高等数学下考试题库附答案.docx
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高等数学下考试题库附答案
《高等数学》试卷1(下)
•选择题(3分10)
1.点M1
2,3,1到点M22,7,4
的距离M1M2
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量a
i2jk,b
2i
j,则有(
A.a//b
B.a丄b
C.ab3
D.:
a,b
3屈数y
1
x2y21
的定义域是
A.x,y1
x2
B.x,y1
x2
Dx,y1
C.x,y1
A.ab
0
B.a
b
0C.ab0D.ab0
5屈数z
3x
3
y
3xy的极小值是().
A.2
B.
2
C.1D.1
z
=().
6.设z
xsiny
,则
—
y
1,
4
恵
A.一
B.
C.J2D.<2
2
2
a与b垂直的充要条件是(
4.两个向量
1
7.若p级数—收敛,则()
n1n
A.p1
B.p1C.p1
D.p1
8.幕级数
nx
的收敛域为(
).
n1n
A.1,1
B
1,1C.
1,1
D.1,1
9.幕级数
x
n
在收敛域内的和函数是(
)
n02
1
A・-
1x
2
2
C.-
1x
1
D.-
2x
B.
2x
10・微分方程
xy
ylny
0的通解为(
)•
x
B.
x
x
D.ye
A.yce
ye
C.ycxe
1•一平面过点A0,0,3且垂直于直线
AB,其中点B2,1,1,则此平面方程为
填空题(4分5)
2•函数zsinxy的全微分是
2
323Z
3.设zxy3xyxy1,贝H
xy
1
4.^^的麦克劳林级数是.
2x
三•计算题(5分6)
1.设zeusinv,而u
xy,vx
y,求
z
J
z
x
y
2.已知隐函数zzx,y
2
由方程x
2y2
2z
4x
2z50确定,求—,—
xy
3.计算sin:
x2y2d
n
,其中D
.2
2x
2
y
42.
4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积
(
R为半径).
四•应用题(10分2)
1•要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
试卷1参考答案
一•选择题CBCADACCBD
二填空题
1.2xy2z60.
2.cosxyydxxdy•
22
3・6xy9y1•
1n
nnrxn02
5.y
C1
C2Xe
2x
三.计算题
.zxy■
1.eysinxx
cosxy
Zxy
exsinxycosxyy
Z
2.—
x
2
x
1,
z
y
2yz1.
z
2
2
3.
d
sin
d62
0
16
3
4.-
R3.
3
3x
2x
5.y
e
e
四.应用题
1.长、宽、高均为32m时,用料最省
12
2.yx.
3
《高数》试卷2(下)
1.选择题(3分10)
1.点M14,3,1,M27,1,2的距离M1M2().
A.旋
B.J13
C.『14
D.+'15
2.设两平面万程分别为
x2y2z
1
0和
xy
50,则两平面的夹角为(
)
A.—
B.—
C.一
D.-
-
6
4
3
2
3屈数z
.2arcsinx
y2的定义域为(
)
A.x,y
c22
0xy
1
B.
x,y
0x2
y21
C.x,y
c22
0xy
D.
x,y
0x2
2
y—
2
2
4.点P
1,2,1到平面
x2y2z
5
0的距离为(
).
A.3
B.4
C.5
D.6
5屈数z
2
2xy3x
2
2y的极大值为(
).
A.0
B.1
C.
1
D.-
2
6.设z
22
x3xyy,则
z
1,2(
).
x
A.6
B.7
C.8
D.9
7•若几何级数arn是收敛的,则().
n0
A.r1B.r1C.r1D.r1
8•幕级数n1xn的收敛域为().
n0
A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1
A.条件收敛B.绝对收敛
C.发散
D.不能确定
二填空题(4分5)
x
3
t
1.直线l过点A2,2,1且与直线
y
t
平行,则直线|的方程为
z
1
2t
9.级数是(
n1n
)
2.函数zexy的全微分为.
22
3.曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为
三.计算题(5分6)
1.设ai2jk,b2j3k,求ab.
2.设zu2vuv2,而u
xcosy,v
zz
xsiny,求——,——
y
3.已知隐函数z
zx,y由x3
3xyz2确定,求一,
z
x
y
4.如图,求球面
222
xyz
4a2与圆柱面x2y2
2ax(a0)所围的几何体的体积
1•试用二重积分计算由y,x,y2、、x和x4所围图形的面积
试卷2参考答案
一•选择题CBABACCDBA.二填空题
x2y2z1
1..
112
2.eydxxdy.
3.8x8yz4.
.n2n
4.1x.
n0
3
5.yx.
三.计算题
1.8i3j2k.
