初中图形与几何的内容分析与教法研究.docx
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初中图形与几何的内容分析与教法研究
第二节初中图形与几何的内容分析与教法研究
一、目标要求
1.了解角的有关概念及苴性质，平而两直线的位置关系，垂线的泄义、性质，平行线的性质及判泄立理；了解与三角形有关的线段（边、髙、中线、角平分线）：
了解三角形的内角和、外角和及三角形三边的关系：
了解全等三角形、等腰三角形、等边三角形及相似三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判泄方法：
体验勾股左理的探索过程，会运用勾股定理及逆定理解决简单问题.
2.了解锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值，并会正确地使用计算器求任意的三角函数值：
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，并会用它解决简单的实际问题.
3.探索并了解四边形及多边形的内角和与外角和公式，了解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形及正多边形的概念，了解它们之间的关系：
利用基本事实证明平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
4.了解圆及其有关概念，弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系；探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，切线的判左和性质，会计算弧长、扇形的而积，圆柱与圆锥的侧而积和全而积.
5.了解轴对称图形及中心对称图形，探索基本图形的对称性、平移、旋转、位似的相关性质，，能按要求作出简单平而图形的轴对称、中心对称、平移、旋转、位似等几何变换后的图形，并利用这些变换进行图案设计，会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判主简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握基本作图方法，了解尺规作图的步骤.
二、教材分析
（一）教材特点
1.图形与几何的内容
本节主要学习点、线、面、角、相交线、平行线、三角形、四边形与多边形、圆、视图与投影、图形与变换等内容•英中点、线、而、角、相交线、平行线是初中数学图形与几何领域的基础知识，图形与变换是新课标的重要内容，它包括图形的轴对称、平移、旋转、相似等内容：
图形与坐标中的平而直角坐标系、图形变换后点的坐标变化以及物理位置的确左等内容，属于基本知识、基本技能范畴：
图形与证明中的命题与逆命题、反例、反证法与综合法，平行线的性质与判左、三角形的内角和述理及其推论、全等三角形的判左与性质、直角三角形全等的判龙、角平分线和线段垂直平分线的性质定理及逆定理，三角形的内心、外心和中位线定理，特殊三角形的性质和判定左理，特殊平行四边形的性质和判左立理，圆的有关性质和定理的应用等内容是本节的核心内容。
这一节是前而小学学过知识的继续，在小学说理与推理的基础上，进一步学习一些最主要的推理论证方法，加强数学理性训练，初步提出了命题与证明，引导学生认识证明的意义和必要性，知道证明要合乎逻辑，而且要求知道证明的过程可以有不同的表达形式。
学会由基本事实出发，证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯是本节的能力要求•在内容的处理上，删繁就简，摒弃过于繁琐的不必要内容，降低推理论证的难度。
2.图形与几何教材编写特点
（1）加强与实际的联系，体现知识的形成和应用
在图形与几何教材中，紧密联系学生的生活实际，呈现大量学生熟知的现实对象，让学生通过观察、思考，从而从中抽取出英中的本质属性，再逐步抽象出有关概念和性质•体现数学来源于实际，同时又反映数学知识运用于实际的事例，通过解决实际问题，体现数学服务于实际.例如“相似三角形”中专门安排了一节"相似三角形应用举例”，以测量问题为例，体现“相似三角形”的知识在实际生活在中的作用.对于解直角三角形的内容，教材安排了载人航天飞船、热气球飞行，航海等具有实际背景的问题，反映了解宜角三角形应用的广泛性•因此，在图形与几何的教学中要强调它们的应用性，以培养学生的应用意识.
（2）加强教材的探究性，引导学生自主思考
本节的一些概念、性质、定理，教材大多是通过“留空”、“设问”，设置“观察”、“思考”、“讨论”、“探究”、“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探究活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动中发展创新思维能力，改变学生的学习方式.因此，教材设垃了一些新命题，让学生经历发现、探索、证明的全过程•教材还提供大量的机会引导学生对命题进行拓展、引申，进一步思考和证明更具一般性的命题和规律,感受到“抽象与推广”是数学的重要特征和思维方式•例如，在探索三角形全等的条件，不宜采用旧教材直接给出“SAS,ASA,SSS”等条件，而是让学生分别作出符合条件的三角形后，经过比较确认这几个条件来进行，或可以按照新教材来进行，提岀“已知两个三角形的哪些边或角的条件，就能保证这两个三角形全等”，“知道的条件能尽可能少吗？
”等问题，鼓励学生通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论.当然，也可以在提岀问题”要画出一个三角形和小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件”后放手让学生采取各自解决问题的方案，再全班进行交流，可用有公共端点的、可旋转并且可伸缩的两条木条从直观上来引导学生思考•总之，必须让学生充分地经历实践，探索和交流的活动，通过这个过程，让学生不仅得到了两个三角形全等的条件的有关知识，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验，教会学生自主学习知识的方法比单纯的知识点的教学更重要.
