专升本高数高数300题二.docx

专升本高数高数300题二.docx

《专升本高数高数300题二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本高数高数300题二.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专升本高数高数300题二

考点19.利用拉格朗日中值定理证明连体不等式

102、试证：

当a>b>Q,77〉1时，nbnl（a-b）

证明：

构造函数/（x）=xm（z?

>i）.,显然函数在竹,用上连续且可导，满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在》vgv。

使得/理/的^条a件

即an-bn=喚'0-b\bvgv°）,又因为nbnl（a-b）<喚'（a-b）

故nbnl（a-b）

103.当x〉0时，证明：

不等式%

证明：

构造函数f（x）=ex,则/'（%）=ex,当x〉0时，函数/（x）在区间[0,x]±连续且

可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，

所以，/（x）-/（0）=（0vgvx）,即ex-l=e^x,（0<^

而x

ax11

证明：

构造函数/（%）=——，它在区间——L内连续且可导，由拉格朗日中值定理知,

（77+1）In（2n

x

105.证明：

当x〉0时，

x+1

证明：

构造函数/（x）=ln（x+l）,它在区间[0,x]（x>0）内连续且可导，由拉格朗日中值

定理知，至少存在g&（0,x）,使得/（x）-/（0）=即有

106.试证：

当a>b>0,n>1时，nbnl（a-b）

证明：

构造函数f（x）=x"（n>1），显然函数在［b,a］上连续且可导，满足拉格朗日定理的条

件，从而存在b

即a"-b"="X"-1（a-b）（b

又因为"b"-1（a—b）<"X"-1（a—b）<"a"-1（a—b）,

故nb"-1（a-b）

2-1

解：

y=3x3<0Ax<0n（-¥,0）.

x2

108.函数f（x）=的单调递增区间为

1+x

答案：

（-¥,-2）和（0,+¥）

解：

函数的定义域为（-¥,-1）O（-1,+¥）,

又f'（x）=2x（1+x）-xx=矣=x（2+x）,令f'（x）>0nx>0或x<-2.故单调增（1+x）2（1+x）2（1+x）2

加区间为（-¥,-2）和（0,+¥）

109.求曲线y=x3-3x+2单调区间和极值。

解：

函数的定义域为（-¥,+¥）,y'=3x2-3=3（x+1）（x-1）.

令y'=0，可得驻点x1=1,x2=-1,

列表：

x

（-¥,-1）

-1

（-1,1）

1

（1,+¥）

y，

+

0

—

0

+

y

4

0

K

由此可知：

函数在区间（-¥,-1）和（1,+¥）上单调递增，在区间（-1,1）上单调递减;在x=-1处取得极大值4,在x=1处取得极小值0.

110.曲线f（x）=ax3+bx2+x在x=1取得极大值5,求f（x）的极小值。

解：

f'（x）=3ax2+2bx+1,

b=13

函数在x=1处取得极大值可得：

f

（1）=5,ff

（1）=0,即〈

f（x）=-9x3+13x2+x,f'（x）=-27x2+26x+1=（27x+1）（-x+1）.

令f'（x）=0，可得驻点x1=1,x2=—為,

列表：

x

[-¥,-土[

1

27

（-

1

（1,+¥）

y'

—

0

+

0

—

y

41

2187

5

141

由此可知：

函数的极小值为f（-狞=沂

考点21.求函数的极值或极值点

111.下列说法正确的是

A.函数的极值点一定是函数的驻点

B.函数的驻点一定是函数的极值点

C.二阶导数非零的驻点一定是极值点

D.以上说法都不对

解：

根据驻点和极值点关系知，A、B均不正确，C二阶导数非零也有可能二阶不可导，并非一定大于0或小于0,如函数f（x）=3x5,x=0是驻点，二阶导数也非零，但不是极值点.

应选D.

112.若函数f（x）在区间（a,b）内连续，在点x0处不可导，x0e（a,b），贝U（）

C、x0不是f（x）的极值点D、x0可能是f（x）的极值点

答案：

D

解：

根据极值点的定义可知：

极值点是驻点或者是不可导点，所以不可导的点可能是极值点.故选D113.若f（x）和g（x）在x=x0都取得极小值，则函数f（x）+g（x）在x=x0处

A.必取得极小值B.必取得极大值

C.不可能取得极值D.可能取极大值，也可能取极小值

解：

在x0的某去心邻域内有f（x）+g（x）>f（x0）+g（x0），应选A.

x3

114.已知函数f（x）=（X顶，讨论其单调性及极值.

解：

函数f（x）的定义域为x丰1，且f‘（x）=在定义域内都有意义.

