广西中考数学复习第二部分专题综合强化专题4实际应用与方案设计问题针对训练.docx
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广西中考数学复习第二部分专题综合强化专题4实际应用与方案设计问题针对训练
第二部分 专题四
类型1 购买、销售、分配类问题
1．（2017·柳州）学校要组织去春游，小陈用50元负责购买小组所需的两种食品，买第一种食品共花去了30元，剩余的钱还要买第二种食品，已知第二种食品的单价为6元/件，问：
小陈最多能买第二种食品多少件？
解：
设最多能买第二种食品x件，
根据题意，得6x＋30≤50，
解得x≤
，
又∵食品的件数为整数，即第二种食品最多买3件．
答：
小陈最多能买第二种食品3件．
2．（2016·钦州）某水果商行计划购进A，B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格类型
进价（元/箱）
售价（元/箱）
A
60
70
B
40
55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？
（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的
，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？
此时利润为多少？
解：
（1）设A种水果购进x箱，则B种水果购进（200－x）箱．
根据题意，得60x＋40（200－x）＝10000，
解得x＝100，
则200－x＝100.
答：
A种水果购进100箱，B种水果购进100箱．
（2）设A种水果进货x箱，则B种水果进货（200－x）箱，售完这批水果的利润为w元，
则w＝（70－60）x＋（55－40）（200－x）＝－5x＋3000.∵－5＜0，
∴w随着x的增大而减小．
∵x≥
（200－x），
解得x≥50，
∴当x＝50时，w取得最大值，
此时w＝2750.
答：
进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．
3．（2018·宁波）某商场购进甲、乙种两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元．销售过程中发现甲种商品销售不好，商场决定：
甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品单价保持不变．要使两种商品全部售完共获利不少于2460元，问甲种商品按销售单价至少销售多少件？
解：
（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x＋8）元．
根据题意，得
＝
，解得x＝40.
检验：
当x＝40时，x（x＋8）≠0，
∴x＝40是分式方程的解，且符合题意．
则x＋8＝48.
答：
甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元．
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件．
由
（1）可得购进的甲、乙两种商品的件数都为50件．
根据题意，得（60－40）a＋（60×0.7－40）（50－a）＋（88－48）×50≥2460，
解得a≥20.
答：
甲种商品按原销售单价至少销售20件．
4．（2018·烟台）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
解：
（1）设本次试点投放的A型车有x辆，B型车有y辆．根据题意，
得
解得
答：
本次试点投放的A型车有60辆，B型车有40辆．
（2）由
（1）知A，B型车辆的数量比为3∶2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆，B型车2a辆，根据题意，
得3a×400＋2a×320≥1840000，
解得a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆，B型车至少2000辆，
则3000×
＝3（辆），
2000×
＝2（辆）．
答：
平均每100人至少享有A型车3辆，至少享有B型车2辆．
5．某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车每次共运35吨，3辆大型渣土运输车和2辆小型渣土运输车每次共运40吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该运输公司决定派出大小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于150吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？
解：
（1）设一辆大型渣土运输车每次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方y吨．
根据题意，得
解得
答：
一辆大型渣土运输车每次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方5吨．
（2）设该运输公司派出a辆小型渣土运输车，则派出大型渣土运输车（20－a）辆．
由题意可得10（20－a）＋5a≥150，
解得a≤10.∵a是整数，∴a最大为10，
答：
该运输公司最多派出10辆小型渣土运输车．
类型2 工程、生产、行程类问题
1．（2018·襄阳）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．
解：
设高铁的速度为x千米/时，则动车的速度为
＝0.4x千米/时．
依题意得
－
＝1.5，解得x＝325.
检验：
当x＝325时，0.4x≠0，
∴x＝325是原方程的根．
答：
高铁的速度为325千米/时．
2．随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代”，从我市到A市若乘坐普通列车，路程为650km，而乘坐高铁列车则为520km，高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的4倍，乘坐高铁列车从我市到A市所需时间比乘坐普通列车缩短8h.
