拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用.docx

拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用.docx

《拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用

第1讲　集合及其运算

最新考纲　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及运算.

知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性.

（2）集合中元素与集合的关系有且仅有两种：

属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）.

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言

符号语言

集合间的基本关系

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

A⊆B

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

A⫋B

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

精彩PPT展示

（1）若A＝{x|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，则A＝B＝C.（×）

（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（×）

（3）已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1，2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝.（×）

（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.（√）

2.（2015·全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A.5B.4C.3D.2

解析　由已知得A＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}.故选D.

答案　D

3.（2015·浙江卷）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝（　　）

A.[0，1）B.（0，2]C.（1，2）D.[1，2]

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，∴（∁RP）∩Q＝（1，2）.

答案　C

4.（2015·衡水中学二模）设集合A＝，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（　　）

A.B.{x|－1＜x≤2}

C.{x|－1＜x＜2且x≠1}D.{x|－1＜x＜2}

解析　易得A＝，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜2}.

答案　D

5.（人教A必修1P12A10改编）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则（∁RA）∩B＝________.

解析　∵∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，∴（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.

答案　{x|2＜x＜3或7≤x＜10}

考点一　集合的含义

【例1】

（1）若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为（　　）

A.5B.4C.3D.2

（2）已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2017＋b2017＝________.

解析　

（1）因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1，y＝0，2时，z＝x＋y＝－1，1；当x＝1，y＝0，2时，z＝x＋y＝1，3，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1，1，3}，共3个元素，选C.

（2）由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2017＋b2017＝－1.

答案　

（1）C　

（2）－1

规律方法　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合.

（2）集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】

（1）（2016·邢台模拟）已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A.2B.3C.4D.5

（2）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.

解析　

（1）A＝{x∈N|（x＋3）（x－1）≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0，1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.

（2）由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.

答案　

（1）C　

（2）－

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则（　　）

A.A⫋BB.B⫋AC.A＝BD.A∩B＝∅

（2）（2016·蚌埠一模）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为________.

解析　

（1）由题意知A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，

则B⫋A，故选B.

（2）

A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，因为A∪B＝A，所以B⊆A.当B＝∅时，m＋1＞2m－1，则m＜2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得解得2≤m≤3.

综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，3]

规律方法　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.

【训练2】

（1）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________.

（2）已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}.若A∩C＝C，则a的取值范围是________.

解析　

（1）由log2x≤2，得0＜x≤4，

即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A⊆B，如图所示，则a＞4.

（2）由C∩A＝C，得C⊆A.

当C＝∅时，－a≥a＋3，得a≤－；

当C≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得解得－＜a≤－1.

综上，a的取值范围为（－∞，－1].

答案　

（1）（4，＋∞）　

（2）（－∞，－1]

考点三　集合的基本运算

【例3】

（1）（2015·天津卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩（∁UB）＝（　　）

A.{2，5}B.{3，6}

C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}

（2）（2016·九江一模）若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2（x2－x）＞1}，则A∩B＝（　　）

A.（2，4]B.[2，4]

C.（－∞，0）∪（0，4]D.（－∞，－1）∪[0，4]

（3）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则m＝__________.

解析　

（1）由已知得∁UB＝{2，5，8}，则A∩（∁UB）＝{2，5}，故选A.

（2）因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2（x2－x）＞1}＝{x|x2－x＞2}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x＜－1或x＞2}＝{x|2＜x≤4}＝（2，4].

（3）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，

且m＝（－2）·（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.

答案　

（1）A　

（2）A　（3）1或2

规律方法　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

（2）已知集合的运算结果求参数，要注意分类讨论思想的灵活应用.

