离散数学复习提纲.doc
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《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）
一、 命题逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题
2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式
3、范式：
析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式
4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
5、命题逻辑的推理理论
本章重点内容：
命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理
[复习要求]
1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]
1、公式类型的判定
判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：
一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理
掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：
（1）；
（2）
（
）
2．用真值表判断下列公式是恒真？
恒假？
可满足？
（1）（PÙØP）«Q
（2）Ø（P®Q）ÙQ
（3）（（P®Q）Ù（Q®R））®（P®R）
解：
（1）真值表
PQ
ØPPÙØP（PÙØP）«Q
00
101
01
100
10
001
11
000
因此公式
（1）为可满足。
（2）真值表
PQ
P®QØ（P®Q）Ø（P®Q）ÙQ
00
100
01
100
10
010
11
100
因此公式
（2）为恒假。
（3）真值表
PQR
P®QQ®RP®R（（P®Q）Ù（Q®R））®（P®R）
000
1111
001
1111
010
1011
011
1111
100
0101
101
0111
110
1001
111
1111
因此公式（3）为恒真。
3．┐QÙ（P→Q）蕴涵┐P
（an:
法1：
真值表
法2：
若┐QÙ（P→Q）为真，则┐Q，P→Q为真，
所以Q为假，P为假，所以┐P为真。
法3：
若┐P为假，则P为真，再分二种情况：
①若Q为真，则┐QÙ（P→Q）为假
②若Q为假，则P→Q为假，则┐QÙ（P→Q）为假
根据①②，所以┐QÙ（P→Q）蕴涵┐P。
）
4．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P®Q）Ù（Q®R））®（P®R）
（（PÚQ）ÙØ（ØPÙ（ØQÚØR）））Ú（ØPÙØQ）Ú（ØPÙØR）
（1、证明：
（（P®Q）Ù（Q®R））®（P®R）
=（（ØPÚQ）Ù（ØQÚR））®（ØPÚR）
=Ø（（ØPÚQ）Ù（ØQÚR））Ú（ØPÚR）
=（PÙØQ）Ú（QÙØR）ÚØPÚR
=（（PÙØQ）ÚØP）Ú（（QÙØR）ÚR）
=（1Ù（ØQÚØP））Ú（（QÚR）Ù1）
=ØQÚØPÚQÚR
=（ØQÚQ）ÚØPÚR
=1ÚØPÚR
=1
（（PÚQ）ÙØ（ØPÙ（ØQÚØR）））Ú（ØPÙØQ）Ú（ØPÙØR）
=（（PÚQ）Ù（PÚ（QÙR）））Ú（ØPÙ（ØQÚØR））
=（PÚ（QÙQÙR））Ú（ØPÙ（ØQÚØR））
=（PÚ（QÙR））ÚØ（PÚ（QÙR））
=1）
5．用形式演绎法证明：
{}蕴涵
证明：
（1）规则P
（2）规则Q
（1）
（3）规则P
（4）规则Q（3）
（5）规则Q
（2）（4）
（6）R®S规则P
（7）P®S规则Q（5）（6））
6．用形式演绎法证明：
（蕴涵A
证明：
（改（）
（1）A规则D
（2）A∨B规则Q
（1）
（3）规则P
（4）规则Q
（2）（3）
（5）D规则Q（4）
（6）规则Q（5）
（7）规则P
（8）E规则Q（6）（7）
（9）规则Q
（1）（8））
7．┐（P∧┐Q），┐Q∨R，┐R蕴涵┐P
（1）┐Q∨R
（2）┐R
（3）┐Q
（4）┐（P∧┐Q）
（5）┐P∨Q
（6）┐P）
8．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：
（1）若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；
（2）若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；
（3）若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；
（4）若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
办案人员由此得出结论：
甲是作案者。
这个结论是否正确？
为什么？
解：
对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则办案人员的推理如下：
前提：
1）ØP1ÙØP2®ØP3ÙØP4
2）ØP3ÙØP4®ØP1ÙØP2
3）P1ÙP2®（ØP3ÙP4）Ú（P3ÙØP4）
4）P3ÙP4®（ØP1ÙØP2）Ú（P1ÙP2）
结论：
P1。
（ØP1ÙØP2®ØP3ÙØP4）Ù（ØP3ÙØP4®ØP1ÙØP2）Ù（P1ÙP2®（ØP3ÙP4）Ú（P3ÙØP4））Ù（P3ÙP4®（ØP1ÙØP2）Ú（P1ÙP2））®P1
不是永真式，比如：
P1取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假
所以P1不是前提的有效结论，
所以甲是作案者的结论是错误的）
二、谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）
2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）
3、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩）和置换规则（置换规则、换名规则和代替规则）
本章重点内容：
谓词与量词、公式与解释
[复习要求]
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
[疑难解析]
1、谓词与量词
理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则（即换名规则和代替规则）。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释中的数值代入公式，求出真值。
三、集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律等），文氏（Venn）图
本章重点内容：
集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
[疑难解析]
1、集合的概念
重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n。
2、集合恒等式的证明
对集合恒等式证明的练习，加深对集合性质的理解与掌握。
四、二元关系
[复习知识点]
1、序偶、迪卡尔积，迪卡尔积的运算。
2、关系表达式、关系矩阵与关系图
3、复合关系（右复合）与逆关系
3、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
本章重点内容：
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系和映射的概念
[复习要求]
1、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
2、理解关系的概念：
二元关系、空关系、全域关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
3、掌握求复合关系与逆关系的方法。
4、理解关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、图）。
4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元的求法。
6、理解函数概念：
函数、函数相等、A到B的函数、复合函数和反函数。
7、理解单射、
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