（1）求高铁列车的平均速度；
（2）高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A市需要多长时间？
解：
（1）设普通列车的平均速度为xkm/h.则高铁的平均速度是4xkm/h.
依题意，得
－
＝8,解得x＝65，
检验：
当x＝65时，4x≠0，
∴x＝65是原分式方程的解，且符合题意，
则4x＝260.
答：
高铁列车的平均速度是260km/h.
（2）520÷260＝2（h），
答：
高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到A市需要2h.
3．（2018·抚顺）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的
倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
解：
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为
x米．
根据题意得
－
＝3，解得x＝40，
检验：
当x＝40时，
x≠0，
∴x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
则
x＝
×40＝60.
答：
乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作
天．
根据题意，得7m＋5×
≤145，
解得m≥10.
答：
至少安排甲队工作10天．
4．某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天．
（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？
（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．
解：
（1）设乙车间的加工能力每天是x件，则甲车间的加工能力每天是1.5x件．
根据题意，得
－
＝2,解得x＝40.
检验：
当x＝40时，1.5x≠0，
∴x＝40是分式方程的解，且符合题意则1.5x＝60.
答：
甲车间的加工能力每天是60件，乙车间的加工能力每天是40件．
（2）设甲、乙两车间合作m天，才能保证完成任务．根据题意，得m＋[1200－（40＋60）m]÷40≤15，
解得m≥10.
答：
甲、乙两车间至少合作10天，才能保证完成任务．
类型3 增长率问题
1．（2017·桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按
（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
解：
（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.
根据题意，得5000（1＋x）2＝7200，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（舍去）．
答：
该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.
（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）＝8640（万元）．
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500－m）台．
根据题意，得3500m＋2000（1500－m）≤86400000×5%，解得m≤880.
答：
2018年最多可购买电脑880台．
2．（2018·安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
解：
（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.
根据题意，得1280（1＋x）2＝1280＋1600，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（舍去）．
答：
从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励．
根据题意，得8×1000×400＋5×400（a－1000）≥5000000，解得a≥1900.
答：
2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
3．（2016·柳州）下表是世界人口增长趋势数据表：
年份x
1960
1974
1987
1999
2010
人口数量y（亿）
30
40
50
60
69
（1）请你认真研究上面数据表，求出从1960年到2010年世界人口每年增长多少亿人；
（2）利用你在
（1）中所得到的结论，以1960年30亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量y关于年份x的函数关系式，并求出这个函数的解析式；
（3）利用你在
（2）中所得的函数解析式，预测2020年世界人口将达到多少亿人．
解：
（1）从1960年到2010年世界人口平均每年增长（69－30）÷（2010－1960）＝39÷50＝0.78（亿人）．
（2）设人口数量y关于年份x的函数关系式为
y＝kx＋b，将x＝1960，y＝30；
x＝1974，y＝40分别代入y＝kx＋b，得
解得
故函数解析式为y＝
x－1370.
检验：
∵当x＝1987时，y≈50；当x＝1999时，y≈58；当x＝2010时，y≈66；
∴人口数量y与年份x之间的函数关系基本符合y＝
x－1370.
（3）∵当x＝2020时，
y＝
×2020－1370≈73，
答：
预测2020年世界人口将达到73亿人．
类型4 方案设计问题与最值问题
1．（2018·北部湾一模）某公司在北部湾经济区农业示范基地采购A,B两种农产品，已知A种农产品每千克的进价比B种多2元，且用24000元购买A种农产品的数量（按重量计）与用18000元购买B种农产品的数量（按重量计）相同．
（1）求A，B两种农产品每千克的进价分别是多少元．
（2）该公司计划购进A，B两种农产品共40吨，并运往异地销售，运费为500元/吨，已知A种农产品售价为15元/kg，B种农产品售价为12元/kg，其中A种农产品至少购进15吨且不超过B种农产品的数量，问该公司应如何采购才能获得最大利润，最大利润是多少？
解：
（1）设A种农产品每千克的进价是x元，则B种农产品每千克的进价是（x－2）元．
依题意得
＝
，解得x＝8，
检验：
当x＝8时，x（x－2）≠0，且符合题意，
故x＝8是原分式方程的解，x－2＝8－2＝6.
