中考数学几何部分专题.docx
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中考数学几何部分专题
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基本图形及其位置关系
一:
【课前预习】
(一):
【知识梳理】
1.直线、射线、线段之间的区别:
联系:
射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分,也是直线的一部分.
2.直线和线段的性质:
(1)直线的性质:
①经过两点直线,即两点确定一条直线;
②两条直线相交,有交点.
(2)线段的性质:
两点之间的所有连线中,线段最短,即两点之间,线段最短.
3.角的定义:
有公共端点的所组成的图形叫做角;角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
(1)角的度量:
把平角分成180份,每一份是1°的角,1°=60′,1′=60″
(2)角的分类:
(3)相关的角及其性质:
①余角:
如果两个角的和是直角,
那么称这两个角互为余角.
②补角:
如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.
③对顶角:
如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.
④互为余角的有关性质:
①∠1+∠2=90°
∠1、∠2互余;②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2=90○,∠1+∠3=90○,则∠2∠3.
⑤互为补角的有关性质:
①若∠A+∠B=180○
∠A、∠B互补;②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C=180○,∠A+∠B=180°,则∠B∠C.
⑥对顶角的性质:
对顶角相等.
(4)角平分线:
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
4.同一平面内两条直线的位置关系是:
相交或平行
5.“三线八角”的认识:
三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住:
同位角即位置相同的角;内错角要抓住“内部,两旁”;同旁内角要抓住“内部、同旁”.
6.平行线的性质:
(1)两条平行线被第三条直线所截,角相等,角相等,同旁内角互补.
(2)过直线外一点直线和已知直线平行.(3)两条平行线之间的距离是指在一条直线上
7.任意找一点向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.
8.平行线的定义:
在同一平面内.的两条直线是平行线。
9.如果两条直线都与第三条直线平行,那么.这两条直线互相平行.
10.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果内错角相等.那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.这三个条件都是由角的数量关系(相等或互补)来确定直线的位置关系(平行)的,因此能否找到两直线平行的条件,关键是能否正确地找到或识别出同位角,内错角或同旁内角.
11.常见的几种两条直线平行的结论:
(1)两条平行线被第三条直线所截,一组同位角的角平分线平行.
(2)两条平行线被第三条直线所截,一组内错角的角平分线互相平行.
(二):
【课前练习】
1.如果线段AB=5cm,BC=3cm,那么A、C两点间的距离是()
A.8cmB、2㎝C.4cmD.不能确定
2.计算:
⑴132°19′42″+26°30′28″=_____⑵34.51°=度分秒.
⑶92o3″-55°20′44″=_______;⑷33°15′16″×5=_____
3.下列说法中正确的个数有()
①线段AB和线段BA是同一条线段;②射角AB和射线BA是同一条射线;③直线AB和直线BA是同一条直线;④射线AC在直线AB上;⑤线段AC在射线AB上.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,直线a∥b,则∠ACB=________
5.如果一个角的补角是150○,那么这个角的余角是____________
二:
【经典考题剖析】
1.已知线段AB=20㎝,C为AB中点,D为CB上一点,E为DB的中点,且EB=3㎝,则CD=________cm.
解:
4点拨:
由题意,BC=0.5AB=10cm,DB=2EB=6cm,则CD=BC-DB=10-6=4(cm
2.如图所示,AC为一条直线,O是AC上一点,∠AOB=120°
OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC,.
(1)求∠EOF的大小;
(2)当OB绕O旋转时,OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线,
问:
OF、OF有怎样的位置关系?
你能否用一句话概括出这个命题
3.将一长方形纸片,按图的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD
的度数为()
A.60°B.75°C.90°D.95°
4.如图,AB∥EF∥DC,EG∥BD,则图中与∠1相等的角共有()
A.6个B.5个C.4个D.2个
5.如图,直线AD与AB、CD相交于A、D两点,EC、BF与
AB、CD交于点E、C、B、F,且∠l=∠2,∠B=∠C,
求证:
∠A=∠D.
