高等数学下考试题库附答案.docx
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高等数学下考试题库附答案
《高等数学》试卷1（下）
•选择题（3分10）
1.点M1
2,3,1到点M22,7,4
的距离M1M2
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量a
i2jk,b
2i
j，则有（
A.a//b
B.a丄b
C.ab3
D.：
a,b
3屈数y
1
x2y21
的定义域是
A.x,y1
x2
B.x,y1
x2
Dx,y1
C.x,y1
A.ab
0
B.a
b
0C.ab0D.ab0
5屈数z
3x
3
y
3xy的极小值是（）.
A.2
B.
2
C.1D.1
z
=（）.
6.设z
xsiny
，则
—
y
1,
4
恵
A.一
B.
C.J2D.<2
2
2
a与b垂直的充要条件是（
4.两个向量
1
7.若p级数—收敛，则（）
n1n
A.p1
B.p1C.p1
D.p1
8.幕级数
nx
的收敛域为（
）.
n1n
A.1,1
B
1,1C.
1,1
D.1,1
9.幕级数
x
n
在收敛域内的和函数是（
）
n02
1
A・-
1x
2
2
C.-
1x
1
D.-
2x
B.
2x
10・微分方程
xy
ylny
0的通解为（
）•
x
B.
x
x
D.ye
A.yce
ye
C.ycxe
1•一平面过点A0,0,3且垂直于直线
AB，其中点B2,1,1,则此平面方程为
填空题（4分5）
2•函数zsinxy的全微分是
2
323Z
3.设zxy3xyxy1，贝H
xy
1
4.^^的麦克劳林级数是.
2x
三•计算题（5分6）
1.设zeusinv,而u
xy,vx
y，求
z
J
z
x
y
2.已知隐函数zzx,y
2
由方程x
2y2
2z
4x
2z50确定，求—,—
xy
3.计算sin：
x2y2d
n
，其中D
.2
2x
2
y
42.
4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积
（
R为半径）.
四•应用题（10分2）
1•要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?
试卷1参考答案
一•选择题CBCADACCBD
二填空题
1.2xy2z60.
2.cosxyydxxdy•
22
3・6xy9y1•
1n
nnrxn02
5.y
C1
C2Xe
2x
三.计算题
.zxy■
1.eysinxx
cosxy
Zxy
exsinxycosxyy
Z
2.—
x
2
x
1,
z
y
2yz1.
z
2
2
3.
d
sin
d62
0
16
3
4.-
R3.
3
3x
2x
5.y
e
e
四.应用题
1.长、宽、高均为32m时，用料最省
12
2.yx.
3
《高数》试卷2（下）
1.选择题（3分10）
1.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.
A.旋
B.J13
C.『14
D.+'15
2.设两平面万程分别为
x2y2z
1
0和
xy
50，则两平面的夹角为（
）
A.—
B.—
C.一
D.-
-
6
4
3
2
3屈数z
.2arcsinx
y2的定义域为（
）
A.x,y
c22
0xy
1
B.
x,y
0x2
y21
C.x,y
c22
0xy
D.
x,y
0x2
2
y—
2
2
4.点P
1,2,1到平面
x2y2z
5
0的距离为（
）.
A.3
B.4
C.5
D.6
5屈数z
2
2xy3x
2
2y的极大值为（
）.
A.0
B.1
C.
1
D.-
2
6.设z
22
x3xyy，则
z
1,2（
）.
x
A.6
B.7
C.8
D.9
7•若几何级数arn是收敛的，则（）.
n0
A.r1B.r1C.r1D.r1
8•幕级数n1xn的收敛域为（）.
n0
A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1
A.条件收敛B.绝对收敛
C.发散
D.不能确定
二填空题（4分5）
x
3
t
1.直线l过点A2,2,1且与直线
y
t
平行，则直线|的方程为
z
1
2t
9.级数是（
n1n
）
2.函数zexy的全微分为.
22
3.曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为
三.计算题（5分6）
1.设ai2jk,b2j3k,求ab.
2.设zu2vuv2，而u
xcosy,v
zz
xsiny，求——,——
y
3.已知隐函数z
zx,y由x3
3xyz2确定，求一,
z
x
y
4.如图，求球面
222
xyz
4a2与圆柱面x2y2
2ax（a0）所围的几何体的体积
1•试用二重积分计算由y,x,y2、、x和x4所围图形的面积
试卷2参考答案
一•选择题CBABACCDBA.二填空题
x2y2z1
1..
112
2.eydxxdy.
3.8x8yz4.
.n2n
4.1x.
n0
3
5.yx.
三.计算题
1.8i3j2k.