令f'（x）=0得驻点x=0，x=3，它们把定义域分成四个区间，列表如下:

x

（-¥,0）

0

（0,1）

（1,3）

3

（3,+¥）

f'（x）符号

+

0

+

—

0

+

f（x）的

0

27

4

所以函数f（x）单调减区间为（1,3），单调增区间为（-¥,1），（3,+¥）.

27

在x=3时取得极小值f（3）=—，无极大值.

115..设曲线f（x）=ax3+bx2+x在x=1取得极大值5，求f（x）的极小值

a=-9

b=13

解：

f'（x）=3ax2+2bx+1,

函数在x=1处取得极大值可得：

f

（1）=5,f'

（1）=0,即〈

f（x）=-9x3+13x2+x,ff（x）=-27x2+26x+1=（27x+1）（-x+1）.

列表:

令f'（x）=0，可得驻点x】=1，x2=-為

x

h-土[

1

27

（-

1

（1,+¥）

y，

—

0

+

0

—

y

41

2187

5

141

由此可知：

函数的极小值为f（——）=

272187

考点22.利用函数的单调性证明单体不等式.

nx3x2

116.证明：

当0

262

x3x2x2

证明：

构造函数f（x）=+1-cosx，则f'（x）=x+sinx，

622

fff（x）=x-1+cosx,ffff（x）=1-sinx,

n

因为fm（x）=1-sinx>0，所以f"（x）在0

71

2

71

2

时,

时,

71

2

时,

7?

/ff（x）>/"（0）=0,故/'（X）在Ovxv兰内也是增函数,

2

ff（x）>广（0）=0,故/（X）在0VXV兰内也是增函数，

2

x3x2

艮卩有cosXV1成立.

62

/（X）>/（0）=0,

]71

117.当x〉0时，arctanx+—>—

x2

171

证明：

构造函数f（x）=arctanx+

x2

-1

（l+x2）x2

它的定义域为（-8,O）U（O,+8）,

则

所以函数/（x）在（0,+

<0,

所以当+GO>x>0时,

s）内是减函数，而lim/（x）=0,

，/（+00）1血/（x）=0.

XT+3

故，当x〉0时，arctanx+—>—.

171

x2

118.当x〉0时，（l+x）e_2x>l-x

证明：

4/（x）=（l+x>-2x-（l-x）,则/（x）=-（1+2x>-2x+L/ff（x）=4xe2x,当x〉0时，有/ff（x）=4xe2x>0,所以/'（X）是增函数，从而有/'（X）>广（0）二0，故/（X）也是增函数，即有/（X）>/（0）=0.

所以当x〉0时，（1+x）e~2x>1-x成立.

119.证明：

当1〉x〉0时，21n（l+x）+ln2（l+x）v2x

2

证明：

令/（%）=2%-2ln（l+x）-In2（1+x）,则f\x）=[x-ln（l+x）],

1+x

1V

再令g（x）=X—ln（l+x）,有g'（x）=l=〉0,

1+x1+x

所以g（x）在1〉X〉0内是增函数，所以g（x）>g（0）=0；

故尸（x）二筌01〉o,所以/（x）在1>%>0内是增函数，即有/（%）>/（0）=0,1+x

所以当1〉x〉0时，21n（l+x）+ln2（l+x）v2x.

120.证明：

当x〉0时，（l+x）ln（l+x）>arctanx

证明：

构造函数f（x）=（1+x）ln（l+x）-arctanx

则/'（X）=1+ln（l+X）r>0,

1+x

所以/（X）在[0,+8）内为增函数，而/（0）=0,

故，当x〉0时，/（%）>/（0）=0,即有（1+x）ln（l+x）>arctanx成立考点23.求曲线的凹凸区间.

121.

（5）

—,+00

u丿

函数/（x）=x3-5x2+3x+5的凹区间为解：

/'（%）=3x2-10x+3n/"（x）=6x-10>0^>x>j^>

122.求函数y=ln（x2+1）的凹凸区间

2x-2x2+2

解：

函数f（x）的定义域为（-¥,+¥）.又f'（x）=-2^-，所以f"（x）=——宀

1+x2（1+x2）2

令f"（x）=0,可得x=1或-1.令f"（x）>0,有-11或x<-1.

因此（-¥,-1）和（1,+¥）是函数的凸区间，（-1,1）是函数的凹区间

123.设f,（x）=（x-3）（x+1），xG（—¥,+¥），则曲线在区间（3,+¥）内（）

A.单调增加且是凹的B.单调减少且是凹的

C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凸的

解：

在（3,+¥）内f'（x）>0恒成立，因此曲线在（3,+¥）内单调增加；在（3,+¥）内f"（x）=2x-2>0，因此曲线是凹函数，选A.

