1920版 第3章 332 第2课时 线性规划的实际应用.docx

1、1920版 第3章 332 第2课时 线性规划的实际应用第2课时线性规划的实际应用学 习 目 标核 心 素 养理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题(重点、难点)借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养.应用线性规划解决实际问题的类型思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元那么x和y应满足哪些不等关系？提示分析题意，我们可得到以下式子1已知目标函数z2xy，且变量x，y满足约束条件则

2、()Azmax12，zmin3Bzmax12，无最小值Czmin3，无最大值Dz既无最大值又无最小值D画出可行域如图所示，z2xy，即y2xz在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值2完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是_答案3某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元36 800设租用A型车x辆，B

3、型车y辆，租金为z元，则画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z1 600x2 400y在点(5，12)处取得最小值zmin36 800元线性规划的实际应用问题探究问题1某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？提示2若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？提示根据公司所获利润投资项目甲获得的利润投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的

4、关系为z0.4x0.6y.3x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？提示x，y必须在线性约束条件下取值x，y取不同的值，直接影响z的取值【例1】某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解解设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z80x120y，根据题意知，约束条件为即画出可行

5、域如图所示，作直线l：80x120y0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax8010012040056 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？解(1)若只生产书桌，则y0，此时目标函数z80x，由图可知zmax8030024 000，即只生产书桌，可获利润24 000元(2)若只生产书橱，则x0，此时目标函数z120y，由图可知zmax12045054 000，即只生产书橱，可获利润54 000元解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题仔细

6、阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺(2)转化设元写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题(3)求解解这个纯数学的线性规划问题(4)作答就应用题提出的问题作出回答线性规划中的最优整数解问题【例2】某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元，

7、B型车280元每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？思路探究：本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？解设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z160x280y, x，y满足的约束条件为作出不等式组的可行域，如图作直线l：160x280y0，即l：4x7y0.将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值由方程组，解得.但y0.4不是整数，故取x7，y1，此时z取得最小值所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解

8、法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解， 这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解某厂有一批长为18 m的条形钢板，可以割成1.8 m和1.5 m长的零件它们的加工费分别为每个1元和0.6元售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元问如何下料能获得最大利润解设割成的1.8

9、m和1.5 m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z20x15y(x0.6y)即z19x14.4y且作出不等式组表示的平面区域如图，又由解出x，y，所以M，因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3，8)，此时z19314.48172.2(元)又可行域的另一顶点是(0，12)，z19014.412172.8(元)：过顶点(8，0)的直线使z19814.40152(元)M附近的点(1，10)，(2，9)，直线z19x14.4y过点(1，10)时，z163；过点(2，9)时z167.6.所以当x0，y12时，z172.8元为最大值答：只截1.5 m长的零件12个，可获得最大利润1画图

10、对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.1判断正误(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解 ()(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个 ()答案(1)(2)2一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获

11、得最大收益为_元1 650设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则即z960x420y，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为yx，作出直线yx，在可行域内平移直线yx，可知当直线过点B时，z有最大值，由解得B，故当x1.5，y0.5时，zmax1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元3某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：设备产品ABCD甲2140乙2204已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，

12、12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为_4，2设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为即作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z2x3y，由图可知当直线z2x3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大4某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B

13、种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意钢铁总面积z2x3y.作出可行域，如图所示由图可知当直线z2x3y过点P时，z最小由方程组得所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省课时分层作业(二十二)线性规划的实际应用(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克、a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1千克、b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1元、d2元，月初一次性购进原料A，B各c1千克、c2千克，本月生产甲产品和乙产品各多少千克时才能

14、使月利润总额达到最大？在这个问题中，设本月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，使总利润zd1xd2y最大的数学模型中，约束条件为()A BC D答案C2某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()Az20x40y B.z20x40yCz20x4

15、0y D.z40x20yA由题意知A正确3某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元D根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z3x4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax324318，故该企业每天可获得最大利润为18万元4某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种

16、用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为()A2，4 B3，3C4，2 D不确定B设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z800100x160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)5某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆

17、数，可得最大利润为()A4 650元 B4 700元C4 900元 D5 000元C设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u450x350y，由题意，x，y满足关系式作出相应的平面区域(略)，u450x350y50(9x7y)在由确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元二、填空题6若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则nm的最大值为_3作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，5)，C(3，4)，设目标函数为zyx，则yxz，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，nm的最大值为3.7某农户计划种植黄瓜和韭菜，种

18、植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_30；20设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图，得最优解为A(30，20)8甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同但工艺不同，故价格有所

19、差异甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，它们的具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为_元4 900设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，yN，则乙生产一等奖奖品(3x)件，二等奖奖品(6y)件，则x，y满足设费用为z元，则z500x400y800(3x)600(6y)300x200y6 000，作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分(包括边界)中的整点由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin300320016 0004 900(元)三、解答题9

20、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图所示：把z3x2y变形为yx，得到斜率为，它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线由图可知，当直线yx经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小由得A，zmin32314.4.甲种原料1028(g)，乙种原料31030(g)，

21、即当使用甲、乙两种原料分别为28 g、30 g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省10两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解设A，B两种药品分别为x片和y片(x，yN)，则有两类药片的总数为zxy，两类药片的价格和为k0.1x0.2y.如图所示，作直线l：xy0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近解方程组得交点A坐标.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图

22、形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是xy11，经过的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片同理可得，当x3，y8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低能力提升练1配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)原料药剂甲乙A25B54药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20 kg，原料乙33 kg，那么可以获得的最大销售额为()A600元 B700元C800元 D900元D设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u100

23、x200y在上述线性约束条件下的最大值借助于线性规划可得x5，y2时，u最大，umax900.2在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A2 000元 B2 200元C2 400元 D2 800元B设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件目标函数z400x300y，画图(图略)可知，当平移直线400x300y0至经过点(4，2)时，z取得最小值2 200.3某公

24、司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z10x10y的最大值是_90原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线yx可知当直线过点时z有最大值，由于x，yN*；可行域内与点最接近的整点为(5，4)，所以当x5，y4时，z取得最大值为90.4小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量那么最多可以买的科普书与文具的总数是_37设小明买科普书x本，文具y套，总数为zxy.由题意可得约束条件为作出可行域如图中阴影部分整点所示将zxy化为yxz，作出直线yx并平移，使之经过可行域，易

25、知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.5某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：规格类型袋装大米类型 AB甲21乙13已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋(1)问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)(2)若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率解(1)设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则zxy(x，y为整数)，作出可行域D如图从图中可知，可行域D的所有整数点为：(3，9)，(3，10)，(4，8)，(4，9)，(4，10)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，共8个点因为目标函数为zxy(x，y为整数)，所以在一组平行直线xyt(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3，9)和(4，8)，它们都是最优解所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少(2)由(1)可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P.