3x2sinycosycosy
siny,—
2x3sinycosysinycosy
x3
sin3y
cos3y
z
3.—
x
yzz
2，
xyzy
xz
xyz
5.yGe
四应用题
2x
C?
e
16
1.
3
2.X
2gt2v°t
Xo.
《高等数学》试卷
3（下）
、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，贝Ua与b的向量积为（
i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（
函数z=xsiny在点（1,）处的两个偏导数分别为
4
B、
C、
“2
2
5、设x2+y2+z2=2Rx，
—，—分别为（
xy
6、设圆心在原点，半径为
R，面密度为
A、R2A
B、2R2A
C、3R2A
D、
的薄板的质量为
2
）（面积A=R）
1r2a
n
7、级数
1）n
—的收敛半径为（
n
C、1
8、
cosx的麦克劳林级数为（
2n
n0（怙
1）n
2n
x
（2n）!
1）n
2n
x
（2n）!
2n1
1）n（2h?
!
二、填空题（本题共5小题，每题
4分，共20分）
x
1、直线L1:
x=y=z与直线L2：
x1y2z
直线L3：
——-一—与平面3x2y6z0之间的夹角为
212
2、（0.98）2.03的近似值为,sin100的近似值为。
3、二重积分d,D:
x2y21的值为。
D
n
4、幕级数n!
xn的收敛半径为，—的收敛半径为。
n0n0n!
三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.
3、计算xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成.
D
1
4、问级数
（1）nsin-收敛吗？
若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛？
n1n
5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数
四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。
参考答案
一、选择题
7、C8、A
9、B
1、D2、C3、C4、A5、B6、D
10,A
二、填空题
1、
ar
cos
18
8
arcsin-
21
2、0.96,0.17365
、0,+
x22
ce2,cx
二、计算题
2、解：
因为
x=t,y=t
2.3
z=t,
所以xt=1,yt=2t,zt=3t2,
所以Xt|t=i=1,y11t=i=2,z
11t=i=3
故切线方程为:
法平面方程为:
x1y1z1
〒〒~3~
（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0
即x+2y+3z=6
3、解：
因为D由直线y=1,x=2,y=x围成,
所以
D:
y
22
故:
xyd[xydx]dy
1yD
3
（2y帥
11
8
4、解：
这是交错级数，因为
Vn
11sin0,所以，Vn1Vn,且limsin
n
0,所以该级数为莱布尼兹型级数
sin1当x趋于0时，sinx~x,所以
1n
lim
n
1
sin—
n
1
1
1发散,从而
1,又级数nn
n1
故收敛。
1sin—发散。
1n5
所以，原级数条件收敛
w
1
12
、解：
因为
e
x
x
2!
x
（
7
）
用2x代x,
得:
2xe
1
（2x）
£（2x）2
1
2x
22
2
233
x
x
2!
3!
x（
J
）
O
四、应用题
13
1n
x
x
3!
n!
3!
（2x）3
1
1（2x）n
3!
n!
2nn
x
n!
1、解：
设长方体的三棱长分别为x,y,z
则2（xy+yz+zx）=a2
构造辅助函数
2
F（x,y,z）=xyz+（2xy2yz2zxa）
求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得:
"yz+2
（y+z）=0
（x+z）=0
•xy+2
（x+y）=0
与2（xy+yz+zx）-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零
6a
6
可得x=y=z
•6a3
36
代入2（xy+yz+zx）-a2=0得x=y=z=
所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为Vxyz
2、解：
据题意
dM
dt
其中
M
0为常数
初始条件Mt0M°
对于処M式
dt
dM
dt
M
两端积分得InMtInC
所以，Mcet
又因为Mt0M0
所以，M0C
所以，MM0et
而按指数规律衰减
由此可知，铀的衰变规律为：
铀的含量随时间的增加
《高数》试卷4（下）
一•选择题：
31030
1.下列平面中过点（1,1,1）的平面是•
（A）x+y+z=O（B）x+y+z=1（C）x=1（D）x=3
2.在空间直角坐标系中，方程x2y22表示.
（A）圆（B）圆域（C）球面（D）圆柱面
3.二元函数z（1x）2（1y）2
的驻点是
（A）（0,0）（B）
（0,1）
（C）（1,0）（D）（1,1）
4.二重积分的积分区域
x2
y24，则dxdy
D
（A）
（B）4
（C）3
（D）15
5.交换积分次序后
x
dx0f（x,y）dy
11
ndyf（x,y）dx
（A）y
1
（B）0dy0f（x,y）dx（C）
1y
0dy0f（x,y）dx
（D）
x1
0dy0f（x,y）dx
6.n
（A）n（B）0
阶行列式中所有元素都是1,其值是
（C）n!
