高考数学基本题型思路方法和结论大梳理一.docx

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高考数学基本题型思路方法和结论大梳理一

2021年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理

（一）

编者按俗话说：

基础不牢，地动山摇．基础题掌握好了，难题无非是基础题的复杂化、综合化．为此，本刊特约高中数学名师龙艳文，在２０１４．９期至２０１５．４期的栏目中，以连载的形式，结合多年高三复习教学经验，为同学们提供最“骨架”的问题和其主要的方法、常用的结论、基本的思路，名为《２０１５年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理》，相当于笔记本一样，为你今后解题提供可以回归的“固着点”．

２０１５年高考数学基本题型、思路、

方法和结论大梳理

（一）

江苏省南京市教研室

龙艳文

类型三：

集合相等

◆例

类型一：

集合的表示

已知集合Ａ：

｛ｚ，ｚｙ，１９（ｚｙ）），Ｂ

―Ｉ｛０，ｌＸｌ，Ｙ），若Ａ＝Ｂ，试求实数ｚ，Ｙ的值．

◎注意集合求解后一定要检验，如集合

◆例

判断下列集合的区别：

Ａ：

｛ｚ

ｙ―ｙ―

中元素的互异性．

ｚ２＋１），Ｂ一｛ｙｙ―ｚ２＋１），Ｃ＝｛（ｚ，ｙ）ｌｚ２＋１），Ｄ一｛ｙ＝ｚ２＋１）．

◎注意集合中元素形式．类型二：

集合的关系

★集合的运算

类型一：

集合的基本运算

◆例１

饕羲

设集合Ａ：

｛ｚＩ―ｚｚ＋３ｚ＋１０≥

◆例

Ａ＝｛ｘｌ

已知全集ｕ＝｛ｚＩＸ２ｍ３ｚ＋２≥ｏ），

０），集合Ｂ＝｛ｚｍ＋１≤ｚ≤２ｍ一１），若Ｂ∈Ａ，求实数ｍ的取值范围．

将集合Ａ改为Ａ一｛ｚｌ―ｚｚ＋

ｘ＞３或ｚ＜１），Ｂ２｛ｚｘ－－１｝≥ｏ｝，

ｕ（Ａ

求ＡｎＢ，ＣＵＡ，Ｃｕ（ＡｎＢ），ＣＵＢ）．

３ｚ＋１０＜０）．

翕法数轴分析．

◎注意：

①ＢＣＡ，ＡｎＢ一历时优先考虑空集乃；②端点的取舍；③不等式间交或并的关系．

与不等式有关的集合问题，画

Ｃ

缌｝掩

ｕ（Ａ

Ｃｕ（ＡＮＢ）＝（ＣｕＡ）Ｕ（ＣｕＢ），

ｕＢ）．

ＵＢ）一（ＣｕＡ）Ｎ（Ｃ

类型二：

集合运算的应用

◆例１

设集合Ａ＝｛ｚｚｚ一３ｚ＋２＝ｏ），

Ｂ＝｛ｚｌＸ２＋２（口＋１）ｚ＋口２―５＝０）．

（１）若ＡｎＢ＝｛２），求实数口的值；

设集合Ａ一｛ｚ

Ｘ２

◆例２

Ｄ

ｌ―ｏ｝，集合

（２）若ＡＵＢ＝Ａ，求实数以的值；

（３）若Ｕ＝Ｒ，ＡｎＣｕＢ―Ａ，求实数ｎ

Ｂ＝｛ｚＩ．７Ｃ２―２ａｘ＋１＝０），若Ｂ￡Ａ，求实数ｎ的取值范围．

◎注意单元素集合要考虑△一０．

Ｉｌ

Ｎｅｗ

的取值范围．

◎注意求解后要检验．

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ

万方数据

Ａ￡Ｂ甘ＡｎＢ―Ａ；Ａ∈Ｂｅ：

ＣＡ

ＵＢ＝Ｂ．

◆例２设集合Ａ一｛ｚ１

１＜ｚ≤３），Ｂ：

（ｚ

ｔｚ≥口）．

（１）若ＡｎＢ＝乃，求实数口的取值

范围；

（２）若ＡｎＢ≠够，求实数ｎ的取值范围；

（３）若ＡｎＢ―Ａ，求实数ｎ的取值范围；

（４）若Ｃ

ｕＡ

ＵＢ―ＣｕＡ，求实数口的取

值范围．

囊武

将集合Ｂ改为Ｂ＝｛ｚｌｘ＜ａ｝．

◎注意要树立端点意识，即对端点进行检验（想到检验比如何检验更难）．

类型三：

Ｖｅｎｎ图的应用

◆例

已知全集ｕ：

｛ｚｌｚ≤１０，ｚＥＮ），

ＡｎＢ＝｛４，５），ＡｎＣｕＢ＝｛１，２，３），ＣｕＡ

ｎ

ＣｕＢ＝｛６，７，８），求ＣｕＡｎＢ．

．翥濠

利用Ｖｅｎｎ图的直观性．

★命题及其关系和充分、必要条件

类型一：

四个命题的关系

◆例１

写出下列命题的逆命题、否命题、

逆否命题，并判断它们的真假．

（１）若ａｂ＝０，则ｎ＝０或ｂ＝０；（２）若ｚ２＋ｙ２一ｏ，则ｚ，Ｙ全为０；（３）已知口，ｂ，ｃ为实数，若口ｃ＜０，则口ｚ２＋６ｚ＋Ｃ－－－－０有两个不相等的实数根；

