专升本高数高数300题二.docx

1、专升本高数高数300题二考点19 .利用拉格朗日中值定理证明连体不等式102、 试证：当 ab Q , 771 时，nbnl (a-b)an -bn i).,显然函数在竹,用上连续且可导，满足拉格朗日中值定 理的条件，从而存在vg v。使得/理/的条a件即 an-bn =喚0-bb v g v ),又因为nbn l(a-b) 喚(a-b) nan l0-幻，故nbn l(a-b)an-bn nan l(a-幻103.当x0时，证明：不等式%ex-lxex证明：构造函数f (x) = ex,则/(%) = ex,当x0时，函数/(x)在区间0,x 连续且可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以，

2、/(x)-/(0) = (0 vg v x),即 ex -l = ex,(0x).而 xexxex ,故当当x0 时，x ex -1 xexax 1 1证明：构造函数/(%) = ，它在区间 L 内连续且可导，由拉格朗日中值定理知,(77 + 1) In (2 nx105.证明：当 x0 时， ln(x + l) 0)内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在g&(0,x),使得/(x)-/(0) = 即有106.试证：当 ab0,n 1 时，nbnl (a-b) an -bn 1)，显然函数在b,a上连续且可导，满足拉格朗日定理的条件，从而存在 b X a 使得 f (a) - f (b)

3、 = X T (a - b)即 a - b = X -1 (a - b) (b X a)又因为b -1 (a b ) X -1 (a b ) a-1 (a b ),故 nb -1 (a - b) a - b na -1 (a - b). 考点20.求函数的单调增区间或减区间 107.函数丿=寸X2的单调减区间为 2 -1解：y = 3 x 3 0 A x 0 n x 0或x f (x0) + g(x0 )，应选A.x3114.已知函数f (x) =(X 顶，讨论其单调性及极值.解：函数f (x)的定义域为x丰1，且f (x)=在定义域内都有意义.令f(x) = 0得驻点x = 0，x = 3，

4、它们把定义域分成四个区间，列表如下:x(- ,0 )0(0,1)(1,3)3(3, + )f (x)符号+0+0+f (x)的0274所以函数f (x)单调减区间为(1,3)，单调增区间为(-,1)，(3, +).27在x = 3时取得极小值f (3)=，无极大值.115.设曲线f (x) = ax3 + bx2 + x在x = 1取得极大值5，求f (x)的极小值a = - 9b = 13解：f (x) = 3ax2 + 2bx + 1 ,函数在x = 1处取得极大值可得：f(1) = 5 , f(1) = 0 ,即f (x) = -9x3 + 13x2 + x , f f(x) = -27

5、x2 + 26x +1 = (27x +1)(-x + 1).列表:令f (x) = 0，可得驻点x】=1， x2 =-為xh- 土 127(-1(1, + )y，0+0y41218751 41由此可知：函数的极小值为f()= 27 2187考点22.利用函数的单调性证明单体不等式.n x3 x2116.证明：当 0 x 时，cos x 0，所以f (x )在0 x /(0) = 0,故/(X)在Ovxv兰内也是增函数,2ff(x) 广(0) = 0,故/(X)在0VXV兰内也是增函数，2x3 x2艮卩有cos XV 1成立.6 2/(X) /(0) = 0 , 71117.当 x0 时，ar

6、ctanx + x 21 71证明：构造函数f(x) = arctanx + x 2-1(l + x2)x2它的定义域为(-8,O)U(O,+ 8),则所以函数/(x)在(0,+ x 0时,s)内是减函数，而lim /(x) = 0 ,，/(+00) 1血 /(x) = 0.XT+3故，当 x0 时，arctan x + .1 71x 2118.当x0 时，(l + x)e_2x l-x证明：4/(x) = (l + x-2x-(l-x),则 /(x) = -(1 + 2x-2x+L /ff(x) = 4xe 2x, 当x0时，有/ff(x) = 4xe2x 0 ,所以/(X)是增函数， 从而

7、有/(X)广(0) 二 0，故/(X)也是增函数，即有/(X) /(0) = 0.所以 当x0时，(1 + x)e2x 1 -x成立.119.证明：当 1x0 时，21n(l + x) + ln2(l + x) v 2x2证明：令 /(%) = 2% - 2 ln(l + x) - In2 (1 + x),则 fx) = x-ln(l + x),1 + x1 V再令g(x) = X ln(l + x),有g(x) = l = 0,1 + x 1 + x所以g(x)在1X0内是增函数，所以g(x) g(0) = 0 ；故尸(x)二筌01o,所以/(x)在1% 0内是增函数，即有/(%) /(0)

8、 = 0 , 1 + x所以 当 1x0 时，21n(l + x) + ln2(l + x) v 2x.120.证明：当 x0 时，(l + x)ln(l + x) arctanx证明：构造函数 f (x) = (1 + x) ln(l + x) - arctan x则 /(X)=1 + ln(l + X) r 0 ,1 + x所以/(X)在0,+8)内为增函数，而/(0) = 0 ,故，当 x0 时，/(%) /(0) = 0,即有(1 + x)ln(l + x) arctan x成立 考点23.求曲线的凹凸区间.121.(5 ),+00u丿函数/(x) = x3-5x2+3x + 5的凹区