三:
【课后训练】
1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度,用它们能摆成三角形的一组是()
A.1cm,2cm,3cmB.3cm,4cm,5cm
C.5cm,7cm,13cmD.7cm,7cm,15cm
2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线,如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角,那么∠A、∠B中较大的角的度数是________.
3.如图,AB⊥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()
A.0个B.l个C.2个D.3个
4.如图所示,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别平分
∠ABC和∠ACB.求∠BOC的度数.
5.已知:
△ABC的两边AB=3cm,AC=8cm.
(1)求第三边BC的取值范围;
(2)若第三边BC长为偶数,求BC的长;
(3)若第三边BC长为整数,求BC的长
6.如图,已知∠AOC与∠B都是直角,∠BOC=59○.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求∠AOB和∠DOC的度数;
(3)∠AOB与∠DOC有何大小关系;
(4)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,这种关系仍然成立吗?
7.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF,交CD于点G,
∠1=50○求∠2的度数.
8.如图,已知BD⊥AC,EF⊥AC,D、F为垂足,G是AB上一点,且∠l=∠2.
求证:
∠AGD=∠ABC.
9.已知:
如图,CD⊥AB于D,E是BC上一点,EF⊥AB于F.∠l=∠2.
求证:
∠AGD=∠ACB.
10.根据补角和余角的定义可知:
10○的补角是170○,余角为80○;15○的补角是165○,余角为75○;40○的补角是140○,余角为50○;52○的补角为128○,余角为38○……观察以上几组数据,你能得出怎样的结论?
请用任意角α代替题中的10○,15○,40○,52○,来说明你的结论.
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三角形
一:
【课前预习】
(一):
【知识梳理】
1.三角形中的主要线段
(1)三角形的角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
(2)三角形的中线:
连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
(3)三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边(或其延长线)引垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
(4)三角形的中位线:
连接三角形两边的中点的线段。
2.三角形的边角关系
(1)三角形边与边的关系:
三角形中两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边;
(2)三角形中角与角的关系:
三角形三个内角之和等于180o.
3.三角形的分类
(1)按边分:
(2)按角分:
4.特殊三角形
(1)直角三角形性质
①角的关系:
∠A+∠B=900;②边的关系:
③边角关系:
;④
⑤
;⑥
(2)等腰三角形性质
①角的关系:
∠A=∠B;②边的关系:
AC=BC;③
④轴对称图形,有一条对称轴。
(3)等边三角形性质
①角的关系:
∠A=∠B=∠C=600;②边的关系:
AC=BC=AB;
③
;④轴对称图形,有三条对称轴。
(4)三角形中位线:
5.两个重要定理:
(1)角平分线性质定理及逆定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等;到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上;三角形的三条角平分线相交于一点(内心)
(2)垂直平分线性质定理及逆定理:
线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等;到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心)
(二):
【课前练习】
1.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是()
A.1cm,2cm,4cmB.8crn,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cmD.2cm,3cm,6cm
2.若线段AB=6,线段DC=2,线段AC=a,则()
A.a=8B.a=4C.a=4或8D.4<a<8
3.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm,则此三角形的周长是()
A.15cmB.20cmC.25cmD.20cm或25cm
4.一个三角形三个内角之比为1:
1:
2,则这个三角形的三边比为_______.
5.如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=6,AC=3
,AD=2,∠D=90○,
求CD的长和四边形ABCD的面积.
二:
【经典考题剖析】
1.三角形中,最多有一个锐角,至少有_____个锐角,最多有______个钝角(或直角),三角形外角中,最多有______个钝角,最多有______个锐角.
2.两根木棒的长分别为7cm和10cm,要选择第三根棒,将它钉成一个三角形框架,那么第三根木棒长xcm的范围是__________
3.已知D、E分别是ΔABC的边AB、BC的中点,F是BE的中点.若面ΔDEF的面积是10,则ΔADC的面积是多少?