（４）斜率乘积为一１的两条直线互相

垂直．

穷稔

原命题

互为逆命题

逆命题

羞ｐ，则ｇ若毋则ｐ

互为否命题Ｉ

互为》圣《命题

ｌ互为否命题

否命题

互为逆命题

逆否命题

若ｊ眵，则非ｇ

若非ｇ，则ｊ印

万方数据

◎注意（１）将命题形式先改写成“若ｐ，则口”的形式；

（２）常见语句的否定：

形式ｌ都是Ｉ至少一个｝至多一个ｌ

Ｐ或Ｑ

Ｐ且Ｑ

否定Ｉ不都是｝一个没有ｌ至少两个Ｉ，Ｐ且，Ｑｌ，Ｐ或，Ｑ

◆例２

判断下列命题的真假．

（１）已知厂（ｚ）在Ｒ上为增函数，若厂（口）＋厂（６）≥厂（－ａ）＋厂（－－ｂ），贝０口＋６≥０；

（２）若口６≠０，则口＋ｃｏ且６＿圭０．

方法

原命题与逆否命题等价．如果

原命题的正确性难以判断，可以转化为判断

其逆否命题的正确性．

类型二：

充分、必要条件

■例１

（１）“ｓｉｎＡ―ｓｉｎ

Ｂ，，是“Ａ―Ｂ，，的

条件５

（２）“ｍ一÷”是“直线（仇＋２）ｚ＋３ｍｙ＋

１＝０与直线（ｍ一２）ｚ＋（ｍ＋２）ｙ一３＝０相互垂直”的

条件；

（３）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的

条件；

（４）已知命题户：

Ｘ≠２或ｙ≠３，命题ｑ：

ｚ＋ｙ≠５，则夕是ｑ的

条件．

方法

如果户≥ｑ，且ｑｊ乡，那么称户

是ｑ的充分必要条件，简记为户是ｑ的充要

叁堡；如果ｐ≥ｑ，且ｑ参户，那么称户是ｑ的

充分不必要条件；如果户参ｑ，且ｑｊｐ，那么称ｐ是ｑ的必要不充分条件；如果户参ｑ，且ｑ参户，那么称ｐ是ｑ的既不充分又不必要

釜笪．

◎注意（１）找特殊情况（反例）来否定命题（结论）；（２）利用原命题与逆否命题等价，

即“若户ｊｇ，则，ｑ≥，夕”判断推导关系．

◆例２

（１）若２ｘ＋ｍ＜ｏ是ｚ２―２ｘ－－３

＞Ｏ的充分条件，则实数ｍ的取值范围是

――；

（２）已知户：

（ｚ＋２）（ｚ一６）≤０，ｑ：

（ｚ＋

Ｎｅｗ

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ

１１１

从集合的观点看，已知夕：

ｚ∈

Ａ，ｑ：

ｚ∈Ｂ，若Ａ∈Ｂ，则夕是ｑ的充分条件，

ｑ是户的必要条件；若Ａ＝Ｂ，则Ｐ，ｑ互为充要条件．

◆例３

求证：

关于ｚ的方程ｚｚ＋（２口一

１）ｚ－ｔ－口２―０有两实数根，且两根均小于２的充要条件是ｎ＜一２．

方法

证明命题条件的充要性时，既

要证明原命题成立（即条件的充分性），又要证明它的逆命题成立（即条件的必要性）．

★逻辑联结词与量词

类型一：

逻辑联结词

◆例

已知命题户：

方程Ｘ２－４－ｍｘ＋１：

ｏ

有两个不等的负实根，命题ｑ：

方程４２２＋４（优一２）ｚ＋１―０无实根．若Ｐ或ｑ为真，Ｐ且ｑ为假，求实数ｍ的取值范围．

