图形变换相似三角形综合应用.docx
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图形变换相似三角形综合应用
•相似三角形综合应用
©2014年中考怎么考
自检自查必考点
模型一角分线模型
1、内角平分线
ABBD
AD是ABC的角平分线，贝U
ACCD
证明】过C作CE//AD交直线AB于E.
•••CE//AD,
•••—1-E,乙2二3又IAD平分ZBAC,
•1»2,
•E=3,
•AE=AC,由CE//AD可得：
ABBD
AE
CD
内容
基本要求
略咼要求
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些头际冋题
ABBD
ACCD
2、外角平分线
BAC的外角平分线交对边
BC的延长线于
AB_BD
ACCD
证明】过C作CE//AD交直线AB于E.
VCE//AD,
•••■1"3,-2“4
右AD：
BC=a-b,则S^ade:
Saabe
:
&BEC
:
Sadec
二a2
:
ab
:
b2
:
ab
又•••AD平分.CAF,
••上1=2,
••上3Z4,
•••AE=AC,
由CE//AD可得：
AB=BD
AECD
•AB_BD
…AC"CD
模型二梯形模型
/中考满分必做题
考点一与公共边有关的相似问题
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，
连接FD，若.BFA=90，则下列四对三角形：
①△BEA与厶ACD•，②△FED与ADEB:
③
△CFD与△ABG:
④△ADF与ACFB，其中相似的为（）
A.①④B.①②C.②③④D.①②③
答案】D
解析】②AE2=EFEB,•DE2=EFEB,故厶FED^ADEB
【例2】如图，矩形ABCD中，BE—AC于F,E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）
212—
212
1
12
A.BFAFB.
BFAF
C.BFAFD.
BFAF
2
3
2
3
答案】A
【例3】如图，ABC中,
AD_BC于D,
BE_AC于E,DF_AB于F,交BE于G,FD、AC的
延长线交于点
H,求证：
DF彳二FGFH
解析】可通过射影定理转化成证明AFBF=FGFH,证明BFGs.'HFA即可.
【例4】如图，「ABC中，.ACB=90，CD_AB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长线交于F.
求证：
ACFA
BC"FD
巩固】在RtAABC中，过直角顶点
长于点F，求证：
FD_AB
FB"BC
答案】tCD—BC,E为BC中点，•••ED二EC,二1=2，又t2B=90,-3B=90,
FAAD
•1=3,又••••F-F,FCDs.：
FDA,•,又3二.3,ACB=ADC=90,
FDCD
•ABCsACD,•AD二些AC
CDBC'BCFD
B作斜边AC的垂线BD,取BC的中点E,连接ED并延长交BA的延
解析】AFADs^FDB,
FD
FB
AD
AB
BD
BC
【例5】
如图,在ABC中,
AD平分/BAC,AD的垂直平分线交
AD于E,交BC的延长线于F,
求证：
FD2=FBFC.
答案】连接AFTEF垂直平分AD,•••AF=DF,二•4二/DAF,即•4二/2「3,又^4=CB,•••乙2乙3=门•^B,•/AD平分乙BAC,••上1乙2,••上.3Zb,又'工CFA^AFB,
22
CFAs.AFB,•FA二FCFB.又tAF=DF,•FD=FBFC
巩固】如上图，在ABC中，FD2二FBFC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,
求证：
AD平分.BAC.
A
AFFB
答案】连接AFEF垂直平分AD,•AF二DF,tDF二FCFB,•AF二FCFB•——二——,又t
FCAF
AFC=BFA•••AFCs：
BFA,二•3=B,•/4=23,Z4ZB/I,
2•3二B•1,•••.1=/2,即AD平分BAC.
【例6】已知，如图，「ABC为等边三角形，DAE=120且.DAE的两边交直线BC于D,E两点，求
证：
BC2=BDCE.
解析】••：
DAE=120,-BAC=60,二口三2=60.又••立3=60,•••乙1=60,••上2ZE,
ABce
•••ABC=3=60,•ABD-ACE=120•ABDECA,•,即
BDAC
2
ABAC=BDCE，：
AB=AC=BC,•ABBDCE.
考点二与旋转有关的相似问题
【例7】如图，直角梯形ABCD中，.BCD=90,ADIIBC,BC二CD,E为梯形内一点，且-BEC=90,将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:
MC的值为（）
A.5:
3B.3:
5C.4:
3D.3:
4
答案】C.