4.正三角形的边长为a,则它的面积为_____.
5.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点
H,则AH:
HE等于()
A.l:
1B.2:
1C.1:
2D.3:
2
三:
【课后训练】
1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度,用它们能摆成三角形的一组是()
A.1cm,2cm,3cmB.3cm,4cm,5cm
C.5cm,7cm,13cmD.7cm,7cm,15cm
2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线,如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角,那么∠A、∠B中较大的角的度数是________.
3.如图,OE是∠AOB的平分线,CD∥OB交OA于C,交OE于D,
∠ACD=50o,则∠CDE的度数是()
A.175°B.130°C.140°D.155°
4.如图,△ABC中,∠C=90○,点E在AC上,ED⊥AB,垂足
为D,且ED平分△ABC的面积,则AD:
AC等于()
A.1:
1B.1:
C.1:
2D.1:
4
5.在ΔABC中,AC=5,中线AD=4,则AB边的取值范围是()
A.1<AB<9B.3<AB<13
C.5<AB<13D.9<AB<13
6.如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,CB⊥AB,△ABD是等边
三角形,若AB=2,则CD=_______,BC=_________.
7.如图所示,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别平分
∠ABC和∠ACB.求∠BOC的度数.
8.已知:
△ABC的两边AB=3cm,AC=8cm.
(1)求第三边BC的取值范围;
(2)若第三边BC长为偶数,求BC的长;
(3)若第三边BC长为整数,求BC的长
9.已知△ABC,
(1)如图1-1-27,若P点是
ABC和
ACB的角平分线的交点,则
P=
;
(2)如图1-1-28,若P点是
ABC和外角
ACE的角平分线的交点,则
P=
;
(3)如图1-1-29,若P点是外角
CBF和
BCE的角平分线的交点,则
P=
。
10.已知:
如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连结DE,交BC于点P.
(1)求证:
PD=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
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全等三角形
一:
【课前预习】
(一):
【知识梳理】
1.全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”.
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等,简写成“角边角”或"ASA”
(3)两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜过直角边定理”或“HL”.
2.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.注意事项:
(1)说明两个三角形全等时,应注意紧扣判定的方法,找出相应的条件,同时要从实际图形出发,弄清对应关系,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
(2)注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等,另外已知两个三角形的两边
与一角对应相等的两个三角形也不一定全等.
(二):
【课前练习】
1.如图,若△ABC≌△DEF,∠E等于()
A.30°B.50°C.60°D、100°
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,再添加一个条件____,就可确定△ABD≌△ACD
3.在下列各组几何图形中,一定全等的是()
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形;B.两个等边三角形
C.腰长相等的两个等腰直角三角形
D.各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形
4.下列说法中不正确的是()
A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C.有一边对应相等的两个等边三角形全等
D.面积相等的两个直角三角形全等
5.在△ABC中,∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么在△ABC中与这个100°角对应的角是()
A.∠AB.∠BC.∠C或∠C
二:
【经典考题剖析】
1.如图,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,
则∠BCD的度数为()
A.145°B.130°C、110°D.70°
2.两个直角三角形全等的条件是()
A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等D.两条边对应相等
3.如图,点D、E、F分别为△ABC三边的中点,且S△DEF=2,
则△ABC的面积为()
A.4B.6C.8D.12
4.如图,已知AB=CD,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,
AE=CF,则图中全等三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
5.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线
段AB、DC、CA上的点,
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?
试证明你的结论.
三:
【课后训练】
1.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙
三个三角形中和△ABC全等的图形是()
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
2.如图,两个平面镜α,β的夹角为θ,入射光线AO平行于β入
射到α上,经两次反射后的反射光线CB平行于α,则∠α等于()
A.30oB.45oC.60oD.90o
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E、AD、
CE交于点H,请你添加一个适当的条件,使△AEH≌△CEB.你的
条件是,
4.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE.
(1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明.