（D）1
8.下列级数收敛的是
（A）
（1）nn1
3n
（B）—n12n
（C）
（1）"1
1n
（D）
1
n1、、n
9.正项级数
Un和
n1n
Vn满足关系
1
;式Un
vn
，则
（A）
若Un
收敛,
则
Vn收敛
（B）
若
Vn收敛，
则
Un收敛
n1
n1
n1
n
1
（C）
若Vn
发散,
则
Un发散
（D）
若
Un收敛,
则
Vn发散
n1
n1
n1
n
1
10.
已知：
1
1
xx2,
则1
的
勺幕级数展开
式为
1x
1
x2
（A）
1x2
x4
（B）1
x2x4
（C）
1x2
x4
（D）
二.填空题:
1x2x4
20
1.数z,x2y21ln（2x2y2）的定义域为
2.若f（x,y）xy，则f（#,1）
x
3•已知（x0,y°）是f（x,y）的驻点，若fxx（X0,,y°）3,fyy（x0,y°）12,fxy（X0,y°）a则
当时，（X0,y0）一定是极小点.
5.级数Un收敛的必要条件是.
n1
3.计算题
（一）:
6530
1.已知：
zxy，求：
—,—-
xy
2.计算一重积分4x2d，其中D
D
{（x,y）|0
y
4x2,0x2}.
121
3.已知：
XB=A，其中A=1
1
2
3
B=0
1
2，求未知矩阵X
201
0
0
1
xn
4.求幕级数
（1）n1L的收敛区间.
n1n
$.求f（x）ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）
四.计算题（
）:
10220
1.求平面x—2y+z=2和2
x+y—z=4的交线的标准方程.
参考答案
一—.1.
C;2.D;3.D
二.1.
（x,y）11x
22
y
四.
1.解：
—
x
yxy
2.解：
-.4x2d
D
2
dx
0
127
3.解：
B101
2
00
1
4.解:
R1,当|x|
〈1时,
当x
1时，得匚
1）2n1
n1
n
5.解:
•因为ex
n
0n!
4.
2
z
x
AB
n1
$4x2
0
1
y
D;5.
xyiny
A；
6.
B;7.
B;8.
4.2
4x2dy
级数收敛，当
C；
9.B;10.
D.
5.
limun
n
2
0（4
2
15
x2）dx
4x
x=1时，得
（1）n
1n
1
-收敛,
—发散，所以收敛区间为
n
（,），所以ex
（1,1].
（
0n!
x）n
（1）nnxn0n!
ijk
4.1解：
•求直线的方向向量：
s121i
3j5k,求点:
令z=0,得y=0,x=2,即交点为（2,0.0）,所
《高数》试卷
（下）
21
1
以交线的标准方程为
:
x2yz
135
、选择题（3分/题）
1、
已知aij，b
2、
2
空间直角坐标系中x
1表示（
二元函数z
B圆面
sinxy亠
在（0,
x
B0
圆柱面
球面
0）点处的极限是（
不存在
交换积分次序后
11
dxxf（x,y）dy=
0
1
1
dy0f（x,y）dx
0
1
1
dy0f（x,y）dx
11
dyyf（x,y）dx
0
1
dy
0
y
0f（x,y）dx
重积分的积分区域D是
1,则
dxdy
D
D4
10、正项级数
un和vn满足关系式
n1n1
Un
Vn，则（
Un收敛，则
Vn收敛
n1
Vn收敛，则
1
Un收敛
1
C若vn发散，则
n1
Un发散
n1
Un收敛，则
1
Vn发散
n1
、填空题（4分/题）
1、空间点p（-1,2,-3）至^xoy平面的距离为
22
2、函数f（x,y）x4y6x8y2在点处取得极小值，极小值为
3、级数Un收敛的必要条件是
n1
三、计算题（6分/题）
1、已知二元函数zy2x，求偏导数—，—
xy
2、求两平面：
x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。
x2
3、计算二重积分2dxdy，其中D由直线x2，yx和双曲线xy1所围成的区域。
□y
求幕级数
（x1）nn15n
的收敛半径和收敛区间。
四、应用题（10分/题）
n1
1
1、判断级数
（1）—的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。
n1n
参考答案
、选择题
（3分/题）
DCBDA
ACBCB
、填空题（
4分/题）
1、3
2、（3，-1）-11
3、-34、0
5、limun0
n
、计算题（
6分/题）
1>—2y2xlny,
x
2x
2x1
y
2、
3、
4、
5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4,6）
四、应用题（10分/题）
1、当p0时，发散;
0p1时条件收敛;
p1时绝对收敛
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