【例8】
如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，
求AG:
DF:
CE二
答案】连接BD,BF。
：
AB_BC,BG_BE二.ABGZCBE,AB=BC,BG=BEABG也：
CBE•••AG=CEtEF丄BE,EF=BE:
丄EBF=45°,BF=^/2bEtBC丄CD,BC=CD•••NCBD=45；BD=^2bC:
丄FBD=NCBE,BD=聖=".•.△FBDsAeBC
BCBE
DFBD•
2•AG:
DF:
CE=1:
.2:
1
ECBF
【例9】
（1）如图1，等边△ABC中,
D为AB边上的动点，以CD为一边，
向上作等边△EDC，连接
AE,求证：
AEIIBC.
（2）如图2,将
（1）中的等边△ABC改为以BC为底边的等腰三角形
所作的△EDC改成相似
于△ABC,请问：
是否有AEIIBC?
证明你的结论
答案】
（1）由△ACEBCD,得.EAC=-ACB,故AEIIBC.
（2）由△ACEBCD,得EAC二B二ACB,故AEIIBC.
考点三与三角形有关的相似综合题
把厶ABC分成三个三角形和三个平行四边
【例10】如图，△ABC内有一点P,过P作各边的平行线
形.若三个三角形的面积S,S2,S3分别为1,1,2,则△ABC的面积是
【解析】设△ABC的面积为S，则dS2兀空PE竺，BHHGGC=1,故VSVSVSBCBCBCBC
2_2
S2'S；=11.2]=642.
答案】6+4施
【例11】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、
R分别是直线BA与EF、
FE与CD、DC与
AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果
AB：
PRC：
CRQ二EFQ尸求证：
BC：
US二DE：
ST二FA：
TU.
T
答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角形
的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构成一个与APQR相似的三角形.
如图所示，将CD平移至0E位置，则0EIICD,且OE=CD,
所以.FEO=.Q,且E0：
QR二CD:
QR=EF：
QP,
因此•FEOs.pqr,从而.OFE=P,且FO：
PR二EF：
QP二AB：
PR.这说明FOIIAB,且FO=AB,进而FAIIOB,且FA=OB.
又因为COIIDE,于是COBsSTU,所以BC：
US二CO：
ST=OB：
TU,注意到CO=DE,OB=FA,故BC：
US=DE：
ST=FA：
TU.
【例12】已知：
.\ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.
（1）如图I，若ABC为锐角三角形，且•ABC=45，过点F作FGIIBC，交直线AB于点
G,求证：
FGDC=AD；
（2）如图2,若•ABC=135,过点F作FGIIBC,交直线AB于点G,则FG、DC、AD之间
满足的数量关系是
（3）在
（2）的条件下，若AG=5.2,
DC=3,将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋
转，这个角的两边分别交线段FG于M
N两点（如图3）,连接
CF
线段CF分别与线段
BM、线段BN相交于P,Q两点，若NG
C
求线段PQ的长•
G
答案】
（1）证明：
TADB=90,-ABC=45二BAD=“ABC=45,aAD=BD
•••BEC=90,•••CBEC=90v.DACC=90CBE»DAC
•••FDB»CDA=90,•FDB二CDAaDF=DCvGFIIBD
•AGF二ABC=45,•AGF二BAD/-F^FG,•FGDC二FADF二AD
（2）FG-DC=AD
（3）如图，
vABC=135，•/ABD=45vADB=90，•/DAB=/DBA=45，•/AD=BD
vFGIIBC，•/G=DBA二DAB，•/AF二FGvAG=52,FG2AF^AG2/.FG二AF=5
vCD=3,由
（2）知FG—DC二AD，•/AD二BD=2./BC=1,DF=3,
•/FDC为等腰直角三角形/.GC=;：
DF2-DC22
分别过B,N作BH_FG于点HNK_BG于点K••四边形DFHB为矩形
/•HF=BD=2,BH=DF=3/.BH=HG=3，•/BG=.BH2
vsinG」K
NG
/•NK/.BK
44
vMBN二HBG=45/•MBH二NBKv.MHB二NKB=90mhbh
/•MBHsNBK//.MH=1/・FM=1
NKBK
•••BCIIFG:
/BCFZCFNvZBPCZMPF,CB=FM
••••BPC也MPF「.PC二PF二1FC^3-2
22
CQ
"FQ
22-3近.5血
--CQFC32--PQ=CP—CQ=-
9936
••乙BQCZNQF••••：
BCQs
■NFQ
BC
CQ
NF
FQ
G
考点四与相似有关的动点问题
AC3
【例13】如图，.IABC中，.C=90,BC=8,-，点P从B出发，沿BC方向以2/s的速度移动，
AB5
点Q从C出发，沿CA方向也以1/s的速度移动，若P，Q分别从B，C出发，经过多少时间
CPQ与ACBA相似？
AC3答案】•C=90,BC=8,，设AC=3k,AB=5k,
AB5
222
•ACBC=AB,
即（3k）8-（5k）,解得k=2（负值已舍去）
•AC=6
设经过ts后JCPQ与.CBA相似.此时BP=2t,PC=8-2t,CQ=t
本题需分两种情况：
（1）当CABsCQP时,
解得t=2.4
CQCP前t8-2t
，即_=
CACB68
（2）当CABsCPQ时，综上，当t=2.4秒或32秒时，.lCPQ与.：
CBA相似
CQCP
CBCA
即1=口,解得t』.
