《离散数学》试题及答案.docx
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《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=________{3}____________;(A)-(B)=_____{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}_______.
2.2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是__1={(a,1),(b,1)},2={(a,2),(b,2)},3={(a,1),(b,2)},4={(a,2),(b,1)};_,其中双射的是____3,4._
4.已知命题公式G=(PQ)∧R,则G的主析取式是______(P∧Q∧R)__________________.
5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为___12_______,分枝点数为_______3_________.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB=_______{4}__________________;AB=_____{1,2,3,4}____________;A-B=____{1,2}_________________.
3.7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是__自反性;对称性;传递性_______________________________.
8.设命题公式G=(P(QR)),则使公式G为真的解释有____(1,0,0)________,____(1,0,1)_________,____(1,1,0)______________________.
9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R1={(1,4),(2,3),(3,2)},R1={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1R2=_{(1,3),(2,2),(3,1)}__________,R2R1=___{(2,4),(3,3),(4,2)}_______,R12=_____{(2,2),(3,3)}__________________.
4.10.设有限集A,B,|A|=m,|B|=n,则||(AB)|=___2mn_____.
11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A={x|-1≤x≤1,xR},B={x|0≤x<2,xR},则A-B=_{x|-1≤x<0,xR}_______,B-A=__{x|1A∩B=___{x|0≤x≤1,xR}_______________________,.
5.13.设集合A={2,3,4,5,6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为__{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}_____________________________.
6.14.设一阶逻辑公式G=xP(x)xQ(x),则G的前束式是__x(P(x)∨Q(x))_.
15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加__21_______条边才能把G变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式xR(x)→xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是____(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))_______________________.
17.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)},S={(1,3),(2,3),(3,2)}。
则RS=_{(1,3),(2,2)}_____________________________,
R2=___{(1,1),(1,2),(1,3)}.______________________.
二、选择题
1设集合A={2,{a},3,4},B={{a},3,4,1},E为全集,则下列命题正确的是(C)。
(A){2}A(B){a}A(C){{a}}BE(D){{a},1,3,4}B.
2设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则R不具备(D).
(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性
3设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的(B)。
(A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不对
4下列语句中,(B)是命题。
(A)请把门关上(B)地球外的星球上也有人
(C)x+5>6(D)下午有会吗?
5设I是如下一个解释:
D={a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是(D).
(A)xyP(x,y)(B)xyP(x,y)(C)xP(x,x)(D)xyP(x,y).
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是(C).
(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).
7.设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=xP(x),H=xP(x),则一阶逻辑公式GH是(C).
(A)恒真的(B)恒假的(C)可满足的(D)前束式.
8设命题公式G=(PQ),H=P(QP),则G与H的关系是(A)。
(A)GH(B)HG(C)G=H(D)以上都不是.
9设A,B为集合,当(D)时A-B=B.
(A)A=B(B)AB(C)BA(D)A=B=.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有(B)。
(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为(B)。
(A){a}{a,b,c}(B){a}{a,b,c}(C){a,b,c}(D){a,b}{a,b,c}
12命题xG(x)取真值1的充分必要条件是().
(A)对任意x,G(x)都取真值1.(B)有一个x0,使G(x0)取真值1.
(C)有某些x,使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不对.
13.设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是(A).
(A)9条(B)5条(C)6条(D)11条.
14.设G是5个顶点的完全图,则从G中删去(A)条边可以得到树.
(A)6(B)5(C)10(D)4.
15.设图G的相邻矩阵为
,则G的顶点数与边数分别为(D).
(A)4,5(B)5,6(C)4,10(D)5,8.
三、计算证明题
1.设集合A={1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图;
(2)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界;
(3)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。
(1)
(2)B无上界,也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3.
(3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,90+;极小元是1.
2.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(x,y)|x,yA且xy},求
(1)画出R的关系图;
(2)写出R的关系矩阵.
R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3.设R是实数集合,,,是R上的三个映射,(x)=x+3,(x)=2x,(x)=x/4,试求复合映射•,•,•,•,••.
(1)•=((x))=(x)+3=2x+3=2x+3.
(2)•=((x))=(x)+3=(x+3)+3=x+6,
(3)•=((x))=(x)+3=x/4+3,
(4)•=((x))=(x)/4=2x/4=x/2,
(5)••=•(•)=•+3=2x/4+3=x/2+3.
4.设I是如下一个解释:
D={2,3},
a
b
f
(2)
f(3)
P(2,2)
P(2,3)
P(3,2)
P(3,3)
3
2
3
2
0
0
1
1
试求
(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b));
(2)xyP(y,x).
(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f
(2))
=P(3,2)∧P(2,3)
=1∧0
=0.
(2)xyP(y,x)=x(P(2,x)∨P(3,x))
=(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3))
=(0∨1)∧(0∨1)
=1∧1
=1.
5.设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图;
(2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元;
(3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界.
1)
(2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1.
(3)B无上界,无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.设命题公式G=(P→Q)∨(Q∧(P→R)),求G的主析取式。
G=(P→Q)∨(Q∧(P→R))
=(P∨Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=(3,4,5,6,7).
7.(9分)设一阶逻辑公式:
G=(xP(x)∨yQ(y))→xR(x),把G化成前束式.
G=(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)
=(xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)
=(xP(x)∧yQ(y))∨xR(x)
=(xP(x)∧yQ(y))∨zR(z)
=xyz((P(x)∧Q(y))∨R(z))
9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},
(1)求出r(R),s(R),t(R);
(2)画出r(R),s(R),t(R)的关系图.
