高中教育最新高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1.docx

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高中教育最新高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1

——教学资料参考参考范本——

【高中教育】最新高中数学学业质量标准自测新人教A版选修1

______年______月______日

____________________部门

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数＝（　B　）

A．1＋i　　　　　　　　B．1－i

C．iD．－i

[解析]　＝＝＝1－i。

2．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　A　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　本题考查了充要条件的判断．

当a＝3时，A＝{2,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝1或a＝3，故为充分不必要条件．

3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是（　C　）

A．邻补角不互补

B．互补的两个角是邻补角

C．不是邻补角的两个角不互补

D．不互补的两个角不是邻补角

[解析]　“邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C．

4．（20xx·江西抚州高二检测）为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x（小时）与报酬y（元）的数据，分别是（2,30）、（4,40）、（5，m）、（6,50）、（8,70），他用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝6。

5x＋17。

5，则其中m为（　D　）

A．45B．50

C．55D．60

[解析]　由题意知＝＝5，又∵点（，）在回归直线＝6。

5x＋17。

5上，

∴＝6。

5×5＋17。

5＝50，

∴50＝，

∴m＝60，故选D．

5．用反证法证明命题“＋是无理数”时，下列假设正确的是（　D　）

A．假设是有理数

B．假设是有理数

C．假设或是有理数

D．假设＋是有理数

[解析]　“＋是无理数”的否定是“＋不是无理数”，故选D．

6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是（　D　）

A．f（x）＝x2B．f（x）＝

C．f（x）＝lnx＋2x－6D．f（x）＝sinx

[解析]　第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f（x）＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D．

7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5。

024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（　D　）

p（K2>k）

0。

50

0。

40

0。

25

0。

15

0。

10

k

0。

455

0。

708

1。

323

2。

072

2。

706

p（K2>k）

0。

05

0。

025

0。

010

0。

005

0。

001

k

3。

84

5。

024

6。

635

7。

879

10。

83

A．25%B．75%

C．2。

5%D．97。

5%

[解析]　查表可得K2>5。

024。

因此有97。

5%的把握认为“x和y有关系”．

8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是（　A　）

A．类比B．综合法

C．反证法D．分析法

[解析]　据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A．

9．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于（　C　）

A．45°B．60°

C．90°D．120°

[解析]　如图由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，

|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，

且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2（∠2＋∠4）＝180°，即∠2＋∠4＝90°，

故∠A1FB1＝90°。

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（　D　）

A．－＝1B．－＝1

C．－＝1D．－＝1

[解析]　由题知c＝，设双曲线方程为－＝1（t>0）

由消去y得，

（7－2t）x2＋2tx－8t＋t2＝0。

由题意知＝－，

∴x1＋x2＝＝－，∴t＝2，

∴双曲线方程为－＝1。

11．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是（　B　）

A．12，－15B．5，－15

C．5，－4D．－4，－15

[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6（x2－x－2）＝6（x－2）·（x＋1），令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，

∴x＝－1舍去．

列表如下：

x

0

（0,2）

2

（2,3）

3

f′（x）

－

0

＋

f（x）

5

极小值－15

－4

由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B．

12．已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（　D　）

A．f

（2）

（2）≤e2f（0）

C．f

（2）＝e2f（0）D．f

（2）>e2f（0）

[分析]　所给四个选项实质是比较f

（2）与e2f（0）的大小，即比较与的大小，故构造函数F（x）＝解决．

[解析]　设F（x）＝，则f′（x）＝>0，

∴F（x）在R上为增函数，故F

（2）>F（0），

∴>，即f

（2）>e2f（0）．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）

13．已知命题p：

∃x∈R，使sinx＝，则¬p＝　∀x∈R，使sinx≠　。

[解析]　全称命题的否定是特称命题．

14．（20xx·福建××市高二检测）已知复数z满足z（1＋i）＝1（i为虚数单位），则z＝　－i　。

[解析]　z＝＝＝－i。

15．观察下列等式

　　　　　　1＝1

　　　　　2＋3＋4＝9

　　　　3＋4＋5＋6＋7＝25

　　　4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

　　　　　　　　……

照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__。

[解析]　第1个等式有1项，从1开始；

第2个等式有3项，从2开始；

第3个等式有5项，从3开始；

第4个等式有7项，从4开始．

每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81。

16．已知点A（x1，ax1）、B（x2，ax2）是函数y＝ax（a>1）的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间的函数图象的上方，因此有结论>a成立．运用类比的思想方法可知，若点A（x1，sinx1）、B（x2，sinx2）是函数y＝sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同的两点，则类似地有　