（3）加强实践操作，加大学生的思维空间
图形与几何学习的一个重要目标是发展学生的空间观念：
而空间观念的发展依赖于学生的实践操作活动•教材设计了一立的实践操作活动，让学生分组开展测疑、实验、平移、旋转、对称等实践操作活动，再通过同学间的相互交流，在实践操作活动中发展学生的空间观念和实践能力，有助于一些平而图形的性质、判左条件等几何事实的探索.例如，在学习特殊平行四边形的性质和判左时，充分利用了图形的变换，以菱形的性质为例，教材要求学生通过对折、剪纸等活动，发现菱形的轴对称性，然后利用菱形的轴对称性发现菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，且平分对角的性质，再对发现的性质进行证明：
通过旋转及对折把圆中的弦、呱，圆心角、圆周角等关系联系起来.这样就将实验几何和论证几何有机整合起来，让学生感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响，使实践活动真正成为发现证明思路的支持系统，为学生提供了广阔的活动空间.
（4）循序渐进地安排推理技能训练，培养有条理的论证能力
本节教材对于推理能力的培养有循序渐进的整体设计，即按照“说点理”、“说理”、“简单推理”、“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为后而正规练习证明作准备的•如在七年级下册中只要求学生知道什么是三角形的角平分线就可以了，学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯左这个结论，对这个结论的证明在后而学习“全等三角形”时再介绍•同样，三条角平分线交于一点的结论也可以直接点明，以后还会知道这个点是三角形的内心：
三角形的稳左性是通过实验得岀的，待以后学过“三边对应相等的两个三角形全等”，可进一步明白英中的道理•又如，相似要比全等复杂，锐角三角形函数要以相似三角形为基础，投影与视图不仅与平而图形相关，而且要涉及立体几何中的一些基础知识，其中包括空间中的直线与直线、直线与平面、平而与平而的位豊关系（相交、垂直、平行）；圆的有关知识与以往教材相比，强调直观感知和操作确认，在推理内容上有所删减，圆中的有关结论的得出，都不是通过严格的推理论证而是通过学生观察、操作、实验、说理等方法得岀，如圆周角与圆心角的关系，切线与过切点的半径等都是通过说理得到的.然而，要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的•为了解决这个难点，教科书做了一些努力.①.注意减缓坡度，循序渐进•开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化.这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进,每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容.②.在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提岀明确要求，便于教师掌握•如先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法•在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明.
（二）图形与几何的地位与作用
图形与几何部分的教学内容是义务教冇阶段数学课程的重要组成部分•其中点、线、而是构成几何图形最基本的元素，由点、线、而进一步派生出来的概念，如线段的大小、角的概念、角的大小、平行、垂直、对顶角、余角、补角、角平分线、线段的垂直平分线等，是描述几何图形各构成要素之间的数量关系和位置关系不可或缺的概念：
三角形是图形与几何领域最为核心、最为重要的内容之一，三角形是研究其他图形的工具和基础，学生在认识三角形的基础上，了解全等图形和全等三角形以后进行探索三角形全等的条件的学习，它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据•因此，具有承上启下的作用•相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊边的相等到一般的对应边的比相等予以深化，也为进一步学习三角函数打下良好的基础；四边形与多边形是三角形知识的拓展与深化，是学习圆等内容的基础：
圆是今后学习解析几何等知识的重要基础；图形的变换也是图形与几何领域中一块重要的内容，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化过程中发现图形不变的几何性质，它是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.空间和图形的学习，有利于学生认识、理解我们的生活空间和生存：
有利于学生形成空间观念，掌握必要的几何技能，提髙推理水平，让学生学会猜想，学会发现，培养学生的想象能力，创新能力，增强学生对数学学习的兴趣和自信心，促进学生全而、协调、和谐地发展.