赏法

“且”在两个均为真的情况下为

真，“或”在其中一个为真的情况下为真．

◎注意求取值范围时区间端点的情况．类型二：

量词

◆例

写出下列命题的否定，并判断

真假：

（１）Ｖｚ∈Ｒ，ｚ２＋４ｚ＋４≥０；

（２）ｊｚ∈Ｒ，ｚ２～４＝０；

（３）存在质数是偶数；

（４）菱形是平行四边形．

方法（１）先判断是否为存在性或全

称命题．

全称量词：

“所有的”、“任意一个”等，用

Ｖ表示．全称命题Ｐ：

Ｖｚ∈Ｍ，Ｐ（ｚ）；全称命题夕的否定、Ｐ：

３ｘ∈Ｍ，、ｐ（ｚ）．

存在量词：

“存在一个”、“至少有一个”等，用了表示．存在性命题Ｐ：

３ｚ∈Ｍ，户（ｚ）；存在性命题ｐ的否定，ｐ：

Ｖｚ∈Ｍ，、户（ｚ）．

¨ＮｅｗＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

ＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ

万方数据

（２）求原命题的否定的另一形式是求原命题对应集合的补集．

★函数的概念

类型一：

同一函数判断

◆例

以下四组函数中，表示同一函数的

有

．

①，（ｚ）＝Ｉｚｌ，ｇ（ｚ）＝￣／ｚ２；②，（ｚ）＝

仃，ｇ（ｚ）＝（石）２；③厂（ｚ）一署，ｇ（ｚ）

一ｚ＋１；④，（ｚ）＝￣／ｚ＋ｌ￣／ｚ一１，ｇ（ｚ）一、，乞［＿．

方法

判断是否为同一函数，看是否

满足定义域、解析式均相同．

类型二：

分段函数

◆例，已知函蝴护昆㈣，塞

则，（一２）＝

，ｆＥｆ（一１）］＝

．

方法

对分段函数求值问题，要依据

自变量范围确定对应的函数解析式．对于复◆例２已知函蝴护｛芝：

搂≥

若厂（口）＝口，求口的值．

方法

已知分段函数的函数值，求自

变量问题，一般采用分类讨论的方法．

■例３已知函蝴护出罩４，羞

（１）若厂（ｚ）≥２，求ｚ的取值范围；（２）求厂（ｚ）在区间［一１，３］上的最值．方法１

（１）先分类讨论各段ｚ的取

值范围，再对各类范围取并集；

（２）分段函数求最值问题，先分段求最函数求值域问题，先分段求值域，再对各段方法２

结合图形整体分析．

合函数求值问题，常由内向外求．

值，再比较各段最值确定函数的最值；分段值域取并集．

纂本想法对于分段函数：

①分段处

理；②整体处理．

◎注意分段函数中自变量ｚ的分段区间不重复、不遗漏．

类型三：

解析式求法

一例１

若厂（ｚ＋１）Ｘｚ一５ｘ＋４，求

厂（ｚ）．

羹羲，’若，（ｚ＋÷）．Ｚ２＋专，求

厂（ｚ）．

变式２

若ｆ（ｘ２＋１）＝ｚ２，求，（ｚ）．方法

换元法、配凑法，适用于已知

ｆｉｇ（ｘ）］，求，（ｚ）问题．

◎注意换元法、配凑法要考虑元的范围，即函数的定义域．

