图形变换相似三角形综合应用.docx

1、图形变换相似三角形综合应用相似三角形综合应用 2014年中考怎么考自检自查必考点模型一角分线模型1、内角平分线AB BDAD是ABC的角平分线，贝UAC CD证明】过C作CE / AD交直线AB于E.CE / AD , 1 - E ,乙2 二 3 又I AD平分ZBAC , 1 2, E = 3 ,AE =AC , 由CE / AD可得：AB BDAECD内容基本要求略咼要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简 单的推理和计算；会利用三角形的相似 解决一些头际冋题AB BDAC CD2、外角平分线BAC的外角平分线交对边BC的延长线于AB _ BDAC CD证明

2、】过C作CE / AD交直线AB于E.VCE / AD , 1 3, - 2 “4右 AD ： BC =a - b ,则 Sade : Saabe:& BEC:Sa dec二 a2:ab:b2:ab又 AD 平分.CAF ,上 1= 2,上3 Z4, AE =AC ,由 CE / AD 可得：AB =BDAE CD AB _BDAC CD模型二梯形模型/中考满分必做题考点一与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若.BFA=90，则下列四对三角形 ： BEA与厶ACD ， FED与ADEB :CFD与 A

3、BG : ADF与ACFB，其中相似的为 （ ）A . B. C. D .答案】D解析】AE2 =EF EB , DE2 =EF EB ,故厶FED ADEB【例2】 如图，矩形ABCD中，BEAC于F , E恰是CD的中点，下列式子成立的是 （ ）2 1 2 2 1 211 2A. BF AF B.BF AFC. BF AF D.BF AF2323答案】A【例3】如图，ABC中,AD _ BC 于 D ,BE _ AC 于 E , DF _ AB 于 F ,交 BE 于 G , FD、AC 的延长线交于点H ,求证：DF 彳二 FG FH解析】可通过射影定理转化成证明 AF BF =FG F

4、H ,证明 BFG s.HFA即可.【例4】 如图，ABC中，.ACB=90，CD_AB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长线交于 F .求证：AC FABC FD巩固】在RtAABC中，过直角顶点长于点F，求证：FD _ ABFB BC答案】tCD BC , E 为 BC 中点， ED 二EC ,二 1=2，又 t 2 B = 90 , - 3 B = 90 ,FA AD1= 3,又 F - F , FCD s .：FDA , ,又 3 二.3, ACB = ADC =90 ,FD CDABCs ACD , AD 二些ACCD BC BC FDB作斜边AC的垂线BD ,取BC的中点E ,连

5、接ED并延长交BA的延解析】AFAD sFDB ,FDFBADABBDBC【例5】如图,在ABC中,AD平分/ BAC , AD的垂直平分线交AD于E ,交BC的延长线于F ,求证：FD2 =FB FC .答案】连接 AF TEF 垂直平分 AD , AF =DF ,二 4 二/DAF ,即 4 二/23 , 又 4=C B , 乙2 乙3=门 B , / AD 平分乙 BAC , 上 1 乙2 , 上.3 Zb ,又 工 CFA AFB ,2 2CFAs . AFB , FA 二FC FB .又 t AF =DF , FD =FB FC巩固】如上图，在 ABC中，FD2二FB FC , AD

6、的垂直平分线交 AD于E ,交BC的延长线于F ,求证：AD平分.BAC .AAF FB答案】连接 AF EF 垂直平分 AD , AF 二 DF , t DF 二 FC FB , AF 二 FC FB 二,又 tFC AFAFC = BFA AFC s ：BFA , 二 3= B , / 4=2 3 , Z4 ZB /I ,2 3 二 B 1 , . 1 =/2 ,即 AD 平分 BAC .【例6】 已知，如图，ABC为等边三角形 ，DAE =120且.DAE的两边交直线 BC于D , E两点，求证：BC2 =BD CE .解析】： DAE =120 , - BAC =60 ,二 口 三2

7、=60 .又立3 =60 , 乙 1 =60 , 上2 ZE ,AB ce ABC = 3=60 , ABD - ACE =120 ABD ECA , ,即BD AC2AB AC =BD CE，： AB =AC = BC , AB BD CE .考点二与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形ABCD中，.BCD =90 , AD II BC , BC二CD , E为梯形内一点，且 -BEC =90 ,将 BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到 DCF ,连EF交CD于M .已 知 BC =5 , CF =3 ,则 DM : MC 的值为（ ）A. 5:3 B. 3:5 C. 4:3 D

8、. 3: 4答案】C.【例8】如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求 AG : DF : CE 二答案】连接 BD , BF。： AB _ BC,BG _ BE二.ABG ZCBE , AB=BC,BG=BE ABG 也：CBE AG=CE tEF 丄BE,EF =BE :丄EBF =45,BF =/2bE tBC 丄CD, BC =CD NCBD =45； BD =2bC :丄FBD =NCBE,BD =聖=.FBD s AeBCBC BEDF BD 2 AG :DF : CE =1: .2 :1EC BF【例9】(1)如图1，等边 ABC中,D为AB边上的动点，以CD为一边，向上作等