3x2sinycosycosy
siny,—
2x3sinycosysinycosy
x3
sin3y
cos3y
z
3.—
x
yzz
2,
xyzy
xz
xyz
5.yGe
四应用题
2x
C?
e
16
1.
3
2.X
2gt2v°t
Xo.
《高等数学》试卷
3(下)
、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,贝Ua与b的向量积为(
i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
点P(-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为(
函数z=xsiny在点(1,)处的两个偏导数分别为
4
B、
C、
“2
2
5、设x2+y2+z2=2Rx,
—,—分别为(
xy
6、设圆心在原点,半径为
R,面密度为
A、R2A
B、2R2A
C、3R2A
D、
的薄板的质量为
2
)(面积A=R)
1r2a
n
7、级数
1)n
—的收敛半径为(
n
C、1
8、
cosx的麦克劳林级数为(
2n
n0(怙
1)n
2n
x
(2n)!
1)n
2n
x
(2n)!
2n1
1)n(2h?
!
二、填空题(本题共5小题,每题
4分,共20分)
x
1、直线L1:
x=y=z与直线L2:
x1y2z
直线L3:
——-一—与平面3x2y6z0之间的夹角为
212
2、(0.98)2.03的近似值为,sin100的近似值为。
3、二重积分d,D:
x2y21的值为。
D
n
4、幕级数n!
xn的收敛半径为,—的收敛半径为。
n0n0n!
三、计算题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.
3、计算xyd,其中D由直线y1,x2及yx围成.
D
1
4、问级数
(1)nsin-收敛吗?
若收敛,则是条件收敛还是绝对收敛?
n1n
5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数
四、应用题(本题共2小题,每题10分,共20分)
1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。
参考答案
一、选择题
7、C8、A
9、B
1、D2、C3、C4、A5、B6、D
10,A
二、填空题
1、
ar
cos
18
8
arcsin-
21
2、0.96,0.17365
、0,+
x22
ce2,cx
二、计算题
2、解:
因为
x=t,y=t
2.3
z=t,
所以xt=1,yt=2t,zt=3t2,
所以Xt|t=i=1,y11t=i=2,z
11t=i=3
故切线方程为:
法平面方程为:
x1y1z1
〒〒~3~
(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0
即x+2y+3z=6
3、解:
因为D由直线y=1,x=2,y=x围成,
所以
D:
y
22
故:
xyd[xydx]dy
1yD
3
(2y帥
11
8
4、解:
这是交错级数,因为
Vn
11sin0,所以,Vn1Vn,且limsin
n
0,所以该级数为莱布尼兹型级数
sin1当x趋于0时,sinx~x,所以
1n
lim
n
1
sin—
n
1
1
1发散,从而
1,又级数nn
n1
故收敛。
1sin—发散。
1n5
所以,原级数条件收敛
w
1
12
、解:
因为
e
x
x
2!
x
(
7
)
用2x代x,
得:
2xe
1
(2x)
£(2x)2
1
2x
22
2
233
x
x
2!
3!
x(
J
)
O
四、应用题
13
1n
x
x
3!
n!
3!
(2x)3
1
1(2x)n
3!
n!
2nn
x
n!
1、解:
设长方体的三棱长分别为x,y,z
则2(xy+yz+zx)=a2
构造辅助函数
2
F(x,y,z)=xyz+(2xy2yz2zxa)
求其对x,y,z的偏导,并使之为0,得:
"yz+2
(y+z)=0
(x+z)=0
•xy+2
(x+y)=0
与2(xy+yz+zx)-a2=0联立,由于x,y,z均不等于零
6a
6
可得x=y=z
•6a3
36
代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=
所以,表面积为a2而体积最大的长方体的体积为Vxyz
2、解:
据题意
dM
dt
其中
M
0为常数
初始条件Mt0M°
对于処M式
dt
dM
dt
M
两端积分得InMtInC
所以,Mcet
又因为Mt0M0
所以,M0C
所以,MM0et
而按指数规律衰减
由此可知,铀的衰变规律为:
铀的含量随时间的增加
《高数》试卷4(下)
一•选择题:
31030
1.下列平面中过点(1,1,1)的平面是•
(A)x+y+z=O(B)x+y+z=1(C)x=1(D)x=3
2.在空间直角坐标系中,方程x2y22表示.
(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面
3.二元函数z(1x)2(1y)2
的驻点是
(A)(0,0)(B)
(0,1)
(C)(1,0)(D)(1,1)
4.二重积分的积分区域
x2
y24,则dxdy
D
(A)
(B)4
(C)3
(D)15
5.交换积分次序后
x
dx0f(x,y)dy
11
ndyf(x,y)dx
(A)y
1
(B)0dy0f(x,y)dx(C)
1y
0dy0f(x,y)dx
(D)
x1
0dy0f(x,y)dx
6.n
(A)n(B)0
阶行列式中所有元素都是1,其值是
(C)n!
