数值分析高斯勒让德积分公式.docx

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数值分析高斯勒让德积分公式

高斯—勒让德积分公式

摘要：

高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果，是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。

然而，当积分区间较大时,积分精度并不理想。

TheadvantageofGauss-Legendreintegralformulaistendtogethigh-precisioncalculationalresultbyusingfewerGauss—points,reallifeisnowoftenappliednumericalintegrationmethod。

Buttheprecisionisnotgoodwhenthelengthofintegralintervalislonger.

关键字：

积分计算,积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword：

IntegralCalculation,Integralformula,Gauss-Legendreintegralformula,Matlab

引言：

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算。

实际上,积分还可以分为两部分。

第一种，是单纯的积分,也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数.

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一.

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。

而高斯求积系数,可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。

高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。

他是通过让节点和积分系数待定让函数f（x）以此取i=0，1,2。

.。

。

n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。

高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的.通常运用的是（-1,1）的积分节点和积分系数,其他积分域是通过变换x=（b—a）t/2  +（a+b）/2变换到-1到1之间积分。

1.现有的方法和理论

1。

1高斯勒让德求积公式

在高斯求积公式（4.5。

1）中，若取权函数

，区间为

，则得公式

我们知道勒让德多项式是区间

上的正交多项式，因此，勒让德多项式

的零点就是求积公式（上式）的高斯点．形如（上式）的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．

若取

的零点

做节点构造求积公式

令它对

准确成立,即可定出

．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取

的两个零点

构造求积公式

令它对

都准确成立，有

．

由此解出

，从而得到两点高斯－勒让德求积公式

．

三点高斯－勒让德求积公式的形式是

．

如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．

0

0。

0000000

2.0000000

1

0.5773503

1。

0000000

2

0。

7745967

0.0000000

0。

5555556

0。

8888889

3

0。

8611363

0。

3399810

0。

3478548

0。

6521452

4

0.9061798

0.5384693

0.0000000

0.2369269

0。

4786287

0。

5688889

公式（4.5。

9）的余项由（4.5。

8）得

这里

是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3。

2。

6）及（3。

2。

7）得

．　　　

当

时，有

．

它比辛普森公式余项

还小，且比辛普森公式少算一个函数值．

当积分区间不是［－１，１]，而是一般的区间

时，只要做变换

可将

化为［－１,１］，这时

．　

对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．

1。

2复化Gauss-Legendre求积公式

将被积区间m等分,记

作变换

在每个小区间上应用Gauss—Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公式

不妨设

则有：

Gauss点个数

时，

Gauss点个数

时，

总结复化Gauss—Legendre求积过程如下:

1.分割区间，记录区间端点值；

2.通过查表或求解非线性方程组，在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；

3。

将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss点个数

和

的复化Gauss—Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss（）如下:

function［］=compgauss（a,b,n）

％CompositeGaussIntegration

％EquationType:

n=2，n=3

%CodedbyNan。

Xiao2010—05—25

％Step。

1DivideInterval

％Step。

2Calculate

%Step.3SumResults

formatlong

f=＠（x）exp（x）.＊sin（x）;

h=（b—a）/n；

xk=zeros（n+1,1）;

xk（1，1）=a；

xk（n+1，1）=b；

fk1=zeros（n，1）;

fk2=zeros（n,1）;

fori=1：

n-1

xk（i+1，1）=a+h*i;

end

forj=1:

n

fk1（j）=f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）＊（—1/sqrt（3）））+..。

f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）＊（1/sqrt（3）））;

end

forr=1:

n

fk2（r）=（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）＊（—sqrt（15）/5））+。

.。

（8/9）＊f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（0））+。

.。

（5/9）＊f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）＊（sqrt（15）/5））;

end

mysum1=h*sum（fk1）/2;

mysum2=h*sum（fk2）/2；

disp（'Resultof2Nodes:

'）

disp（mysum1）;

disp（’Resultof3Nodes：

'）

disp（mysum2）；

end

1。

3龙贝格，三点,五点以及变步长高斯勒让德求积法

以下是关于龙贝格，三点,五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较

＃include 

h>

#include 

#include 〈iomanip。

h〉

#define Precision1 0.000000000001

＃ define e         2。

71828183

#define  MAXRepeat 10  

double function （double x）

{

  double s;

s=1/x;

return s;

｝

double Romberg（double a,double b，double f（double x））

｛

  int m，n，k;

 double y［MAXRepeat］，h，ep，p，xk,s,q；

h=b-a；

 y[0]=h*（f（a）+f（b））/2.0;//计算T`1`（h）=1/2（b—a）（f（a）+f（b））;

 m=1;

n=1;

ep=Precision1+1；

 while（（ep>=Precision1）＆&（m〈MAXRepeat））

｛

 p=0。

0;

for（k=0；k

｛

 xk=a+（k+0。

5）＊h; 

p=p+f（xk）；  

        }       

 p=（y［0]+h*p）/2。

0;  //T`m`（h/2）,变步长梯形求积公式

 s=1。

0；

for（k=1；k<=m;k++）

{

s=4。

0*s；// pow（4，m）

q=（s*p—y[k-1］）/（s-1.0）;

y［k-1]=p;

p=q;

}

 ep=fabs（q-y［m-1]）；

 m=m+1；            

y[m—1]=q;

n=n+n;   //  2 4 8 16 

  h=h/2.0;//二倍分割区间

return q；

}

double ThreePointGaussLegendre（double a，double b,double f（double x））

{

 double x，w；

 static double X[3]={—sqrt（15）/5.0,0,sqrt（15）/5.0}；

  static double L［3］={5/9。

0,8/9。

0，5/9.0｝；

    w=0.0;

  for（int i=0;i<3；i++）

          {

             x=（（b-a）＊X［i]+（b+a））/2。

0;               

           w=w+f（x）＊L［i］；

          }

    return w;

