摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，B是错误的．
考点二 功的计算
1．恒力做的功：
直接用W＝Flcosα计算．
2．合外力做的功
方法一：
先求合外力F合，再用W合＝F合lcosα求功．
方法二：
先求各个力做的功W1、W2、W3、……，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合外力做的功．
3．变力做的功
（1）应用动能定理求解．
（2）应用W＝Pt求解，此法适用于变力的功率P不变．
（3）将变力做功转化为恒力做功，此法适用于力的大小不变，方向与运动方向相同或相反，或力的方向不变，大小随位移均匀变化的情况．
例2
一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图5甲和乙所示，规定初速度的方向为正方向．求：
图5
（1）在第1秒内、第2秒内力F对滑块做的功W1、W2；
（2）前两秒内力F的总功WF及滑块所受合力的功W.
解析
（1）第1秒内滑块的位移为l1＝0.5m，第2秒内滑块的位移为l2＝－0.5m.
由W＝Flcosα可得，W1＝0.5J
W2＝－1.5J.
（2）前2秒内力F的总功WF＝W1＋W2＝－1J.
由动能定理可求合力的功W＝mv－mv＝0.
答案
（1）0.5J －1.5J
（2）－1J 0
突破训练2
一质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，在t0时刻撤去力F，其v－t图象如图6所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则下列关于力F的大小和力F做功W的大小关系式正确的是（ ）
图6
A．F＝μmgB．F＝2μmg
C．W＝μmgv0t0D．W＝μmgv0t0
答案 D
解析 在t0时刻前，F－μmg＝m，在t0时刻以后，－μmg＝－m，由以上两式可得F＝3μmg，因此选项A、B均不正确；在0至t0时间内，W－μmg·v0t0＝mv，在t0至3t0时间内，－μmg·v0（2t0）＝－mv，因此力F做的功为W＝μmgv0t0，选项C错误，选项D正确．
考点三 功率的计算
公式P＝和P＝Fv的区别：
（1）P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式．
（2）平均功率的计算方法
①利用＝.
②利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度．
（3）瞬时功率的计算方法
①利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度．
②P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
③P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
例3
质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图7所示，力的方向保持不变，则（ ）
图7
A．3t0时刻的瞬时功率为
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
解析 2t0时刻速度大小v2＝a1·2t0＝t0.3t0时刻的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝·2t0＋·t0＝，3t0时刻力F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝，A错，B对；0～3t0时间段，水平力对物体做功W＝F0x1＋3F0x2＝F0×·（2t0）2＋3F0·t0＝，平均功率P＝＝，C错，D对．
答案 BD
求力做功的功率时应注意的问题
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率，对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率．
（2）求功率大小时要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响．
（3）用P＝Fcosα求平均功率时，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率．
突破训练3
一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，则整个过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为
C．重物的最大速度为v2＝
D．重物做匀加速直线运动的时间为
答案 B
解析 起重机达到最大功率后，钢绳的拉力逐渐减小，所以匀加速运动过程的拉力为最大拉力，F1＝，A正确，B错误；达到最大速度v2时，拉力F2＝mg，所以v2＝＝，C正确；重物做匀加速运动的加速度a＝＝＝－g，匀加速运动时间t1＝＝，D正确．
21.机车的两种启动模型的分析
1．模型综述
物体在牵引力（受功率和速度制约）作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2．模型特征
（1）以恒定功率启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图8所示：
图8
（2）以恒定加速度启动的方式：
①动态过程：
②这一过程的速度—时间图象如图9所示：
图9
深化拓展 无论哪种启动方式，机车最终的最大速度都应满足：
vm＝，且以这个速度做匀速直线运动．
例4
