,定理2（Borel定理）,对任意的,五、相关概念,1、偏差,定义,上的偏差。

则称,为,与,在,注：

，,集合，记作,，它有下界0.,显然，,若,的全体组成一个,2、最小偏差,则称,若记集合的下确界为,为,在,上的最小偏差。

定义,3、偏差点,定义,设,若在,上有,则称,是,的偏差点。

若,若,则称,则称,为“正”偏差点。

为“负”偏差点。

4、交错点组,若函数,定义,在其定义域的某一区间,个点,上存在,使得,则称点集,为函数,在区间,上的一个交错点组，,称为交错点。

点,六、,上的最佳一致逼近的特征,引理3.1,是区间,上的连续函数，,是,的n次最佳一致逼近多项式，,存在正负偏差点。

则,设,必同时,定理3（Chebyshev定理）,是区间,上的连续函数，,设,则,是,的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是:

在区间,上存在一个至少由,组。

个点组成的交错点,推论1,是区间,上的连续函数，,是,的n次最佳一致逼近多项式，,在,内存在且保号，,在区间,个点组成的交错点组，,端点,都在交错点组中。

上恰好存在一个由,设,若,则,且两,推论2,推论3,七、一次最佳逼近多项式,1、推导过程,设,，且,在,内不变号，,要求,在,上的一次最佳一致逼近多项式,由推论1，,在,上恰好有3个点构成的交错,且区间端点,属于这个交错点组，,组，,设另一个交错点为,则,解得,即,即,2、几何意义,？

3、举例,求在上的最佳一次逼近多项式。

解：

由可算出,故,解得,由,得,于是得,的最佳一次逼近多项式为,故,误差限为,（*）,在（*）式中若令，则可得一个求根的公式,八、Chebyshev多项式及其应用,

（1）定义,称,为n次Chebyshev多项式.,注,Itisveryimportant,令,则,而,故为关于的次代数多项式。

（2）性质,正交性：

由Tn（x）所组成的序列Tn（x）是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。

且,递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：

奇偶性：

切比雪夫多项式，当为奇数时为奇函数；,为偶数时为偶函数。

在区间-1,1上有个不同的零点,Tn（x）在-1,1上有n+1个不同的极值点,使Tn（x）轮流取得最大值1和最小值-1。

切比雪夫多项式的极值性质,Tn（x）的最高次项系数为2n-1（n=1,2,）。

在区间-1,1上，在所有首项系数为1的n次多项式中,与零的偏差最小，,即对于任何，有,该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.,注：

区间上的最小零偏差多项式,且其偏差为,（3）应用,多项式的降阶（最小零偏差问题）,在所有次数为的多项式中求多项式,在给定的有界闭区间上与零的偏差最小。

使其,最小零偏差多项式问题。

这一问题被称为,不失一般性，可设的首项系数为1，,有界闭区间为.,所讨论的,对一般区间，,可先将换为，,考虑在上的逼近，再将换回，,得到。

最后,寻求最小零偏差多项式的问题,求的次最佳一致逼近多项式的问题。

事实上等价于,即求使其满足：

注：

在上首项系数为1的最小零偏差多项式为。

设,为,上的,次多项式，,要求在上的不超过次的最佳一,致逼近多项式。

？

由于首项系数为1的次Chebyshev多项式,无穷范数最小，,故有,于是,例1设f（x）=4x42xx8x-5/2，|x|1.求f（x）在-1,1中的3次最佳一致逼近元p3（x）.,解由f（x）的表达式可知b,注：

对区间为a,b的情形，先作变换x=（b-a）t/2+（b+a）/2

（2）然后对变量为t的多项式用

（1）式求得pn（t），然后再作

（2）式的反变换得到a,b上的最佳一致逼近多项式.,由

（1）式得p3*（x）=f（x）-4T4（x）=2xx8x-3.,首项系数为1的4次,Chebyshev多项式为:

T4（x）xx1/8.,近似最佳一致逼近多项式,设,且存在,阶连续导数,如何在上确定互异的插值节点,使得的次插值多项式的余项最小？

由插值余项定理，次插值多项式的余项为,其中，,其估计式为：

因此，要使余项达到最小，只需使,尽可,能小。

是一个首项系数为1的次多项式，,故由Chebyshev多项式的性质，,只要取,即可。

而,故只需取为次Chebyshev多项式的零点，,即,注意到,注：

3最佳平方逼近,一、内积空间,1、定义,称二元函数为内积。

设为（实）线性空间,对中每一对元素,在上定义了内积是指,都有一实数，记为与之对应，,且这个对应满足:

（2）,

（1）,（3）,（4）,则称为内积空间，,2、内积的性质,设是一内积空间，则对任意的，有,

（1）柯西许瓦兹不等式：

（2）三角不等式：

3、两种重要的内积空间,n维欧氏空间，内积就是两向量的数量积，即,连续函数空间，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即,或,4、权函数的定义,设（x）定义在有限或无限区间a,b上，如果具有下列性质：