(D)1
8.下列级数收敛的是
(A)
(1)nn1
3n
(B)—n12n
(C)
(1)"1
1n
(D)
1
n1、、n
9.正项级数
Un和
n1n
Vn满足关系
1
;式Un
vn
,则
(A)
若Un
收敛,
则
Vn收敛
(B)
若
Vn收敛,
则
Un收敛
n1
n1
n1
n
1
(C)
若Vn
发散,
则
Un发散
(D)
若
Un收敛,
则
Vn发散
n1
n1
n1
n
1
10.
已知:
1
1
xx2,
则1
的
勺幕级数展开
式为
1x
1
x2
(A)
1x2
x4
(B)1
x2x4
(C)
1x2
x4
(D)
二.填空题:
1x2x4
20
1.数z,x2y21ln(2x2y2)的定义域为
2.若f(x,y)xy,则f(#,1)
x
3•已知(x0,y°)是f(x,y)的驻点,若fxx(X0,,y°)3,fyy(x0,y°)12,fxy(X0,y°)a则
当时,(X0,y0)一定是极小点.
5.级数Un收敛的必要条件是.
n1
3.计算题
(一):
6530
1.已知:
zxy,求:
—,—-
xy
2.计算一重积分4x2d,其中D
D
{(x,y)|0
y
4x2,0x2}.
121
3.已知:
XB=A,其中A=1
1
2
3
B=0
1
2,求未知矩阵X
201
0
0
1
xn
4.求幕级数
(1)n1L的收敛区间.
n1n
$.求f(x)ex的麦克劳林展开式(需指出收敛区间)
四.计算题(
):
10220
1.求平面x—2y+z=2和2
x+y—z=4的交线的标准方程.
参考答案
一—.1.
C;2.D;3.D
二.1.
(x,y)11x
22
y
四.
1.解:
—
x
yxy
2.解:
-.4x2d
D
2
dx
0
127
3.解:
B101
2
00
1
4.解:
R1,当|x|
〈1时,
当x
1时,得匚
1)2n1
n1
n
5.解:
•因为ex
n
0n!
4.
2
z
x
AB
n1
$4x2
0
1
y
D;5.
xyiny
A;
6.
B;7.
B;8.
4.2
4x2dy
级数收敛,当
C;
9.B;10.
D.
5.
limun
n
2
0(4
2
15
x2)dx
4x
x=1时,得
(1)n
1n
1
-收敛,
—发散,所以收敛区间为
n
(,),所以ex
(1,1].
(
0n!
x)n
(1)nnxn0n!
ijk
4.1解:
•求直线的方向向量:
s121i
3j5k,求点:
令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所
《高数》试卷
(下)
21
1
以交线的标准方程为
:
x2yz
135
、选择题(3分/题)
1、
已知aij,b
2、
2
空间直角坐标系中x
1表示(
二元函数z
B圆面
sinxy亠
在(0,
x
B0
圆柱面
球面
0)点处的极限是(
不存在
交换积分次序后
11
dxxf(x,y)dy=
0
1
1
dy0f(x,y)dx
0
1
1
dy0f(x,y)dx
11
dyyf(x,y)dx
0
1
dy
0
y
0f(x,y)dx
重积分的积分区域D是
1,则
dxdy
D
D4
10、正项级数
un和vn满足关系式
n1n1
Un
Vn,则(
Un收敛,则
Vn收敛
n1
Vn收敛,则
1
Un收敛
1
C若vn发散,则
n1
Un发散
n1
Un收敛,则
1
Vn发散
n1
、填空题(4分/题)
1、空间点p(-1,2,-3)至^xoy平面的距离为
22
2、函数f(x,y)x4y6x8y2在点处取得极小值,极小值为
3、级数Un收敛的必要条件是
n1
三、计算题(6分/题)
1、已知二元函数zy2x,求偏导数—,—
xy
2、求两平面:
x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。
x2
3、计算二重积分2dxdy,其中D由直线x2,yx和双曲线xy1所围成的区域。
□y
求幕级数
(x1)nn15n
的收敛半径和收敛区间。
四、应用题(10分/题)
n1
1
1、判断级数
(1)—的收敛性,如果收敛,请指出绝对收敛还是条件收敛。
n1n
参考答案
、选择题
(3分/题)
DCBDA
ACBCB
、填空题(
4分/题)
1、3
2、(3,-1)-11
3、-34、0
5、limun0
n
、计算题(
6分/题)
1>—2y2xlny,
x
2x
2x1
y
2、
3、
4、
5、收敛半径R=3,收敛区间为(-4,6)
四、应用题(10分/题)
1、当p0时,发散;
0p1时条件收敛;
p1时绝对收敛