}

double FivePointGaussLegendre（double a，double b,double f（double x））

｛

  double x，w;

    static double X[5］={-0。

9061798459,—0。

5384693101，0,0.5384693101,0。

9061798459｝;

    static double L［5]={0.2369268851，0.4786286705，0。

5688888889，0.4786286705,0。

2369268851｝;

  w=0.0;

    for（int i=0;i〈5；i++）

          ｛

             x=（（b-a）＊X[i]+（b+a））/2.0;               

              w=w+f（x）＊L[i］;//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果

        }

   return w；

}

double FivePointPrecisionGaussLegendre（double a,double b,double f（double x））

｛

  int m,i,j；

    double s,p,ep,h，aa,bb,w,x,g；

    static double X[5]={-0。

9061798459,—0。

5384693101,0，0。

5384693101,0.9061798459};

  m=1；

  h=b-a；

    s=fabs（0。

001＊h）;

p=1。

0e+35;

    ep=Precision1+1；

   while（（ep>=Precision1）&＆（fabs（h）〉s））

    ｛

     g=0.0;

        for（i=0;i〈m；i++）

        ｛

           aa=a+i*h；

            bb=aa+h;

            w=0.0;

         for（j=0；j〈=4；j++）

           ｛

              x=（（bb-aa）＊X[j］+（bb+aa））/2.0；

                w=w+f（x）*L［j］;

           }

          g=g+w;//各个区间计算结果之和相加

        }

           g=g*h/2.0;

            ep=fabs（g-p）/（1.0+fabs（g））；//计算精度

            p=g;

            m=m+1;

           h=（b-a）/m;//分割区间

    }   

    return g;

}

main（）

{

    double a，b,s；

    cout〈〈”请输入积分下限:

”;

    cin〉〉a;

    cout<〈”请输入积分上限：

”；

    cin>>b;

    cout〈〈”㏑的真值为:

”〈

    cout〈<”1.098612289"〈

    /*龙贝格求积*/

    s=Romberg（ a, b, function）；

    cout<<"龙贝格求积公式：

”〈

    cout〈〈setiosflags（ios:

：

fixed）<〈setprecision（14）<〈s<

    /＊三点求积公式＊/

    s=ThreePointGaussLegendre（ a, b， function）；

    cout〈<”三点求积公式：

"〈

    cout<

:

fixed）〈〈setprecision（14）<〈s〈〈endl;

    /*五点求积公式*/

    s=FivePointGaussLegendre（ a， b， function）；

    cout〈<”五点求积公式”〈

    cout<

:

fixed）<

     s=FivePointPrecisionGaussLegendre（a, b,function）;

    cout〈〈”控制精度五点求积公式”〈

    cout<

:

fixed）〈〈setprecision（14）〈

    return 0；

｝

2.高斯－勒让德求积的程序

2.1三点高斯勒让德公式的代码

functiongl=f（str,a,b）

x=zeros（3，1）;

y=zeros（3,1）；

x

（1）=—sqrt（15）/5；

x

（2）=0；

x（3）=sqrt（15）/5;

fori=1：

3

t=（b—a）/2*x（i）+（a+b）/2;

y（i）=eval（str）；％exp（t）*sin（t）；%此处为求积的函数,t为自变量

end

gl=5/9*y

（1）+8/9*y

（2）+5/9＊y（3）；

上面的代码保存为f.m文件,调用的时候如下

f（’t＊2’,-1,1）

f（’exp（t）*sin（t）',1,3）

其中第一个参数为求积分的表达式,第二三个参数分别为

积分的上下限。

2。

2高斯—勒让德数值积分Matlab代码

function［ql，Ak,xk］=guasslegendre（fun，a,b,n,tol）

ifnargin==1

a=-1;b=1;n=7;tol=1e—8;

elseifnargin==3

n=7;tol=1e-8;

elseifnargin==4

tol=1e—8；

elseifnargin==2|nargin>5

error（’TheNumberofInputArgumentsIsWrong！

'）；

end

symsx

p=sym2poly（diff（（x^2-1）^（n+1）,n+1））/（2^n＊factorial（n））;

tk=roots（p）；

Ak=zeros（n+1，1）;

fori=1:

n+1

xkt=tk；

xkt（i）=［];

pn=poly（xkt）；

fp=@（x）polyval（pn,x）/polyval（pn，tk（i））;

Ak（i）=quadl（fp，—1，1，tol）;%求积系数

end

xk=（b-a）/2＊tk+（b+a）/2;

fun=fcnchk（fun，'vectorize'）；

fx=fun（xk）*（b—a）/2；

ql=sum（Ak.＊fx）;

3.数值实验

3。

1用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算

.

解：

先将区间

化为

，由

（1）

。

（1）

有

.

根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得

.

（准确值

）

3。

2用

的高斯-勒让德公式计算积分

解：

令

则

用

的高斯—勒让德公式计算积分

用

的高斯—勒让德公式计算积分

3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分

，计算过程保留4位小数．

解:

高斯－勒让德求积公式只求积分区间为［－1，1]上的积分问题．需作变换，令

，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，

＝

＝

3.总结

高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在［—1，1］上，区间的变大会导致精度的降低。

因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。

《参考文献》

[1］《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008617

［2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·科学出版社2010710

［3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009723

[4］复化两点Gauss—Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期