（1）对任意xa,b，（x）0；,

（2）积分存在，（n=0,1,2,）；,（3）对非负的连续函数g（x）若,则在（a,b）上g（x）0。

称满足上述条件的（x）为a,b上的权函数。

5、Euclid范数及其性质,定义,设,称为,的Euclid范数。

则称量,性质,对于任何下列结论成立：

1、,2、,3、,（Cauchy-Schwarz不等式）,（三角不等式）,（平行四边形定律）,二、相关概念,1、距离,线性赋范空间中两元素之间的距离为,连续函数空间中，与的距离即为,因此，中两点与之间的距离即为,也称为2-范数意义下的距离,2、正交,若则称与正交。

连续函数空间中，设,则称f（x）与g（x）在a,b上带权（x）正交。

进一步，设在a,b上给定函数系，若满足条件,则称函数系是a,b上带权（x）的正交函数系。

若,特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。

若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为a,b上带权（x）的正交多项式系。

并称是上,带权（x）的次正交多项式。

3、正交化手续,一般来说，当权函数及区间给定以后，可以由幂函数系利用正交化方法构造出正交多项式系。

4、正交多项式的性质,

（1）是最高次项系数为1的次多项式.,

（2）任一次多项式均可表示为的线性组合.,（3）当时,且与任一次数小于的多项式正交.,（4）递推性,其中,这里,且都在区间内.,（5）,设,是在,上带权,项式序列,的正交多,则,的,个根都是单重实根,三、常用的正交多项式,1、第一类切比雪夫多项式,

（1）定义,

（2）性质,2、Legendre（勒让德）多项式,

（1）定义,多项式,称为n次勒让德多项式。

（2）性质,正交性,勒让德多项式序列是-1,1上带权的正交多项式序列。

即,递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：

奇偶性：

当n为偶数时，为偶函数；,当n为奇数时，为奇函数。

在区间-1,1内部存在n个互异的实零点。

的最高次项系数为,（5）在所有首项系数为1的次多项式中，,多项式在上与零的平方误差最小。

勒让德,证明：

设是任意一个最高项系数为1的次多项式，,它可表示为,于是,当且仅当,时等号才成立，,即当时平方误差最小。

3、其他常用的正交多项式,

（1）第二类Chebyshev（切比雪夫）多项式,定义：

称,为第二类切比雪夫多项式。

相邻的三项具有递推关系式：

第二类切比雪夫多项式的性质：

（2）拉盖尔（Laguerre）多项式,定义：

称多项式,为拉盖尔多项式。

是在区间0,+上带权的正交多项式序列。

相邻的三项具有递推关系式：

拉盖尔多项式的性质：

（3）埃尔米特（Hermite）多项式,定义：

称多项式,为埃尔米特多项式。

的正交多项式序列。

是区间（-,+）上带权,相邻的三项具有递推关系式：

埃尔米特多项式的性质：

四、内积空间上的最佳平方逼近,1函数系的线性关系,定义：

设函数在区间上连续，,如果关系式,当且仅当时才成立，,函数在上是线性无关的，否则称线性相关。

则称,连续函数在上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆（Gram）行列式,定理,其中，,是任意实数，则,并称是生成集合的一个基底。

的全体是的一个子集，记为,设是上线性无关的连,续函数,对任意的,为的最佳平方逼近元。

2、最佳平方逼近元的定义,设为线性内积空间，,为上个,线性无关元，,记由张成的的子空间为，,即,定义,在的子空间中，,求的在2-范数,意义下的最佳逼近元，,即求，使不等式,对任意成立.,若满足上式的存在，,称,3.最佳平方逼近元的存在性,定理1,设为线性内积空间，,由线性无关组,张成的线性空间为的子空间，,存在为的最佳平方逼近元.,则对任意的,Remark:

线性内积空间的子空间的线性无关组,选取不同，,在中求得的对的最佳,平方逼近元也不同，求解的难易程度也不同。

4.最佳平方逼近元的充要条件,定理2,内积空间）,为,的最佳平方逼近元的充要条件是：

（线性,与一切,正交。

其中，,为的个线性无关元。

REMARK：

定理2中所说的与一切正交，,与一切的内积等于零，,是指,即,证：

必要性.,用反证法.,设为的最佳平方逼近元，,不与所有的正交.,但,即存在,使得,则,令,所以必须与一切正交.,且,这说明不是对的最佳平方逼近元，,与假设条件矛盾，,充分性.,仍记则对任意的，有,对任意成立,即为的最佳平方逼近元。

所以,进而有,5.最佳平方逼近元的惟一性,定理3,线性内积空间的子空间中若存在对的,最佳平方逼近元，则惟一.,6.最佳平方逼近元的求解,现假定线性内积空间上的内积已定义，,并且的,子空间的一组基底也确定，,最佳平方逼近元.,那么，对具体的被逼近元,如何求,使其为的,由最佳平方逼近元的充要条件，,若假定,则可以得出,其中,为待定系数。

恒等变形为,用矩阵式表示这个方程组为,此方程组称为法方程组。

若所选取的一组基底满足,则称其为正交基，此时,五、连续函数的最佳平方逼近,1.对于给定的函数,要求函数,使,若这样的存在，,上的最佳平方逼近函数。

则称为在区间,特别地，若,则称,为,在,上的次