[解析]　依据函数y＝sinx（x∈（0，π））的图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，所以有

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

（1）计算（）2＋；

（2）复数z＝x＋yi（x、y∈R）满足z＋2i＝3＋i，求复数z的对应点Z所在的象限．

[解析]　

（1）原式＝＋

＝i＋＝＋i。

（2）由z＋2i＝3＋i得

（x＋2y）＋（y＋2x）i＝3＋i，

∴，

解得x＝－，y＝，

∴z＝－＋i，

∴复数z对应点Z的坐标为（－，），即在第二象限．

18．（本题满分12分）已知命题p：

方程＋＝1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，命题q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，又p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围。

[解析]　p：

，∴m>2。

故p：

m>2。

q：

△＝16（m－2）2－16<0，

即m2－4m＋3<0，

∴1

故q：

1

又∵p∨q为真，¬q为真，

∴p真q假，

即，

∴m≥3。

19．（本题满分12分）（20xx·广东××市高二检测）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

年龄

[5,15）

[15,25）

[25,35）

[35,45）

[45,55）

[55,65）

频数

5

10

15

10

5

5

支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1

由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异。

年龄不低于45岁

年龄低于45岁

合计

支持

不支持

合计

参考数据：

P（K2≥k）

0。

050

0。

010

0。

001

k

3。

841

6。

635

10。

828

[解析]　列联表如下：

年龄不低于45岁

年龄低于45岁

合计

支持

3

29

32

不支持

7

11

18

合计

10

40

50

由公式得K2＝

＝≈6。

272<6。

635。

故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．

20．（本题满分12分）已知a、b、c是全不相等的正实数，求证：

＋＋>3。

[解析]　解法一：

（分析法）

要证＋＋>3，

只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，

即证＋＋＋＋＋>6。

而事实上，由a、b、c是全不相等的正实数，

得＋>2，＋>2，＋>2。

从而＋＋＋＋＋>6。

故＋＋>3得证．

解法二：

（综合法）

∵a、b、c全不相等，

∴与，与，与全不相等．

∴＋>2，＋>2，＋>2。

三式相加得＋＋＋＋＋>6，

∴（＋－1）＋（＋－1）＋（＋－1）>3，

即＋＋>3。

21．（本题满分12分）（20xx·全国Ⅲ文，20）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1）．当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由．

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

[解析]　

（1）解：

不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：

设A（x1,0），B（x2,0），

则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2。

又点C的坐标为（0,1），

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

（2）证明：

BC的中点坐标为（，），可得BC的中垂线方程为y－＝x2（x2－）．

由

（1）可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－。

联立

又x＋mx2－2＝0，

可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（－，－），半径r＝。

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，

即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

22．（本题满分12分）（20xx·全国Ⅱ文，21）设函数f（x）＝（1－x2）ex。

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax＋1，求a的取值范围．

[解析]　

（1）解：

f′（x）＝（1－2x－x2）ex。

令f′（x）＝0得x＝－1－或x＝－1＋。

当x∈（－∞，－1－）时，f′（x）<0；

当x∈（－1－，－1＋）时，f′（x）>0；

当x∈（－1＋，＋∞）时，f′（x）<0。

所以f（x）在（－∞，－1－），（－1＋，＋∞）单调递减，在（－1－，－1＋）单调递增．

（2）解：

f（x）＝（1＋x）（1－x）ex。

当a≥1时，设函数h（x）＝（1－x）ex，

则h′（x）＝－xex<0（x>0），

因此h（x）在[0，＋∞）单调递减．

而h（0）＝1，故h（x）≤1

所以f（x）＝（x＋1）h（x）≤x＋1≤ax＋1。

当0

则g′（x）＝ex－1>0（x>0），

所以g（x）在[0，＋∞）单调递增．

而g（0）＝0，故ex≥x＋1。

当0（1－x）（1＋x）2，（1－x）（1＋x）2－ax－1＝x（1－a－x－x2），

取x0＝，

则x0∈（0,1），（1－x0）（1＋x0）2－ax0－1＝0，

故f（x0）>ax0＋1。

当a≤0时，取x0＝，则x0∈（0,1），f（x0）>（1－x0）（1＋x0）2＝1≥ax0＋1。

综上，a的取值范围是[1，＋∞）．