如图10甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103kg的汽车，正以10m/s的速度向右匀速行驶，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图象如图乙所示，在t＝20s时汽车到达C点，运动过程中汽车发动机的输出功率保持不变．假设汽车在AB路段上运动时所受的恒定阻力（含地面摩擦力和空气阻力等）Ff1＝2000N．（解题时将汽车看成质点）求：
图10
（1）运动过程中汽车发动机的输出功率P；
（2）汽车速度减至8m/s时的加速度a的大小；
（3）BC路段的长度．
答案
（1）20kW
（2）0.75m/s2 （3）93.75m
解析
（1）汽车在AB路段时牵引力和阻力相等，则
F1＝Ff1，输出功率P＝F1v1
解得P＝20kW
（2）t＝15s后汽车处于匀速运动状态，有
F2＝Ff2，P＝F2v2，则Ff2＝
解得Ff2＝4000N
v＝8m/s时汽车在做减速运动，有
Ff2－F＝ma，F＝
解得a＝0.75m/s2
（3）对BC段由动能定理得
Pt－Ff2x＝mv－mv
解得x＝93.75m
分析机车启动问题时的注意事项
（1）在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力．
（2）恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算（因为F是变力）；
（3）以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算（因为功率P是变化的）．
高考题组
1．（2013·全国新课标Ⅰ·21）2012年11月，“歼15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功．图11（a）为利用阻拦系统让舰载机在飞行甲板上快速停止的原理示意图．飞机着舰并成功钩住阻拦索后，飞机的动力系统立即关闭．阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在甲板上短距离滑行后停止．某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在t＝0.4s时恰好钩住阻拦索中间位置，其着舰到停止的速度—时间图线如图（b）所示．假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为1000m．已知航母始终静止，重力加速度的大小为g.则（ ）
图11
A．从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时的
B．在0.4s～2.5s时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化
C．在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过2.5g
D．在0.4s～2.5s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变
答案 AC
解析 速度时间图线与时间轴所围的面积表示飞机的位移大小，由题图（b）知，位移大小约为x＝70×0.4m＋×2.6m＝119m，约为无阻拦索时的，A正确．在0.4s～2.5s时间内，飞机所受阻拦索的张力的合力几乎不变，但由于两力方向的变化，阻拦索的张力要逐渐减小，B错误．该段时间内加速度约为a＝m/s2≈27.6m/s2>2.5g，C正确．在0.4s～2.5s时间内，阻拦系统对飞机做功的功率P＝F合·v，随着v的减小，功率P减小，D错误．
2．（2012·江苏单科·3）如图12所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力F作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是（ ）
图12
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
答案 A
解析 小球速率恒定，由动能定理知：
拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A项正确．
模拟题组
3．设匀速行驶的汽车的发动机保持功率不变，则下列说法正确的是（ ）
①路面越粗糙，汽车行驶越慢
②路面越粗糙，汽车行驶越快
③在同一路面，汽车不载货比载货时行驶得快
④在同一路面，汽车不载货比载货时行驶得慢
A．①④B．②③C．②④D．①③
答案 D
4．动车组列车（如图13所示）是由几节自带动力的车厢（动车）加几节不带动力的车厢（拖车）编成一组，它将动力装置分散安装置在多节车厢上．在某次试运行中共有4节动车和4节拖车组成动车组，每节动车可以提供Pe＝750kW的额定功率，每节车厢平均质量为m＝20t．该次试运行开始时动车组先以恒定加速度a＝0.5m/s2启动做直线运动，达到额定功率后再做变加速直线运动，总共经过550s的时间加速后，动车组便开始以最大速度vm＝270km/h匀速行驶．设每节动车在行驶中的功率相同，行驶过程中每节车厢所受阻力相同且恒定．求：
图13
（1）动车组在匀加速阶段的牵引力大小；
（2）动车组在整个加速过程中每节动车的平均功率；
（3）动车组在整个加速过程中所通过的路程（计算结果保留两位有效数字）．
答案
（1）1.2×105N
（2）715.9kW （3）28km
解析
（1）设动车组在运动中所受阻力为Ff，动车组的牵引力为F，
动车组以最大速度匀速运动时，F＝Ff
动车组总功率P＝Fvm＝Ffvm，P＝4Pe
解得Ff＝4×104N
设动车组在匀加速阶段所提供的牵引力为F′，
由牛顿第二定律有F′－Ff＝8ma
解得F′＝1.2×105N