（三）图形与几何的教学重点、难点和关键点.
1.教学重点
（1）使学生理解垂线、平行线、三角形、平行四边形、圆以及全等三角形、相似三角形的概念和性质，掌握用这些概念和性质对简单图形进行论证和讣算的方法：
了解关于轴对称、中心对称的概念和性质：
理解锐角三角函数的意义，会用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形.
（2）使学生会用直尺、圆规、刻度尺、三角尺、量角器等工具作和画几何图形.
（3）使学生通过具体模型，了解空间的直线与直线的平行与垂直关系，并会用展开图和面积公式计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.
（4）逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步
使学生掌握简单的推理方法，从而提髙学生的思维能力.
（5）通过辨认图形、画图和论证的教学，进一步培养学生的空间观念.
（6）通过揭示几何知识来源于实践又应用于实践的关系，以及几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育•利用有关的几何史料和社会主义建设成就，对学生进行思想教冇.通过论证与画图的教学，逐步培养学生严谨的科学态度,并使他们获得美的感受.
2.教学难点
（1）正确理解几何概念的内涵和意义.
（2）逐步深入学会说理，推理论证，形成严密的推理过程，正确理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式.
（3）注意一般图形与特殊图形、性质泄理与判怎泄理之间的联系与区别，并灵活它们解决实际问题.
（4）准确添加辅助线耙复杂的图形转化为简单的图形以解决问题.
（5）掌握几何作图的技能，形成良好的空间观念.
3.教学关键点
（1）正确理解“图形与几何”有关概念的含义和意义，掌握性质左理和判左左理的应用.
（2）培养学生图形与几何的兴趣，充分利用现实生活中的几何素材，向学生提供充分的数学活动和数学交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、基本的数学思想和方法.
（3）加强作图教学，重视对学生“几何观察力”的训练与发展.
（5）培养学生学会说理，循序渐进地引入推理论证内容，由简单到复杂，由模仿到独立操作逐步提髙.
（四）数学思想和方法
数学的思想方法是数学的精髓，在初中数学新大纲中已把它列入基础知识的范畴，因此在教学中适当渗透一些数学思想方法，对于开发学生智力，培养良好的思维品质是十分有益的.
1.
图2-2-1
渗透转化思想，构建知识网络
事物在一左条件下相互转化是最基本的唯物主义思想，可以及早让学生有所了解.
例1、如图2-2-1,等腰梯形ABCD中，AD〃BC,小明想知道ZB的度数，可是他手中只有一把刻度尺.当他测量得到AD二3cm,AB二4cm,BChcm时，他就一口说岀了ZB的度数.你知道小明是怎样计算的？
分析：
要求ZB的度数，因为梯形中不知道任何一个角的度数，故不能直接求角的度数,
图2-2-2
应把问题转化为特殊的三角形来解决.解法一
如图2-2-2,过A点作AE/7DC交BC于点E,TAE〃DC,AD/7BC
・•.四边形AECD是平行四边形.
.°.EC二AD二3,AE二DC二4,
.•.BE二4
TAB^BE二AE
•••△ABE是等边三角形.
•••ZB二60°
图2-2-3
解法二
如图2-2-3,ii点A作AE丄BC于E,DF丄BC于F,在Z\ABE和△!
）€/中，
〔ZAEB二ZDFC
ZB^ZC
AB=DC
•••AABE^ADCF
•:
BE=CF=丄（BC-AD）=1（7-3）=2
22
•••ZBAE二30°
•••ZB二60°
本题让学生构建了三角形.梯形、平行四边形的知识网络，让学生看到它们之间的内在联系，把梯形转化为三角形和平行四边形问题，加深了知识的理解和记忆.
2.渗透整体思想，优化解题过程
整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简,化难为易.
例如如图2-2-4,AEFC是AABC绕着点6"顺时针旋转60°得到的图形,ADBF是A4BC绕着点3逆时针旋转60°得到的图形.
（1）请你说明四边形AEFD是平行四边形.
（2）想一想，当AABC满足什么条件时，四边形AEFD是菱形，矩形？
（3）当AABC满足什么条件时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
分析：
因为图形比较复杂，解题时一左要从复杂的图形中抽岀一些简单和有特殊性的图形.根据AEFC、ADBF、AABC旋转变换关系，依据旋转变换特征，可以得到△ADB、△BCF、ZXACE都是等边三角形，再运用等边三角形的有关性质解决问题.