8611
11
【例14】如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=6，点P沿AB边从点A开始向点B以2/秒的速度移动，点Q沿DA边以1/秒的速度从点D开始移动，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0（1）当t为何值时，「QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC面积，提出一个与计算结果相关的正确结论•
（3）当t为何值时，以点Q,A,P为顶点的三角形与ABC相似.
答案】
（1）当QAP为等腰直角三角形时，AP=AQ,
11
（2）S四边形qapc=S.qac-Sapc（6-t）12石2t6=36,即四边形QAPC的面积为定值.
（3）分2种情况
1当APQs.BAC时，竺=:
BA=2，即』2,解得t=3.
AQBC6—t
2当AQPsBAC时，也=里=2,即口=2,解得t=-.
APBC2t5
综上当t=3或6时，以点Q,A,P为顶点的三角形与.ABC相似.
5
中考满分必做题
【例1】如图,
已知在等腰△ABC中，/A=/B=30°，过点C作CD丄AC交AB于点D.若过A,D,
点的圆
O的半径为・.3,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO
相似，
若存在，贝UDP的长为
B
B
（09年浙江丽江中考试题）
解析】tRCD=/ACB—/ACD=120°-90°=30°B-CD=ZB,aDB=DC.又••在Rt△ACD中，DC=
DP1
OC
DB
OB「gOD+DB=23
•••DPi=
DB、33
OBOC=2.3-3=空②过点D作DP2丄AB，
BC
于点P2,则厶BDP2sABCO,.・
DP2
OC
bd
BC.•••BC=.BO12-OC2=（23）2-（-3）2=3
•••DP2=BDOC=x73=1
BC3
【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,2），点P是线段OA上的一个动点（不与
A重合），过点P作PQ丄x轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN.连接AN并延长交x轴于
点B,连接ON.
ADsin30°=.3,「.DB=3.①过点D作DPi//OC,交BC于点Pi,则厶PiDBs^COB,
（09年甘肃中考试题）
解析】当0vt<1时，如图1.若厶BMNs^MON,
BM
则NM
NM
OM
2t-2t2
即2—t
t
t
2t
21
•••NM=-,BM廿
•Sabmn
=丄BMNM=丄X1X-=-.当1v
22339
tv2时，如图2.
若厶BMNs^MON,
BM
NM
NM
OM
2
2t-2t
即2—t
t
丄
•••t=-.
•••NM=-,
BM=-t=-
2t，
5
5
2
5
【例3】如图，ZACB=90°,CD是ZACB的平分线，点P在CD上，CP=-2.将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.
（1）当点F在射线CA上时
1求证：
PF=PE
2设CF=x,Edy,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域
（2）连接EF,当厶CEF与厶EGP相似时，求EG的长.