9、边 EDC，连接AE ,求证：AE II BC .(2)如图2,将(1)中的等边 ABC改为以BC为底边的等腰三角形,所作的 EDC改成相似于 ABC ,请问：是否有AE II BC ?证明你的结论答案】(1)由 ACE BCD ,得.EAC = - ACB ,故 AE II BC .(2)由 ACEBCD ,得 EAC 二 B 二 ACB ,故 AE II BC .考点三与三角形有关的相似综合题,把厶ABC分成三个三角形和三个平行四边【例10】如图， ABC内有一点P ,过P作各边的平行线形.若三个三角形的面积 S , S2 , S3分别为1, 1 , 2 ,则 ABC的面积是 【解析】设

10、ABC的面积为S，则d S2兀空PE竺，BH HG GC=1 ,故 VS VS VS BC BC BC BC2 _ 2S2 S； = 1 1 .2 =6 4 2 .答案】6 +4施【例11】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE 与 CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、 DE与AF、 FA与CB的交点，如果AB： PR C：CRQ二 E F Q尸求证：BC ：US 二DE ： ST 二 FA：TU .T答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式 ，且AB、CD、EF构成一个与 PQR相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将 AB、

11、CD、EF集中到一起构成一个与 APQR相似的三角 形.如图所示，将CD平移至0E位置，则0E II CD ,且OE = CD ,所以.FEO = . Q ,且 E0 ： QR 二CD : QR = EF ： QP ,因此 FEO s . pqr ,从而.OFE = P ,且 FO ： PR 二 EF ： QP 二 AB ： PR . 这说明 FO II AB ,且 FO=AB ,进而 FA II OB ,且 FA = OB .又因为 CO II DE ,于是 COBs STU ,所以 BC ： US 二CO ： ST = OB ：TU , 注意到 CO =DE , OB=FA,故 BC：US

12、 =DE：ST = FA：TU .【例12】已知：.ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点 F .(1)如图I，若 ABC为锐角三角形，且 ABC =45，过点F作FG II BC，交直线AB于点G ,求证：FG DC = AD ；(2)如图2,若 ABC =135 ,过点F作FG II BC ,交直线AB于点G ,则FG、DC、AD之间满足的数量关系是 (3)在(2)的条件下，若AG =5.2 ,DC = 3 ,将一个45角的顶点与点 B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段 FG于MN两点(如图3),连接CF,线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P ,Q两点，若NGC求线段PQ

13、的长G答案】(1)证明：T ADB =90 , - ABC =45 二 BAD =“ABC =45 , a AD=BD BEC =90 , CBE C =90 v. DAC C =90 CBE DAC FDB CDA =90 , FDB 二 CDA aDF =DC vGF II BD AGF 二 ABC =45 , AGF 二 BAD /-FFG , FG DC 二 FA DF 二 AD(2) FG-DC=AD(3)如图，v ABC =135，/ ABD =45 v ADB =90，/ DAB=/DBA=45，/ AD=BDvFG II BC，/ G = DBA 二 DAB，/ AF 二 FG

14、 vAG =5 2 , FG2 AFAG2 /.FG 二 AF =5vCD =3 ,由(2)知 FG DC 二 AD，/ AD 二 BD =2 ./BC =1, DF =3 ,/ FDC为等腰直角三角形 /.GC =;：DF 2 - DC2 2分别过B , N作BH _ FG于点H NK _ BG于点K 四边形 DFHB为矩形/HF =BD =2, BH =DF =3 /.BH =HG =3，/ BG = . BH2vsin GKNG/NK /.BK4 4v MBN 二 HBG =45 / MBH 二 NBK v. MHB 二 NKB =90 mh bh/ MBH s NBK / /.MH =

15、1/FM =1NK BKBC II FG :/BCF ZCFN vZBPC ZMPF ,CB=FM BPC也 MPF.PC 二 PF 二1 FC 3-22 2CQFQ2 2 - 3近. 5血-CQ FC 3 2 - -PQ =CP CQ =-9 9 3 6 乙BQC ZNQF ：BCQ s NFQBCCQNFFQG考点四 与相似有关的动点问题AC 3【例13】如图，.IABC中，.C =90 , BC =8 ,- ，点P从B出发，沿BC方向以2/s的速度移动，AB 5点Q从C出发，沿CA方向也以1/s的速度移动，若P，Q分别从B，C出发，经过多少时间CPQ与ACBA相似？AC 3 答案】 C

16、=90 , BC =8, ，设 AC =3k, AB =5k ,AB 52 2 2AC BC =AB ,即(3k) 8 -(5k),解得k=2 (负值已舍去)AC =6设经过 ts 后 JCPQ 与.CBA 相似.此时 BP =2t, PC =8-2t , CQ =t本题需分两种情况：(1)当 CAB s CQP 时,解得t =2.4CQ CP 前 t 8 -2t，即_ =CA CB 6 8(2)当 CAB s CPQ 时， 综上，当t =2.4秒或32秒时，.lCPQ与.：CBA相似CQ CPCB CA即1 =口 ,解得t.8 6 1111【例14】如图，在矩形ABCD中，AB =12 ,