解：
（1）•••△EFC是AABC绕着点C顺时针旋转60°得到的图形
图2-2-4
ACE=CA,CF二CB,EF二AB,ZACE二60°同理可得：
DF=AC,BD二AB,BF二BC,ZABD二60°VCE=CA,ZACE二60°,BF二BC,ZABD=60°•••△ADB、AACE为等边三角形，
即AD=AB二BD,AC=AE=CE
•••EF二AB二AD,DF二AC二CE
・•.四边形AEFD是平行四边形.
（2）当AB二ACHBC时，
•••△ADB、ZXACE为等边三角形，
AAD=AE,
•.•四边形AEFD是平行四边形
.・.四边形AEFD是菱形.
当ZBAC=150°时，
ZDAE二360°-ZDAB-ZBAC-ZEAC二360°-60°-150°-60°二90°
•••四边形AEFD是平行四边形
•••四边形AEFD是矩形.
（3）当ZBAC=60°时,
ZDAE二360°-ZDAB-ZBAC-ZEAC=360°-60°-60°-60°二180。
此时D、A、E三点共线，所以以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
像这样把问题放到整体结构中去考虑，就可以开拓解题思路，优化解题过程.
3.渗透化归思想，促进知识迁移
将生疏的问题转化成熟悉的、已知的问题，这是运用化归思想解题的真谛.随着问题的解决，认知不断拓展，促进了知识的正迁移•例如圆心角与圆周角的关系：
三角形的内角和是180°，任意四边形的内角和是多少度呢？
如图2-2-5,连接对角线将四边形分割成两个三角形，这样就得到四边形的内角和是360°,以此类推不难求出凸五边形、凸六边形的内角和，学生很容易接受.
4•渗透数形结合思想，探究知识的奥秘
数是形的抽象概括，形是数的几何表现•通过数形结合往往可以使学生不但知其然，还能知其所以然.
在勾股定理的证明中，如图2-2-6,
大正方形的而积二小正方形的面积+4个直角三角形的而积
若直角三角形较长的直角边为»较短的宜角边为"，斜边为C,则
大正方形的而积二小正方形的面积二（b-af
4个直角三角形的面积二4x丄"
2
故©2=（b-a）2+4x-ab,所以c?
=a2+b2
2
5•渗透类比思想，指导应用知识
类比思想是由已知的两类事物具有某些相似的性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理形式•它实际上是一种猜测，必须经过严格的证明才能成为确怎的论断.
例如：
1、由等腰三角形的性质左理：
等腰三角形两底角相等（等边对等角）类比可以得到：
等边三角形各角都相等，进一步得到等边三角形每一个内角都为60°・
2、由“全等三角形对应中线相等”类比可以得到“全等三角形对应高相等，对应中线相等”・
3、由“等边对等角”类比得到“大边对大角"等等.
3.教法研究
（一）教学中应注意的几个问题
在全而倡导素质教育的今天，初中图形与几何在提高学生的基本技能，培养学生的逻辑思维能力有着非常重要的作用•对于初中学生来说，在数学学习过程中•数学水平明显出现两极分化现象，这种分化并不仅仅是由学生的智力适成的，而与图形与几何的教学工作有着很大关系，研究初中图形与几何教学工作有关问题，对防止两极分化，提髙初中数学教学质量,有着重要的意义.
1.注意培养学生学习图形与几何的兴趣
（1）高度重视导言课的教学，精心设汁并以极大的热情备好、讲好导言课，使学生产生一种要学好图形与几何的良好愿望，这对培养学生学习兴趣起奠基作用.
（2）要善于挖掘教材的实质，联系学生感兴趣的生活原型使抽象的几何知识变得具体形象，从而激发学生的求知欲.例如在初一点到直线的距离的教学中引用跳远的距离的测量.
（3）配合教材内容介绍中外数学家在几何方而的成就，使学生了解有关的数学史知识,使他们把几何学习与崇髙的理想结合起来，以此激励学生学生的学习兴趣，使学生兴趣化为主动学习的内驱力.例如圆周率与祖冲之.
（4）要根据学生的实际合理安排教学坡度，在教学中为学生创设最近发展区.