9、间为 解：/(%) = 3x2 -10x + 3 n /(x) = 6x-100xj122.求函数y = ln(x2 + 1)的凹凸区间2 x -2 x2 + 2解：函数f (x)的定义域为(-, +).又f(x) = -2-，所以f (x)= 宀1 + x2 (1 + x 2) 2令 f(x) = 0 ,可得 x = 1或-1 .令 f(x) 0 ,有-1 x 1 ；令 f(x) 1 或x 0恒成立，因此曲线在(3, +)内单调增加；在(3, +)内 f(x) = 2x - 2 0，因此曲线是凹函数，选A.124. 函数y = 1 x2 - ex的凹区间为 ( )A.(-, 0) B. (0

10、, + ) C. (-, + ) D. (-,1)解：该函数的定义域为(-, +)， y = x - e x， y = 1- ex;令y 0，可知x 0 时，y 0 ；当 x 0 .故(0,- 1)是曲线的拐点.126.设函数y = f (x)在区间(a,b)内有二阶导数，则点(c, f (c)(a c 为任意值，c = 1解：点(0,1)在曲线上，且在点x = 0处的二阶导数为零， n c = 1, f (0) = 6a - 0 + 2b = 0 .因此匕 c = 1, b = 0 .选 B130.若在区间-1,1上有f(x) = (x - 1) 2，则曲线f(x)在区间-1,1内是( )A

11、.单调减少且是凸函数 B.单调减少且是凹函数C.单调增加且是凹函数 D.单调增加且是凸函数解：f (x) 0恒成立，所以在区间-1,1内是单调增加的.f (x) = 2(x - 1)在区间-1,1内 是恒小于0的，也就是说在该区间上是凸函数.选D131.设函数 f (x)满足 f(x) = 3 - ex，若 f(x0 ) = 0，则有 ( )A. f (x0 )是f (x)的极大值 B. f (x0 )是f (x)的极小值C.(x0, f (x0 )是曲线f (x)的拐点D.f (x0 )不是f (x)的极值，(x0, f (x0 )也不是是曲线f (x)的拐点解：f(x) = 3 - e*

12、n f(x) = -exn f(x0 ) 0 .由极值的第二充分条件可知，为极大值 点。选A.132.设函数y = f (x)在区间(a , b)内有二阶导数，则点(c, f (c) (a c x 0,25 y 0)；5 5 + x 10 + y而有约束条件x + y = 25，代入得利润函数为问题就转化为一元函数的最值问题.令L(x) = 1600(15-x )2 = 0得唯一驻点x = 15，且是定义域内唯一可能的极值点, (5 + x)2(35 x) 2在该点两侧L(x)左正右负，从而x = 15是极大值点，即为最大值点.此时y = 10 ,最大利润为 L(15,10) = + 史10

13、25 = 15 .5 +15 10 + 10故当两种宣传方式的广告费分别为15千元和10千元时，其利润最大，最大利润是15 千元.139.由曲线y = 0, x = 8, y = x?围成曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点，过此点作y = x2的切线，使该切线与直线段OA、AB所围成的三角形面积为最大.解：如图所示，设切点为(x0, x0 2 )，则 k = y I = = 2 x0，x=x0切线方程为 y x2 = 2 x。(x x。)，即 y = 2 x x x。2 .该切线与x轴的交点为(驾,0)，与x = 8的 交点为(8,16 x x2).1 x x 3围成的三角形面积 S = -

14、 (8 ) - (16x x2) = 8x2 + 64x(0 0, y 0)，解得唯一驻点(120,80).L: = 8 0.01(6 x + y) = 0 L y = 6 0.01(x + 6 y) = 0，又因 A = L = 0.06 0 .由定理知：当x = 120, y = 80时，L(120,80) = 320是极大值.而利润函数的定义域是 开区域，即为最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时，所得利润最大.141.某厂生产电视机x台的成本C (x) = 500 + 250x - 0.01x2，销售收益是R(x) = 400x- 0.02x2，如果生产的所有电视机都能售出，

15、问应生产多少台，才能获得最大 利润？解：由题意，利润函数为：L(x) = R(x) - C (x) = (400 - 0.02x2) - (500 + 250x - 0.01x2) = 150x - 0.01x2 - 500，而 L(x) = 150 - 0.02x，令 L(x) = 0，可得驻点 x = 7500，此时 L(x) 0 .因此 x = n a 2p 8 4 + p 4 + p就是最小值点.p 4所以当围成圆形的铁丝长为 a，围成正方形的铁丝长为 a时，两图形的面4 + p 4 + p积之和最小.考点28.涉及原函数与不定积分的关系，不定积分的性质的题目.143.设不定积分 = F (x) + C，则函数 F (x)= ( )A 1 1 1 1A. B. T C. D.x x x x解：根据已知条件知：F(x)为-+的一个原函数，又j- k = 1 + C，所以F (x) = 1.选C.144.若函数 f (x)满 足 df (x) = - sin xecosxdx，且 f (0) = 0，贝U f (x)为( )A. ecosx-1 B. esin