【训练3】

（1）设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2＞2x}，N＝{x|log2（x－1）≤0}，则（∁UM）∩N为（　　）

A.{x|1＜x＜2}B.{x|1≤x≤2}

C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x＜2}

（2）设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围一定是（　　）

A.[－1，2）B.（－∞，2]

C.[－1，＋∞）D.（－1，＋∞）

解析　

（1）∵x2＞2x，∴x＞2或x＜0，∴M＝{x|x＜0或x＞2}.∵log2（x－1）≤0，

∵0＜x－1≤1，∴1＜x≤2，∴N＝{x|1＜x≤2}，∴（∁UM）∩N＝{x|1＜x≤2}.

（2）∵M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，如图只要a＞－1即可.

答案　

（1）C　

（2）D

[思想方法]

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：

首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集（真子集）个数的好方法，使用时应做到不重不漏.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

3.空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A⊆B解题时，若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类讨论.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2015·安徽卷）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A.{1，2，5，6}B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}

解析　由题意得，∁UB＝{1，5，6}，A＝{1，2}，故A∩（∁UB）＝{1}.

答案　B

2.（2016·沈阳监测）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.

答案　C

3.（2016·长春监测）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝（　　）

A.[－2，－1]B.[－1，2）

C.[－1，1]D.[1，2）

解析　由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.

答案　A

4.（2015·江西师大附中模拟）设集合A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}，集合B＝{2，3}，则A∪B等于（　　）

A.{2}B.{1，2，3}

C.{－1，0，1，2，3}D.{0，1，2，3}

解析　A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，故A∪B＝{0，1，2，3}.

答案　D

5.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A.2个B.4个C.6个D.8个

解析　P＝M∩N＝{1，3}，故P的子集共有4个.

答案　B

6.（2016·宜春检测）设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是（　　）

A.P⊆QB.Q⊆PC.P＝QD.P∪Q＝R

解析　由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.

答案　A

7.（2015·银川一中一模）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，1]B.（－∞，1）C.[2，＋∞）D.（2，＋∞）

解析　∵B＝{x|1≤x＜2}，∴∁RB＝{x|x＜1或x≥2}.又A∪（∁RB）＝R，如图只要a≥2.

答案　C

8.（2015·西安模拟）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：

{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.故选D.

答案　D

二、填空题

9.（2015·湖南卷）已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪（∁UB）＝________.

解析　由已知可得∁UB＝{2}，故A∪（∁UB）＝{1，2，3}.

答案　{1，2，3}

10.设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________.

解析　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即（∁UA）∩B＝{7，9}.

答案　{7，9}

11.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

解析　A＝{x|－5

答案　－1　1

12.设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________.

解析　由题意得a＋2＝3，则a＝1.此时A＝{－1，1，3}，B＝{3，5}，A∩B＝{3}，满足题意.

答案　1

能力提升题组

（建议用时：

15分钟）

13.（2016·皖南八校联考）设集合M＝{（x，y）|y＝lgx}，N＝{x|y＝lgx}，则下列结论中正确的是（　　）

A.M∩N≠∅B.M∩N＝∅C.M∪N＝ND.M∪N＝M

解析　因为M为点集，N为数集，所以M∩N＝∅.

答案　B

14.（2015·余姚三模）设全集为U＝R，集合A＝{x||x|≤2}，B＝，则（∁UA）∩B等于（　　）

A.[－2，1]B.（2，＋∞）C.（1，2]D.（－∞，－2）

解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则（∁UA）∩B＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|x＞1}＝{x|x＞2}.

答案　B

15.（2015·湖北卷）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）

A.77B.49C.45D.30

解析　当x1＝0时，y1∈{－1，0，1}，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}，

此时x2＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，则A⊕B中元素的个数为5×7＝35.

当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x1＋x2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}.

由于x1＋x2∈{－2，－1，0，，1，2}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}时，A⊕B中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为2×5＝10，则A⊕B中元素的个数为35＋10＝45.

答案　C

16.已知集合A＝{（x，y）|y＝a}，B＝{（x，y）|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________.

解析　由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1（b>0，b≠1）与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是（1，＋∞）.

答案　（1，＋∞）