2.认真抓好图形与几何的入门教学
图形与几何的入门教学，就内容而言，一般指几何的基本概念、相交线、平行线和三角形这三章，现行初中教材的这三章的内容已涉及概念、命题、推理论证、作图等几何作图的基本问题，这些内容既是入门教学的重点又是难点•形成初中几何入门难的主要原因是：
（1）学科内容从代数到几何发生了由数到形、由汁算到推理的转变，学生一时难以适应.
（2）几何的入门概念多，而学生开始又不能正确理解和掌握几何语言.
（3）教学方法不适应，教师驾驭教材的能力不足.
为解决初中几何入门难的问题，人们已做了许多有益的探讨取得了一泄的成效.充分重视几何入门的教学，根据教材内容与学生的实际左出几何入门教学的整体计划及具体措施，是解决入门难的前题：
选用符合几何认识规律的教学方法，适当放慢进度，分散难点，逐步提高要求是入门教学阶段的原则：
加强几何概念教学，注重几何i吾言训练与数学思想方法的教学，是搞好几何入门教学的有效途径.
3.图形与几何教学过程中需注意的问题
（1）在讲槪念、公理、左理时，要注意介绍苴产生、发展的过程，多把概念与实物联系起来，通过教具，多媒体的演示使抽象的槪念具体化，形象化，要引导学生注意分析、比较它们之间的联系及区别；
（2）掌握定理的推导过程，以加深对其理解：
（3）在讲作图时，要让学生自己动手操作，引导学生利用所学的知识解析苴原因，比较各种作图方法，能准确地表达作图过程：
（4）在讲述几何证明题与计算题时，注意书写的逻辑性，概念、公理、泄理的使用，可先训练学生用填空形式，先练习填写证明的根据，再练习填写证明中的某些结论，熟练后再简单题目的证明训练，这样既快又准确地写出并可保证逻辑顺序的正确性.
（二）具体实施建议
1.教师应把握好教学要求
教学内容应限制在课程标准和教材所出现的范羽，按照课程标准要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对于基础知识的学习•例如，对于比例和成比例线段的相关内容，只是在小学的基础上，给出了成比例线段的基本槪念，学生能够理解它的基本含义即可.对于平行线分线段成比例左理，教科书没有介绍，而是直接给出了它的应用“平行于三角形一边的直线和英他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似”在此基础上，证明了相似三角形的三个判左左理.在本节，为了巩固学生对基础知识的理解，掌握好重点内容，教科书安排了一些直接利用判宦和性质的il•算题和证明题•这些题中，直接应用定理的较多，变式的题目很少，也比较简单•这样可使学生在有限的时间学好必须的基础知识，教学时要注意控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”•从课程标准上看，该节有些内容与原来大纲不仅在知识内容上有所删减，在教学要求上也有很大的降低•从教材内容上看，与以往教材内容相比，从篇幅上，从课时上，从教材编排方式上，都有很大的变化.目前只是突出最基本、最重要的基础知识和最基本的技能，教学时要注意把握好教学要求.
2.教学中注意渗透数学思想
教学中不仅要教知识，更重要的是教方法•教科书在編写时，也充分注意数学思想方法的渗透.比如，相似内容是全等内容的拓展与延伸，教科书在编写时，也充分注意相似与全等之间的一般与特殊的关系.在讨论相似的相关内容时，注意和全等的知识做类比•例如类比研究全等图形的性质得到相似多边形对应角相等、对应边的比相等的性质：
类比研究全等三角形的SSS、SAS方法，发现相似三角形的判泄方法；通过把多边形分割三角形，类比研究多边形内角和的方法，利用相似三角形的而积关系得到相似多边形而积比等于相似比的平方等等•在证明相似三角形的判左定理时，通过作全等三角形，把要证明的问题转化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单•因此，在教学过程中渗透数学思想方法的同时，既要注意各种思想方法的特点，也要注意几种思想方法的综合使用.结合各部分内容，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，使学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法•另外还要注意的是，课堂上不能刻意地去追求数学思想方法的渗透，否则便会让学生陷入形式主义的泥潭.
3.注意知识间的联系
本节内容涉及了“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”等各部分的内容•教学时，要注意各个部分内容的联系与综合，弗1绕对于特殊图形的认识，有机地整合各个部分的内容.如学生学习相似的知识是在前而学习的全等的知识基础上的发展：
利用平移由平行四边形引出菱形的概念，利用图形的旋转发现平行
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