（2）设动车组在匀加速阶段所能达到的最大速度为v，匀加速运动的时间为t1，
由P＝F′·v，解得v＝25m/s
由运动学公式v＝at1，解得t1＝50s
动车非匀加速运动的时间t2＝t－t1＝500s
动车组在加速过程中每节动车的平均功率
＝＝
代入数据解得＝715.9kW（或约为716kW）
（3）设动车组在加速过程中所通过的路程为s，由动能定理
×4Pet1＋4Pet2－Ffs＝×8mv－0
解得s≈28km
（限时：
30分钟）
►题组1 关于做功的判断
1．如图1所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中（ ）
图1
A．斜面对小球的支持力做功
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
答案 C
解析 斜面的支持力、绳的张力总是与小球的运动方向垂直，故不做功，A错，C对；摩擦力总与速度方向相反，做负功；小球在重力方向上有位移，因而重力对小球做功，B错；小球动能的变化量等于合外力做的功，即重力与摩擦力做功的和，D错．
2．如图2所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（ ）
图2
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B不做功
答案 CD
解析 A、B一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，设斜面倾角为θ，则加速度为gsinθ.由于A速度增大，由动能定理，A所受的合外力对A做正功，B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，选项A、B错误，C正确．A对B不做功，选项D正确．
3．一物体在粗糙的水平面上滑行．从某时刻起，对该物体再施加一水平恒力F，运动了一段时间，（ ）
A．如果物体改做匀速运动，则力F一定对物体做正功
B．如果物体改做匀加速直线运动，则力F一定对物体做正功
C．如果物体仍做匀减速运动，则力F一定对物体做负功
D．如果物体改做曲线运动，则力F一定对物体不做功
答案 AB
解析 物体在粗糙的水平面上做匀减速直线运动．施加一水平恒力F后，如果物体改做匀速运动，则力F一定与摩擦力等大、反向，与物体运动方向相同，对物体做正功，A正确；如果物体改做匀加速直线运动，则力F一定与物体运动方向相同，且大于摩擦力，力F对物体做正功，B正确；如果物体仍做匀减速运动，则力F可能与物体运动方向相同，但大小小于摩擦力，对物体做正功，也可能与物体运动方向相反，对物体做负功，C错误；只要物体受力F与物体运动方向不共线，物体就做曲线运动，力F与速度的夹角既可以是锐角也可以是钝角，还可以是直角，各种做功情况都有可能，D错误．
4．如图3甲所示，静止在水平地面上的物块A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系图象如图乙所示；设物块与地面间的静摩擦力最大值Ffm与滑动摩擦力大小相等，则（ ）
图3
A．0～t1时间内F的功率逐渐增大
B．t2时刻物块A的加速度最大
C．t3时刻物块A的动能最大
D．t1～t3时间内F对物块先做正功后做负功
答案 BC
解析 当拉力小于最大静摩擦力时，物块静止不动，静摩擦力与拉力二力平衡，当拉力大于最大静摩擦力时，物块开始加速，当拉力重新小于最大静摩擦力时，物块由于惯性继续减速运动．t1时刻前，拉力小于最大静摩擦力，物块静止不动，静摩擦力与拉力二力平衡，合力为零，力F的功率为零，故A错误；t1～t2，合力向前，物块做加速度增大的加速运动，t2时刻物块A的加速度最大，故B正确；t3时刻之后合力向后，物块由于惯性减速前进，故t3时刻A的速度最大，动能最大，C正确；t1～t3时间内物块速度一直增大，动能一直增大，F对物块A始终做正功，D错误；故选B、C.
►题组2 关于功和功率的计算
5．用一水平拉力使质量为m的物体从静止开始沿粗糙的水平面运动，物体的v－t图象如图4所示．下列表述正确的是（ ）
图4
A．在0～t1时间内拉力逐渐减小
B．在0～t1时间内物体做曲线运动
C．在t1～t2时间内拉力的功率不为零
D．在t1～t2时间内合外力做功为mv2
答案 AC
解析 由F－μmg＝ma及P＝Fv知0～t1时间内拉力F逐渐减小，物体做直线运动，A正确，B错误；在t1～t2时间内，F＝μmg，F合＝0，故C正确，D错误．
6．质量为1kg的物体静止于光滑水平面上，t＝0时刻起，物体受到向右的水平拉力F作用，第1s内F＝2N，第2s内F＝1N．下列判断正确的是（ ）
A．2s末物体的速度为4m/s
B．2s内物体的位移为3m
C．第1s末拉力的瞬时功率最大
D．第2s末拉力的瞬时功率最大
答案 C
解析 由牛顿第二定律知第1s内物体的加速度大小为2m/s2，第2s内的加速度大小为1m/s2，则第1s末物体的速度大小为v1＝a1t1＝2m/s，第2s末物体的速度大小为v2＝v1＋a2t2＝3m/s，选项A错误；2s内物体的位移为x＝a1t＋（v1t2＋a2t）＝3.5m，选项B错误；第1s末拉力的瞬时功率为P1＝F1v1＝4W，第2s末拉力的瞬时功率为P2＝F2v2＝3W，选项C正确，选项D错误．
7．如图5所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中，下列说法不正确的是（ ）
图5
A．木板对小物块做功为mv2
B．摩擦力对小物块做功为mgLsinα
C．支持力对小物块做功为mgLsinα
D．滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsinα
答案 B
解析 在抬高A端的过程
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