◆例２已知ｆ［－，（ｚ）］一９＋４ｚ，且厂（ｚ）

是一次函数，求．厂（ｚ）．

方法待定系数法，适用于已知函数

类型的问题．

补充

等式（方程）恒成立问题，如ｚ２＋如＋ｆ＝０对任意Ｘ∈Ｒ恒成立，则ｎ＝ｂ―

ｃ＝０．（注意与解方程ｚ２＋ｂｘ＋ｆ＝０的区别．）

结论

一次函数一般设为：

厂（ｚ）一ａｘ

＋ｂ（ａ≠０）

二次函数一般设为：

（１）一般式：

厂（ｚ）

一口ｚ２＋６ｚ＋ｆ（口≠Ｏ）；

（２）顶点式：

．厂（ｚ）一ａ（ｚ―ｈ）２＋ｋ（口≠

Ｏ）；

（３）零点式：

ｆ（ｘ）＝ａ（ｚ―ｚ１）（ｚ―ｚ２）

（ｎ≠０）．

■例３

（１）已知定义在Ｒ上的函数厂（ｚ）

满足厂（ｚ）＋３ｆ（－－ｘ）＝３ｘ，求厂（ｚ）；

（２）已知ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｚ）为偶函数，，（ｚ）＋ｇ（ｚ）＝ｚ２＋２ｘ一１，求厂（ｚ），

ｇ（ｚ）；

（３）已知函数，（ｚ）满足２ｆ（ｚ）＋厂（丢）

万方数据

一ｚ，求，（ｚ），／‘（２）．

纛蒗

方程组法，适用于上述三种形

式的问题．

■例４

动点Ｐ从边长为１的正方形

ＡＢＣＤ的顶点Ａ出发，顺次经过Ｂ，Ｃ，Ｄ，再回到Ａ．设ｚ表示点Ｐ走过的路程，Ｙ表示ＰＡ的长，求Ｙ关于ｚ的函数解析式．

◎注意求实际问题中的函数解析式，首先要考虑实际情境中的自变量范围；分段函数的书写格式要规范和分段区间的端点不

能重复．

★函数的定义域、值域

类型一：

定义域求法

－４）ｏ的定义域是――．

一例１

方法

自然型：

给出解析式的函数的

定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

◎注意（１）函数定义域必须写成集合或区间的形式．

（２）常见的考查定义域的函数有：

，（ｚ）

一石，，（ｚ）＝珏，厂（ｚ）＝２”拓，，（ｚ）＝专．，

，（ｚ）＝≯，ｆ（Ｘ）＝ｌｏｇ。

Ｘ（ａ＞０且ａ≠１），

，（ｚ）一ｔａｎｚ．

■例２

已知厂（ｚ）的定义域为［１，２］，求

函数ｊ，２厂（ｚ２）及ｙ２ｆ（２ｘ）＋厂（ｚ＋号）的

定义域．

方法

已知ｆ（ｚ）的定义域为Ｄ，求

ｆｉｇ（ｘ）］的定义域问题，由ｇ（ｚ）∈Ｄ，解得ｚ的范围，即为ｆｉｇ（ｘ）］的定义域．

对比

已知ｆ（ｘ＋１）的定义域为［１，

２］，求函数ｙ＝，（ｚ）的定义域．

方法

已知厂［ｇ（ｚ）］的定义域为Ｄ，

求厂（ｚ）的定义域问题，由ｚ∈Ｄ，求出ｇ（ｚ）

Ｎｅｗ

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｒａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎＩＩｉ

的范围，且ｐ为／。

（ｚ）的定义域．

◆例３已知厂（ｚ）：

１９（ａ－－１）ｚｚ＋（ｎｚ

一１）ｚ＋ｎ＋１］的定义域为Ｒ，求口的取值

范围．

㈩ｙ＝鞲（ｚ≠一詈）；（２）ｙ２器．

方法

部分分式法，适用于分子、分母

次数相同的分式函数，如厂（ｚ）。

云ａｘｊ＋刁ｂ

方法

（１）定义域为Ｒ问题转化为不

等式恒成立问题；

（２）处理形如口ｚ２＋ｂｘ＋ｃ＞０对任意ｚ∈Ｒ恒成立问题的方法：

①优先考虑二次项系数为０的情况，②结合二次函数图象分析，③注意二次项系数的正、负和判别式△的正、负．

类型二：

值域求法

（ｚ≠一手）的形式，先化为厂（ｚ）２詈＋

６一一ａｄ

，

云南（ｚ≠一孚）的形式ｊ再结合图象求解．

，例５

■例１

（１）ｙ―ｚ＋厄，

（２）ｙ－－－－ＣＯＳ２ｘ＋ｓｉｎ

求下列函数的值域：

求下列函数的值域：

ｚ．

（１）ｙ＝ｘ２－ｘ＋２，ｚ∈［一１，１］５

方法式进行换元．

换元法：

对复杂形式或特定形

（２）ｙ＝Ｓｉ…ｚ∈睁料

方法

图象法，适用于能作出图象的

基本函数或基本函数变换后的函数．（要体会到“一切尽在图形中”，即具有优先利用图形分析解决问题的意识．）

◎注意换元法要考虑元的范围．

◆例６

求下列函数的值域：

（１）厂（ｚ）一ｚ２＋南；

（２）厂（ｚ）一万ｘ－－而１（ｚ＞１）．

方法

基本不等式法，适用于能化成

，例２

求下列函数的值域．

（１）ｙ＝以＝万－－Ｘ；

（２）ｙ＝（丢）２一…∈［－１＇２］．

方法调性的函数．

单调性法，适用于能判断出单

厂（ｚ）一ｚ＋詈形式的函数．

结论

对勾函数，（ｚ）一ｚ＋导（ｎ＞ｏ）

的图象与性质．

◆例３

（１）ｙ一万蒜’

（３）ｙ＝Ｓｉｎ

求下列函数的值域：

◆例７

方法

求函数厂（ｚ）＝ｚｌ眦的值域．

导数法（导数法并不是最优先

的方法，但是在前面的方法均不可行的情况下，要想到导数法．可形象地比喻为：

导数法是最后的救命稻草，不要上来就用，也不要在关键时刻忘记用）．

（２）ｙ－－－－ｌｏｇ｛（ｚ２＋２ｚ＋２）５

２ｚ＋号）灰［ｏ，甜

方语

复合函数法，即ｆｉｇ（ｚ）］值域

基本想法

的求法：

先求ｇ（ｚ）的值域，再以ｇ（ｚ）的值域作为，（ｚ）的定义域，求出厂（ｚ）的值域即可．（体验将复杂函数转化为基本函数的神奇．）

处理函数值域（最值）问

题，优先考虑图象法或单调性法，然后观察函数的特征能否使用前６种方法，若不能，则考虑能否转化后使用前６种方法，最后别忘了导数法．

◆例４

Ｉ‘

求下列函数的值域：

ＮｅｗＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＥｎｔｉ＇ａｎｃｅＥｘａｍｉｎａｔｉｏｎ

万方数据