1920版 第3章 332 第2课时 线性规划的实际应用.docx
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1920版第3章332第2课时线性规划的实际应用
第2课时 线性规划的实际应用
学习目标
核心素养
理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．（重点、难点）
借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养.
应用线性规划解决实际问题的类型
思考：
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
[提示] 分析题意，我们可得到以下式子
1．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足约束条件
则（ ）
A．zmax＝12，zmin＝3
B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值
D．z既无最大值又无最小值
D [画出可行域如图所示，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值．
]
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天
2000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是________．
[答案]
3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
36800 [设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，
则
画出可行域（如图中阴影部分内的整点），则目标函数z＝1600x＋2400y在点（5，12）处取得最小值zmin＝36800元．]
线性规划的实际应用问题
[探究问题]
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？
[提示]
2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
[提示] 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.
3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？
[提示] x，y必须在线性约束条件
下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．
【例1】 某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使所获利润最大．
思路探究：
可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
[解] 设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为
即
画出可行域如图所示，
作直线l：
80x＋120y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解
得C（100，400），所以zmax＝80×100＋120×400＝56000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
（变结论）例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？
如果只安排生产书橱呢？
[解]
（1）若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知zmax＝80×300＝24000，即只生产书桌，可获利润24000元．
（2）若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知zmax＝120×450＝54000，即只生产书橱，可获利润54000元．
解答线性规划应用题的一般步骤
（1）审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
（2）转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
（3）求解——解这个纯数学的线性规划问题．
（4）作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划中的最优整数解问题
【例2】 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：
A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：
A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？
思路探究：
①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？
②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？
[解] 设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y,x，y满足的约束条件为
作出不等式组的可行域，如图．
作直线l：
160x＋280y＝0，即l：
4x＋7y＝0.
将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值．
由方程组
，
解得
.
但y＝0.4不是整数，故取x＝7，y＝1，此时z取得最小值．
所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低．
寻找整点最优解的三种方法
（1）平移找解法：
先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
（2）小范围搜寻法：
即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大（小）值．
（3）调整优值法：
先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．
某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－（x＋0.6y）
即z＝19x＋14.4y
且
作出不等式组表示的平面区域如图，又由
解出x＝
，y＝
，
所以M
，
因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为（3，8），此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2（元）．
又可行域的另一顶点是（0，12），z＝19×0＋14.4×12＝172.8（元）：
过顶点（8，0）的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152（元）．
M
附近的点（1，10），（2，9），
直线z＝19x＋14.4y过点（1，10）时，z＝163；过点（2，9）时z＝167.6.
所以当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：
只截1.5m长的零件12个，可获得最大利润．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解（比如人数、车辆数等），应结合可行域与目标函数微调.
1．判断正误
（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．（ ）
（2）当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．（ ）
[答案]
（1）√
（2）√
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元．
1650 [设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则
即
z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－
x＋
，作出直线y＝－
x，在可行域内平移直线y＝－
x，可知当直线过点B时，z有最大值，
由
解得B
，故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．]
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备
产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12（1台设备工作1小时称为1台时），该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．
4，2 [设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，解
得
即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]
4．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：
甲种钢板每张面积2m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？
（“用料最省”是指所用钢板的总面积最小）
[解] 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢铁总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组
得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
课时分层作业（二十二） 线性规划的实际应用
（建议用时：
60分钟）
[基础达标练]
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克、a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1千克、b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1元、d2元，月初一次性购进原料A，B各c1千克、c2千克，本月生产甲产品和乙产品各多少千克时才能使月利润总额达到最大？
在这个问题中，设本月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
[答案] C
2．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为（ ）
A．
z＝20x＋40yB.
z＝20x＋40y
C．
z＝20x＋40yD.
z＝40x＋20y
A [由题意知A正确．]
3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
D [
根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则
目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A（2，3）时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．]
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为（ ）
A．2，4B．3，3
C．4，2D．不确定
B [设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解（x，y），用图解法求得整数解为（3，3）．]
5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ）
A．4650元B．4700元
C．4900元D．5000元
C [设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式
作出相应的平面区域（略），u＝450x＋350y＝50（9x＋7y）在由
确定的交点（7，5）处取得最大值4900元．]
二、填空题
6．若点P（m，n）在由不等式组
所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
3 [作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（3，4），设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为（2，5）时，n－m的最大值为3.
]
7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）分别为________．
30；20 [设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.
此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A（30，20）．
]
8．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同．但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，它们的具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元．
4900 [设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙生产一等奖奖品（3－x）件，二等奖奖品（6－y）件，则x，y满足
设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800（3－x）＋600（6－y）＝－300x－200y＋6000，
作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分（包括边界）中的整点．
由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．
由
解得
即A（3，1），故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6000＝4900（元）．]
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：
应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？
[解] 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－
x＋
，得到斜率为－
，它是在y轴上的截距为
且随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－
x＋
经过可行域上的点A时，截距
最小，即z最小．
由
得A
，
∴zmin＝3×
＋2×3＝14.4.
∴甲种原料
×10＝28（g），乙种原料3×10＝30（g），
即当使用甲、乙两种原料分别为28g、30g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．
10．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？
怎样搭配价格最低？
成分
种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格（元）
A（毫克/片）
2
5
1
0.1
B（毫克/片）
1
7
6
0.2
[解] 设A，B两种药品分别为x片和y片（x，y∈N），
则有
两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
如图所示，作直线l：
x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组
得交点A坐标
.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是（1，10），（2，9），（3，8），因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
[能力提升练]
1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：
kg）
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为（ ）
A．600元B．700元
C．800元D．900元
D [设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组
成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.]
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A．2000元B．2200元
C．2400元D．2800元
B [设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件
目标函数z＝400x＋300y，画图（图略）可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点（4，2）时，z取得最小值2200.]
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
则z＝10x＋10y的最大值是________．
90 [原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
作出直线y＝－x＋
可知当直线过点
时z有最大值，由于x，y∈N*；可行域内与点
最接近的整点为（5，4），所以当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.]
4．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．
37 [设小明买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示．
将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A
时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为（18，19），此时z最大为37.]
5．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：
规格类型
袋装大米类型
A
B
甲
2
1
乙
1
3
已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．
（1）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？
（要求画出可行域）
（2）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率．
[解]
（1）设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则
z＝x＋y（x，y为整数），作出可行域D如图．
从图中可知，可行域D的所有整数点为：
（3，9），（3，10），（4，8），（4，9），（4，10），（5，8），（5，9），（5，10），共8个点
因为目标函数为z＝x＋y（x，y为整数），所以在一组平行直线x＋y＝t（t为参数）中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是（3，9）和（4，8），它们都是最优解．
所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少．
（2）由
（1）可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P＝
＝
.
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