答：
A种农产品每千克的进价是8元，B种农产品每千克的进价是6元．
（2）设该公司购进A种农产品m吨，则购进B种农产品（40－m）吨．
依题意得m≤40－m，解得m≤20.
∵m≥15，∴15≤m≤20.
设该公司获得利润为y元，依题意得
y＝（15－8）×1000m＋（12－6）×1000（40－m）－40×500，
即y＝1000m＋220000.
∵1000＞0,y随m的增大而增大，
∴当m＝20时，y取最大值，
此时y＝1000×20＋220000＝240000（元），
∴B种农产品的数量为40－m＝20（吨）．
答：
该公司采购A，B两种农产品各20吨时能获得最大利润，最大利润为240000元.
2．（2018·来宾二模）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元．已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A，B型号衣服每件进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
解：
（1）设A型号衣服每件进价为x元，B型号衣服每件进价为y元．
根据题意，得
解得
答：
A型号衣服每件进价为90元，B型号衣服每件进价为100元．
（2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m＋4）件．
根据题意，得
解得
≤m≤12.
∵m为正整数，
∴m＝10,11,12,2m＋4＝24,26,28.
∴有三种进货方案：
①B型号衣服购进10件，A型号衣服购进24件；
②B型号衣服购进11件，A型号衣服购进26件；
③B型号衣服购进12件，A型号衣服购进28件．
3．（2017·河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
解：
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价为（x＋30）元．由题意得
＝
，解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，
则x＋30＝80.
答：
排球的单价是50元，足球的单价是80元．
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和足球n个．
由题意得50m＋80n＝1200，
整理，得m＝24－
n.
∵m，n都是正整数，
∴①当n＝5时，m＝16，②当n＝10时，m＝8.
∴有两种方案：
①购买足球5个，购买排球16个；②购买足球10个，购买排球8个．
4．（2018·湘西）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
解：
（1）根据题意，得
y＝400x＋500（100－x）＝－100x＋50000.
（2）∵100－x≤2x，∴x≥
＝33
，
∵y＝－100x＋50000中k＝－100＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取得最大值，最大值为46600.
答：
该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元．
（3）根据题意，得y＝（400＋a）x＋500（100－x），
即y＝（a－100）x＋50000，
33
≤x≤60.
①∵当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②a＝100时，a－100＝0，y＝50000，
即商店购进A型电脑数量满足33
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③∵当100＜a＜200时，a－100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
类型5 表演、比赛、租车类问题
1．某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：
每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得－1分．
（1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？
（2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场．
解：
（1）设该班胜x场，则该班负（10－x）场．
依题意得3x－（10－x）＝14，解得x＝6.
答：
该班胜6场，负4场．
（2）设甲班胜了x场，乙班胜了y场．
依题意有3x－（10－x）＝3[3y－（10－y）]，
化简，得3y＝x＋5，即y＝
.
∵x，y是非负整数，且0≤x≤5，x＞y，
∴x＝4，y＝3.
答：
甲班胜了4场，乙班胜了3场．
2．（2017·百色）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：
00开始，22：
30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
解：
（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个．
根据题意，得
解得
答：
九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个．
（2）设参与的小品类节目有a个．
根据题意，得12×5＋8×6＋8a＋15＜150，
解得a＜
.
∵a为整数，∴a的最大值为3，
答：
参与的小品类节目最多能有3个．
3．（2018·锦州）为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
解：
（1）设每辆小客车的座位数是x个，每辆大客车的座位数是y个．
根据题意，得
解得
答：
每辆大客车的座位数是40个，每辆小客车的座位数是25个．
（2）设租用小客车a辆，则25a＋40（10－a）≥310＋40，
解得a≤3
.
∵a为整数，∴a最大为3.
答：
最多租用小客车3辆．
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