124.函数y=1x2-ex的凹区间为（）

A.（-¥,0）B.（0,+¥）C.（-¥,+¥）D.（-¥,1）

解：

该函数的定义域为（-¥,+¥），y'=x-ex，y"=1-ex;令y">0，可知x<0，即xg（-¥,0），选A.

考点24.求曲线的拐点坐标

乂2

125.曲线y=—e"的拐点坐标为.

答案：

（0,-1）

解：

y'=x-ex，y"=1-ex，令y"=0nx=0，此时y=-1.当x>0时，y"<0；当x<0时，y〃>0.故（0,-1）是曲线的拐点.

126.设函数y=f（x）在区间（a,b）内有二阶导数，则点（c,f（c））（a

的拐点的充分条件为（）

A、f〃（c）=0B、f〃（x）在（a,b）内单调增加

C、f〃（c）=0，f〃（x）在（a,b）内单调增加D、f〃（x）在（a,b）内单调减少

答案：

C

解：

根据拐点定义知，在点左右两侧二阶导数异号即为拐点的横坐标，只有C能得到点（c,f（c））是拐点.应选C.

127.曲线y=x3+5x—2的拐点是（）

答案：

B解：

y〃=6x,令y〃=0，可得x=0，此时y=-2.经判断可知该点是曲线的拐点.故选B.

考点25.函数极值，最值，单调性,凹向性，拐点结合综合题

128.函数f（x）=x-3x3的极值点的个数为

-13/x-1

解：

f，（x）=1-x3=Y厂，令f，（x）=0，可得x=1，x=0是导数不存在的点。

显然

在这两点两侧导数都是异号，故都是极值点，选C.

129.点（0,1）为曲线y=axi+bx2+c的拐点，则有

B.

Aa=1,b=-3,c=1

a为任意不等于零的值,b=0，c=1

C.a=1,b=0,c为任意值D.a,Z>为任意值，c=1

解：

点（0,1）在曲线上，且在点x=0处的二阶导数为零，nc=1,f"（0）=6a-0+2b=0.因此匕c=1,b=0.选B

130.若在区间［-1,1］上有f'（x）=（x-1）2，则曲线f（x）在区间［-1,1］内是（）

A.单调减少且是凸函数B.单调减少且是凹函数

C.单调增加且是凹函数D.单调增加且是凸函数

解：

f'（x）>0恒成立，所以在区间［-1,1］内是单调增加的.f"（x）=2（x-1）在区间［-1,1］内是恒小于0的，也就是说在该区间上是凸函数.选D

131.设函数f（x）满足f'（x）=3-ex，若f'（x0）=0，则有（）

A.f（x0）是f（x）的极大值B.f（x0）是f（x）的极小值

C.（x0,f（x0））是曲线f（x）的拐点

D.f（x0）不是f（x）的极值，（x0,f（x0））也不是是曲线f（x）的拐点

解：

f'（x）=3-e*nf"（x）=-exnf"（x0）<0.由极值的第二充分条件可知，为极大值点。

选A.

132.设函数y=f（x）在区间（a,b）内有二阶导数，则点（c,f（c））（a

A.f"（c）=0B.f"（x）在（a,b）内单调增加

C.f"（c）=0,f"（x）在（a,b）内单调增加D.f"（x）在（a,b）内单调减少

解：

根据拐点定义知，在点左右两侧二阶导数异号即为拐点的横坐标，只有C能得到点（c,f（c））是拐点.应选C

考点26.求函数某种形式的渐近线

133.函数j=1+ln（1+e）

x

A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线

C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线

1.2x+12x+11.2x+1

lim=lim=¥，lim—

x®_4x2+3x—4x®_4（x+4）（x—1）：

“，一

所以x=1，x=_4是垂直渐近线，选B.

135.函数j=丄+ln（1+ex）

x

A.仅有水平渐近线

C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线

（）

B.仅有垂直渐近线.

D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线.

解:

因limj=lim

x®—¥x®—¥

1+ln（1+ex）

x

=0，所以有水平渐近线j=0；

又因limj=lim—+ln（1+ex）x®0x®0x

136.下列曲线有垂直渐近线的是

A.j=

x2—3x—4

x+1

C.