（12年中考模拟试题）解析】（1［①证明：
过点P作PM丄AC,PN丄BC,垂足分别为M、N
••CD是ZACB的平分线，「.PM=PN
由ZPMC=ZMCN=ZCNP=90。
，得ZMPN=90°
/•Z1+ZFPN=90°
•Z2+ZFPN=90°,a£=Z2
•••△PMFgPNE,aPF=PE
②解：
2,aCN=CM=1
••CF=x,APMFgPNE,「.NE=MF=1—x
.••CE=2—x
CFCGxCG
••CF//PN,•pn=GN，即1=CG+1
x
.•.CG=1—x
x
D
P
F
G
C
•°.y=1—x+2—x（0^xv1）
（2）当厶CEF与厶EGP相似时，点F的位置有两种情况
①当点F在射线CA上时
vzGPE=ZFCE=90。
，/m/PEG
/.zG=Z1,「.FG=FE,「.CG=CE=CP
在Rt△EGP中，EG=2CP=22
②当点F在AC延长线上时
vzGPE=/FCE=90。
，/=Z2
•••/1=45°+/5,/1=45°+/2,a/5=/2
易证/3=/4,可得/5=/4
•••CF=CP=-2,「.FM=-2+1
易证△PMF^APNE,.・・EN=FM=2+1
CFCG-'21-GN
••CF//PN,•pn=GN，即1=GN
•••GN=■2—1
•••EG=2—1+”2+1=22
■4
【例4】如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°,CE是斜边AB上的中线，AB=10,tanA=了.点P是CE
延长线上的一动点，过点P作PQ丄CB,交CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y.
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB,当PB平分ZCPQ时，求PE的长；
（3）过点B作BF丄AB交PQ于F,当厶BEF和厶QBF相似时，求x的值.
备用图备用图
BC4
解析】
（1）在Rt△ABC中，/ACB=90°AB=10,tanA=ac
.••AC=6,BC=8
1
••CE是斜边AB上的中线，「.CE=BE=?
AB=5
D
•••ZPCQ=/ABC
又/PQC=/ACB=90°,「"CQsAABC
CQBC48+y4
•PC=AB=5，即5+x=5
4
「•y=5x—4（x>5）
（2）过点B作BH丄PC于H
••PB平分ZCPQ,BQ丄PQ,「BH=BQ=y
324424
•BH=5BC=5，…5x—4=5
则厶BEF和厶ABC也相似
•••x=11
（3）VZBQF=ZACB=90°,QBF=ZA
•••△BFgAABC
当厶BEF和厶QBF相似时，
有两种情况：
①当ZBEF=ZA时
5_
在Rt△EBF中，/EBF=90°,BE=5,BF=丁y
544
•••3（5x—4）=3X5,解得x=10
②当/BEF=ZABC时
5
在Rt△EBF中，/EBF=90°,BE=5,BF=
543125
•-3（5x—4）=4X5,解得x=16
125
D
••当△BEF和厶QBF相似时，求x的值为10或需
【例5】
如图1,在Rt△AOC中，AO丄OC,点B在OC边上，OB=6,
BC=12，/ABO+/C=90
，动点
M和N分别在线段AB和AC边上.
（1）求证：
△AOBs^COA,并求cosC的值；
（2）当AM=4时，△AMN与厶ABC相似，求厶AMN与厶ABC的面积之比；
（3）如图2,当MN//BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN.设MN=x,AEMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
图1
图2
解析】
（1）vAO丄OC,「.ZABO+/BAO=90vzABO+ZC=90°,aBAO=ZC•••JAOB=/COA,.」AOB^△COA•••OB：
OA=OA:
OC•/OB=6,BC=12,「.6:
OA=OA:
18
•••OA=63
B
O
图1
•••AC=OC2+OA2
OC183
•••cosC=AC=12.：
?
=2
（2）TcosC=2,.ZC=30°
OA
•「tanzABO=ob
6=3,../ABO=60°
••zBAC=30°，-AB=BC=12
①当ZAMN=ZABC时（如图1）,
△AMNsMBC
•「AM=4,「Samn：
Saabc=AM2
②当ZAMN=ZC时（如图2）,A
AMNsMCB
•「AM=4,.Saamn:
Saabc=AM2
11
（3）易得Saabc=2BCOA=2X12
:
AB2=42:
122=1:
9
:
AC2=42:
（12-3）2
图2
•••MN///BC,.AAMN^△ABC
•{△amn:
S^abc=MN2:
BC2,.Saamn：
36・f3=x2:
122
也2
•S^AMN=4x
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）
•••MN///BC,.ZANM=ZC=30°
•••ZANM=ZBAC,「.AM=MN=x
•••以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN
•••/ENM=ZANM=30°,「.AFN=90
C
图3
111
••MF=2MN=2AM=2x
「•Safmn:
Saamn=MF:
AM
-3
•••y：
.•.y=
8x2（Ovx<8）
②当
EN与线段AB不相交时，设EN
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