17、BC =6，点P沿AB边从点A开始向点B以2 /秒的速度移 动，点Q沿DA边以1/秒的速度从点D开始移动，如果P，Q同时出发，用t (秒)表示移动的时 间(0 t 6).(1)当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？(2) 求四边形QAPC面积，提出一个与计算结果相关的正确结论 (3)当t为何值时，以点Q , A , P为顶点的三角形与 ABC相似.答案】(1)当QAP为等腰直角三角形时，AP = AQ ,1 1(2) S四边形qapc =S.qac - S apc (6-t) 12石 2t 6=36 ,即四边形QAPC的面积为定值.(3)分2种情况1当 APQ s . BAC时，竺 =:BA

18、=2，即 2 ,解得t =3 .AQ BC 6 t2当 AQP s BAC时，也=里 =2 ,即 口 =2 ,解得t=-.AP BC 2t 5综上当t =3或6时，以点Q , A , P为顶点的三角形与.ABC相似.5中考满分必做题【例1】如图,已知在等腰 ABC中，/A=/B= 30，过点C作CD丄AC交AB于点D.若过A, D,点的圆O的半径为.3 ,则线段BC上是否存在一点 P,使得以P, D, B为顶点的三角形与 BCO相似，若存在，贝U DP的长为BB(09年浙江丽江中考试题)解析】tRCD=/ACB/ACD= 120 -90 = 30 B-CD=ZB,aDB= DC.又在 Rt A

19、CD 中，DC =DP1OCDBOBg OD + DB =23DPi =DB 、3 3OBOC= 2.3 -3 =空过点D作DP2丄AB，BC于点P2,则厶BDP2sABCO,.DP2OCbd BC .BC= . BO1 2-OC2 = (2 3)2-( - 3)2 = 3DP2 = BD OC = x73 = 1BC 3【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 2），点P是线段OA上的一个动点（不与A重合），过点P作PQ丄x轴于Q,以PQ为边向右作正方形 PQMN .连接AN并延长交x轴于点B,连接ON .AD sin30 =. 3 ,.DB=3 .过点 D 作 DPi/OC

20、,交 BC于点 Pi,则厶PiDBsCOB,（09年甘肃中考试题）解析】当0v t 5)(2)过点B作BH丄PC于HPB平分 ZCPQ, BQ丄 PQ,BH = BQ= y324 4 24 BH = 5 BC= 5 ，5 x 4 = 5则厶BEF和厶ABC也相似x= 11(3 )VZBQF=ZACB= 90 , QBF=ZABFgAABC当厶BEF和厶QBF相似时，有两种情况：当ZBEF=ZA时5_在 Rt EBF 中，/EBF= 90, BE= 5 , BF= 丁 y5 4 43 ( 5 x 4) = 3 X5,解得 x= 10当/BEF=ZABC时5在 Rt EBF 中，/EBF= 90,

21、 BE= 5 , BF=5 4 3 125- 3 ( 5 x 4) = 4 X5,解得 x= 16125D当 BEF和厶QBF相似时，求x的值为10或 需【例5】如图1,在Rt AOC中，AO丄OC,点B在OC边上，OB = 6,BC= 12，/ABO+/C = 90，动点M和N分别在线段 AB和AC边上.(1)求证： AOBsCOA,并求 cosC 的值；(2)当AM = 4时， AMN与厶ABC相似，求厶AMN与厶ABC的面积之比；(3)如图2,当MN /BC时，以MN所在直线为对称轴将 AMN作轴对称变换得 EMN .设 MN = x,A EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y,求y

22、关于x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围.图1图2解析】(1 )vAO 丄 OC,.ZABO+/BAO= 90 vzABO+ZC= 90 ,aBAO=ZC JAOB=/COA,.AOB COA OB：OA = OA:OC /OB = 6, BC= 12 ,.6:OA= OA : 18OA = 6 3BO图1AC= OC2+ OA2OC 18 3cosC= AC = 12.：? = 2(2 )TcosC= 2 , .ZC= 30 OAtan zABO = ob6 = 3 ,./ABO= 60 zBAC= 30 ，-AB= BC= 12当ZAMN =ZABC时（如图1）, AMN sMBCA

23、M = 4 ,S amn ： Sa abc = AM 2当ZAMN =ZC时（如图2）,AAMN sMCBAM = 4, .Saamn : Saabc = AM 21 1(3)易得 Saabc = 2 BC OA = 2 X12:AB2= 4 2 :12 2= 1:9:AC2= 42 : (12- 3) 2图2MN/ /BC,.AAMN ABCamn : Sabc = MN 2 : BC2, .Saamn ：36f3 = x 2 : 12 2也2 SAMN = 4 x当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F （如图3）MN/ /BC,.ZANM =ZC= 30 ZANM = ZBAC,.AM = MN = x以MN所在直线为对称轴将 AMN作轴对称变换得 EMN/ENM=ZANM = 30 ,.AFN = 90C图31 1 1MF = 2 MN = 2 AM = 2 xSafmn : Sa amn = MF : AM-3y ：.y =8 x 2 (Ov x 8)当EN与线段AB不相交时，设EN