1+x2

（）

1

B.j=ex

D.j=ln（1+x2）

x2—3x—4

解：

垂直渐近线就是找函数没有意义的点，只可能是A或者B,而丿=中x=1不

x+1

1

是垂直渐近线，只有lime=¥.因此选B.

x®0+

4x—1

137.曲线丿=工4（）

（x-1）2

A.只有垂直渐近线B.只有水平渐近线

C.既有垂直又有水平渐近线D.既无垂直又无水平渐近线

4x—14x—1

解：

lim=0ny=0是水平渐近线；lim2=snx=1是垂直渐近线。

选

x（x—1））x®1（x—1））

C.

考点27.一元函数最值的实际应用问题

138.某工厂销售某产品需做两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x和y（单位：

千元）,销售量是x和y的函数

Q=200x,100y

Q—I，

5+x10+y

若销售产品所得的利润是销售量的1减去总的广告费，两种方式的广告费共25（单位:

5

千元）.问应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大？

最大利润是多少？

解：

根据题意可知，利润函数为

L（x,y）=1Q—25=-4^+-—25,（25>x>0,25>y>0）；

55+x10+y

而有约束条件x+y=25，代入得利润函数为

问题就转化为一元函数的最值问题.

令L‘（x）=160°0（15-x）2=0得唯一驻点x=15，且是定义域内唯一可能的极值点,（5+x）2（35—x）2

在该点两侧L'（x）左正右负，从而x=15是极大值点，即为最大值点.

此时y=10,最大利润为L（15,10）=+史％10—25=15.

5+1510+10

故当两种宣传方式的广告费分别为15千元和10千元时，其利润最大，最大利润是15千元.

139.由曲线y=0,x=8,y=x?

围成曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点，过此点作

y=x2的切线，使该切线与直线段OA、AB所围成的三角形面积为最大.

解：

如图所示，

设切点为（x0,x02），则k=y'I==2x0，

x=x0

切线方程为y—x°2=2x。

（x—x。

），

即y=2x°x—x。

2.

该切线与x轴的交点为（驾,0），与x=8的交点为（8,16x°—x°2）.

1xx3

围成的三角形面积S=--（8—）-（16x°—x°2）=—8x°2+64x°（0

q2

令S'=,—16x0+64=0，解得定义域内唯一可能的极值点x0=?

，

故x0=号是面积的最大值点.此时y0=256

故所求点切点坐标为（?

罗）时，所围成的三角形面积最大

140.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是

400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）元,

求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

解：

L（x,y）表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

利润目标函数L（x,y）=（10x+9y）—[400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y，）]

=8x+6y—0.01（3x2+xy+3y2）—400,（x>0,y>0），

解得唯一驻点（120,80）.

'L:

=8—0.01（6x+y）=0Ly=6—0.01（x+6y）=0，

又因A=L"=—0.06<0,B=L"=—0.01,C=L=—0.06，得

AC—B2=3.5x10—3>0.

由定理知：

当x=120,y=80时，L（120,80）=320是极大值.而利润函数的定义域是开区域，即为最大值.

故生产120单位产品甲与80单位产品乙时，所得利润最大.

141.某厂生产电视机x台的成本C（x）=500+250x-0.01x2，销售收益是

R（x）=400x-0.02x2，如果生产的所有电视机都能售出，问应生产多少台，才能获得最大利润？

解：

由题意，利润函数为：

L（x）=R（x）-C（x）=（400-0.02x2）-（500+250x-0.01x2）=150x-0.01x2-500，

而L'（x）=150-0.02x，令L'（x）=0，可得驻点x=7500，此时L"（x）<0，从而x=7500

是最大值点.

故当生产7500台电视机时，该厂能获得最大利润.

142.将一长为a的铁丝切成两段，并将其中的一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形和圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？

解：

设围成圆形的铁丝的长为x,则围成正方形的铁丝的长为a-x，

于是两图形的面积之和为s=竺+（口）2=丈+（a二立，

4p2X44p16

因为Sf=-+-一x（-1），令Sf=0，可得x=na，此时有Sff>0.因此x=na2p84+p4+p

就是最小值点.

p4

所以当围成圆形的铁丝长为——a，围成正方形的铁丝长为——a时，两图形的面

4+p4+p

积之和最小.

考点28.涉及原函数与不定积分的关系，不定积分的性质的题目.

143.设不定积分=F（x）+C，则函数F（x）=（）

A1111

A.B.TC.—D.——

xxxx

解：

根据已知条件知：

F（x）为-+的一个原函数，又j]-—k=1+C，

所以F（x）=1.选C.

144..若函数f（x）满足df（x）=-sinxecosxdx，且f（0）=0，贝Uf（x）为

（）

A.ecosx-1B.esin