幂的运算方法总结.docx
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幂的运算方法总结
幂的运算方法总结
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作为整式乘除的前奏,幂的运算看似非常简单,实际运用起来却灵活多变。
不过,只要熟悉运算的一些根本方法原那么,问题就迎刃而解了。
而且通过这些方法原那么的学习,不但能使我们熟悉幂的运算,还可得到全面的思维训练,现在对此做一探索。
幂的运算的根本知识就四条性质,写作四个公式:
①am×an=am+n②(am)n=amn
③(ab)m=ambm④am÷an=am-n
只要理解掌握公式的形状特点,熟悉其根本要义,直接应用一般都容易,即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1
a7am=a3a10,求m的值。
思路探索:
用公式1计算等号左右两边,得到等底数的同幂形式,按指数也相等的规那么即可得m的值。
方法思考:
只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。
方法原那么:
可用公式套一套。
但是,渗入幂的代换时,就有点难度了。
问题2
xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。
思路探索:
(x2y)3n中没有xn和yn,但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。
因此可简解为,(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728
方法思考:
幂和要求的代数式不一致,设法将代数式变形,变成幂的运算的形式即可代入求值。
方法原那么:
整体不同靠一靠。
然而,遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢?
问题3
a3=2,am=3,an=5,求am+2n+6的值。
思路探索:
试逆用公式,变形出与同形的幂即可代入了。
简解:
am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300
方法思考:
遇到公式右边的代数式时,通常倒过来逆用公式,把代数式展开,然后代入。
方法原那么:
逆用公式倒一倒。
当底数是常数时,会有更多的变化,如何思考呢?
问题4
22x+3-22x+1=48,求x的值。
思路探索:
方程中未知数出现在两项的指数上,所以必须统一成一项,即用公式把它们变成同类项进行合并。
由此,可考虑逆用公式1,把其中常数的整数指数幂,化作常数作为该项的系数。
简解:
22x+3-22x+1
=22x×23-22x×21
=8×22x-2×22x
=6×22x=48
∴22x=8∴2x=3∴x=1.5
方法思考:
冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时,通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数,然后进行其它运算。
问题5
64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。
思路探索:
幂的底数不一致使运算没法进行,怎样把它们变一致呢?
把常数底数都变成质数底数就统一了。
简解:
64m+1÷2n÷33m
=24m+1×34m+1÷2n÷33m
=24m+1-n×3m+1
=81=34
∵m、n是正整数
∴m+1=4,4m+1-n=0
∴m=3,n=13
方法思考:
冪的底数是常数时,通常把它们分解质因数,然后按公式3展开,即可化成同底数冪了。
问题6
2a=3,2b=6,2c=12,求a、b、c的关系。
思路探索:
求a、b、c的关系,关键看2a、2b、2c的关系,即3、6、12的关系。
6是3的2倍,12是6的2倍,所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。
简解:
由题意知
2c=2×2b=4×2a
∴2c=2b+1=2a+2
∴c=b+1=a+2
方法思考:
底数是相同的常数时,通常把冪的值同乘以适当的常数变相同,然后比拟它们的指数。
方法原那么:
系数质数和指数,常数底数造一造。
综合用到以上方法就更需要引起注意。
问题7
2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值。
思路探索:
要求的代数式与距离甚远,考虑逆用公式将其变成的代数式的形式。
简解:
22x+3y+1
=22x×23y×21
=(2x)2×(2y)3×2
=m2n3×2
=2m2n3
方法思考:
综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。
问题8
a=244,b=333,c=422,比拟a、b、c的大小。
思路探索:
同底数幂比拟大小观察指数大小即可,底数不能变相同的,只好逆用公式将指数变相同,比拟底数大小了。
简解:
a=244=24×11=〔24〕11=1611,
b=333=33×11=〔33〕11=2711
c=422=42×11=1611
∴a=c<b
方法思考:
化同指数冪是比拟底数不能化相同的冪的又一种方法。
思考归纳
幂的运算首先要熟练掌握幂的四条根本性质,不但会直接套用公式,还要能逆用。
其次要注意要求的代数式与条件的联系,没明显关系时常常逆用公式将其分解。
第三,底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式,有常数指数的通常求出其值,作为该项的系数。
第四,底数不同而指数可变相同的可通过比拟底数确定其大小关系,还可通过积的乘方的逆运算相乘。
一、同底数幂的乘法
1、同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
公式表示为:
am·an=am+n〔m,n都是正整数〕
2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘
注意点:
〔1〕同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数.
〔2〕在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法那么进行计算.
简单练习
一、选择题
1.以下计算正确的选项是()
A.a2+a3=a5
B.a2·a3=a5
C.3m+2m=5m
D.a2+a2=2a4
2.以下计算错误的选项是()
A.5x2-x2=4x2
B.am+am=2am
C.3m+2m=5m
D.x·x2m-1=x2m
3.以下四个算式中
①a3·a3=2a3
②x3+x3=x6
③b3·b·b2=b5
④p2+p2+p2=3p2正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.以下各题中,计算结果写成底数为10的幂的形式,其中正确的选项是()
A.100×102=103B.1000×1010=103
C.100×103=105D.100×1000=104
二、填空题
1.a4·a4=;a4+a4=。
2、b2·b·b7=。
3、103·=1010
4、(-a)2·(-a)3·a5=。
5、a5·a()=a2·()4=a18
6、(a+1)2·(1+a)·(a+1)5=。
中等练习:
1、(-10)3·10+100·(-102)的运算结果是()
A.108B.-2×104C.0D.-104
2、(x-y)6·(y-x)5=。
3、10m·10m-1·100=。
4、a与b互为相反数且都不为0,n为正整数,那么以下两数互为相反数的是()
A.a2n-1与-b2n-1
B.a2n-1与b2n-1
C.a2n与b2n
D.a2n与b2n
5.※计算(a-b)n·(b-a)n-1等于()
A.(a-b)2n-1
B.(b-a)2n-1
C.+(a-b)2n-1
D.非以上答案
6.※x7等于()
A.(-x2)·x5
B、(-x2)·(-x5)
C.(-x)3·x4
D.(-x)·(-x)6
7、解答题
(1)–x2·(-x3)
(2)–a·(-a)2·a3
(3)–b2·(-b)2·(-b)3
(4)x·(-x2)·(-x)2·(-x3)·(-x)3
(5)x4-m·x4+m·(-x)
(6)x6·(-x)5-(-x)8·(-x)3
(7)-a3·(-a)4·(-a)5
8.计算(-2)1999+(-2)2000等于()
A.-23999B.-2C.-21999D.21999
9.假设a2n+1·ax=a3那么x=
二、幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
公式表示为:
〔am〕n=amn〔m,n都是正整数〕.
2、积的乘方
积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
公式表示为:
〔ab〕n=anbn〔n为正整数〕.
注意点:
〔1〕幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.
〔2〕指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加〞区分开.
〔3〕运用积的乘方法那么时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果;
〔4〕运用积的乘方法那么时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式.