(1)r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)},
s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)},
t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)};
(2)关系图:
11.通过求主析取式判断下列命题公式是否等价:
(1)G=(P∧Q)∨(P∧Q∧R)
(2)H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))
G=(P∧Q)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m7∨m3
=(3,6,7)
H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))
=(P∧Q)∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m3∨m7
=(3,6,7)
G,H的主析取式相同,所以G=H.
13.设R和S是集合A={a,b,c,d}上的关系,其中R={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)},S={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}.
(1)试写出R和S的关系矩阵;
(2)计算R•S,R∪S,R-1,S-1•R-1.
(1)
(2)R•S={(a,b),(c,d)},
R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)},
R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)},
S-1•R-1={(b,a),(d,c)}.
四、证明题
1.利用形式演绎法证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
(1)P∨RP
(2)R→PQ
(1)
(3)P→QP
(4)R→QQ
(2)(3)
(5)Q→RQ(4)
(6)R→SP
(7)Q→SQ(5)(6)
(8)Q∨SQ(7)
2.设A,B为任意集合,证明:
(A-B)-C=A-(B∪C).
证明:
(A-B)-C=(A∩~B)∩~C
=A∩(~B∩~C)
=A∩~(B∪C)
=A-(B∪C)
3.(本题10分)利用形式演绎法证明:
{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D。
证明:
{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D
(1)AD(附加)
(2)A∨BP
(3)BQ
(1)
(2)
(4)C→BP
(5)B→CQ(4)
(6)CQ(3)(5)
(7)C→DP
(8)DQ(6)(7)
(9)A→DD
(1)(8)
所以{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D.
4.(本题10分)A,B为两个任意集合,求证:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.
4.证明:
A-(A∩B)
=A∩~(A∩B)
=A∩(~A∪~B)
=(A∩~A)∪(A∩~B)
=∪(A∩~B)
=(A∩~B)
=A-B
而(A∪B)-B
=(A∪B)∩~B
=(A∩~B)∪(B∩~B)
=(A∩~B)∪
=A-B
所以:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.
参考答案
一、填空题
1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.
.
7.1={(a,1),(b,1)},2={(a,2),(b,2)},3={(a,1),(b,2)},4={(a,2),(b,1)};3,4.
8.(P∧Q∧R).
9.12,3.
10.{4},{1,2,3,4},{1,2}.
11.自反性;对称性;传递性.
12.(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0).
13.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.
14.2mn.
15.{x|-1≤x<0,xR};{x|116.12;6.
17.{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}.
18.x(P(x)∨Q(x)).
19.21.
20.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
21.{(1,3),(2,2)};{(1,1),(1,2),(1,3)}.
二、选择题
1.C.2.D.3.B.4.B.
5.D.6.C.7.C.
8.A.9.D.10.B.11.B.
13.A.14.A.15.D
三、计算证明题
1.
(1)
(2)B无上界,也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3.
(3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,90+;极小元是1.
2.R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3.
(1)•=((x))=(x)+3=2x+3=2x+3.
(2)•=((x))=(x)+3=(x+3)+3=x+6,
(3)•=((x))=(x)+3=x/4+3,
(4)•=((x))=(x)/4=2x/4=x/2,
(5)••=•(•)=•+3=2x/4+3=x/2+3.
4.
(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f
(2))
=P(3,2)∧P(2,3)
=1∧0
=0.
(2)xyP(y,x)=x(P(2,x)∨P(3,x))
=(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3))
=(0∨1)∧(0∨1)
=1∧1
=1.
5.
(1)
(2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1.
(3)B无上界,无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.G=(P→Q)∨(Q∧(P→R))
=(P∨Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=(3,4,5,6,7).
7.G=(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)
=(xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)
=(xP(x)∧yQ(y))∨xR(x)
=(xP(x)∧yQ(y))∨zR(z)
=xyz((P(x)∧Q(y))∨R(z))
9.
(1)r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)},
s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)},
t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)};
(2)关系图:
11.G=(P∧Q)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m7∨m3
=(3,6,7)
H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))
=(P∧Q)∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m3∨m7
=(3,6,7)
G,H的主析取式相同,所以G=H.
13.
(1)
(2)R•S={(a,b),(c,d)},
R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)},
R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)},
S-1•R-1={(b,a),(d,c)}.
四证明题
1.证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
(1)P∨RP
(2)R→PQ
(1)
(3)P→QP
(4)R→QQ
(2)(3)
(5)Q→RQ(4)
(6)R→SP
(7)Q→SQ(5)(6)
(8)Q∨SQ(7)
2.证明:
(A-B)-C=(A∩~B)∩~C
=A∩(~B∩~C)
=A∩~(B∪C)
=A-(B∪C)
3.证明:
{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D
(1)AD(附加)
(2)A∨BP
(3)BQ
(1)
(2)
(4)C→BP
(5)B→CQ(4)
(6)CQ(3)(5)
(7)C→DP
(8)DQ(6)(7)
(9)A→DD
(1)(8)
所以{A∨B,C→B,C→D}蕴涵A→D.
5.证明:
A-(A∩B)
=A∩~(A∩B)
=A∩(~A∪~B)
=(A∩~A)∪(A∩~B)
=∪(A∩~B)
=(A∩~B)
=A-B
而(A∪B)-B
=(A∪B)∩~B
=(A∩~B)∪(B∩~B)
=(A∩~B)∪
=A-B
所以:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.