你添加的条件是;
(2)证明:
5.如图,AC和BD相交于点O,AB=DC,∠A=∠D,
(1)请写出符合条件的五个结论(对顶角除外,且不添加辅助线)
(2)从你写出的五个结论中任选一个说明你的理由.
6.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?
并任选其中一对给予证明.
7.如图所示,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB.
求∠BOC的度数.
8.如图,AC和BD交于点O,OA=OC,OB=OD,试说明DC∥AB.
9.如图,已知AB、CD相交于点O,AC∥BD,OC=OD,E、F为AB
上两点,且AE=BF,试说明CE=DF.
10.如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,
BC=ED,点F是CD的中点
(1)求证:
AF⊥CD;
(2)在你连结BE后,还能得出什么新的结论?
请写出三个.(不要求证明)
平行四边形及密铺
一:
【课前预习】
(一):
【知识梳理】
1.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形,它是研究特殊四边形的基础,是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一.
2.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形的定义要抓住两点,即“四边形”和“两组对边分别平行”.
四边形的边角按位置关系可分为两类:
对边(没有公共端点的两条边);邻边(有一个公共端点的两条边)
对角(没有公共边的两个角);邻角(有一条公共边的两个角)
对角线:
不相邻的两个顶点连成的线段
3.两条平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离是一个定值,不随垂线段位置改变而改变,两条平行线间的距离处处相等.
4.平行四边形的性质:
平行四边形的两组对边分别平行;
平行四边形的两组对边分别相等;符号语言表达:
平行四边形的两组对角分别相等;
平行四边形的对角线互相平分.
5.平行四边形的判定:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言表达:
AB∥CD.BC∥AD
四边形ABCD是平行四边形
AB=CD,BC=AD
四边形ABCD是平行四边形.
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD
四边形ABCD是平行四边形.
OA=OC,OB=OD
四边形ABCD是平行四边形.
∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB
边形ABCD是平行四边形.
6.平面的密铺定义:
把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起,使得平面上不留空隙,不重叠,这就是平面图形的密铺,也叫平面图形的镶嵌.
7.对于限于用一种图形密铺的问题,有三角形、四边形和正六边形,如果能实现平面图形的密铺,密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角,于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角.
(二):
【课前练习】
1.四边形任意两个相邻的角都互补,那么这个四边形是________.
2.在四边形ABCD中,给出下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC,③∠A=∠C,④AD∥BC.能判断四边形是平行四边形的组合是_______
3.当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成__________时,多边形可以密铺.
4.请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若不能打“×”
(1)正方形();
(2)正七边形();(3)正六边形();(4)正三角形与正十边形();
(5)正方形与正八边形();(6)正三角形、正方形与正六边形();(7)任意四边形();(8)任意三角形().
5.n边形的每个内角等都等于120○,则n等于_____.
二:
【经典考题剖析】
1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比,其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是()
A.l:
2:
3:
4B.2:
3:
2:
3C.2:
3:
3:
2D.1:
2:
2:
3
2.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点,则可作出平行四边形()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是()
A.1<m<11;B.2<m<22;C.10<m<12;D.5<m<6
4.一个正多边形的每个外角都是36○,则这个多边形是_________边形.
5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,那么这个多边形的边数是_________.
三:
【课后训练】
1.平行四边形一组对角的平分线()
A.在同一条直线上;B.平行;C.相交;D.平行或在同一直线上
2.如图,在□ABCD中,如果点M为CD中点,AM与BD相交于点N那
么SΔDMN:
S□ABCD为()
A.1:
12B.1:
9C.1:
8D.1:
6
3.已知□ABCD的周长为30㎝,AB:
BC=2:
3,那么AB=___________㎝.
4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=10,BD=8,AB=x,则x的取值范围是()
A.1<x<9;B.2<x<18;C.8<x<10;D.4<x<5
5.现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有
45○角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并说明你的方案正确的理由.
6.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等.(只需说明一组线段相等即可)
(1)连接_______;
(2)猜想________
(3)说明理由.
7.如图,某村有一块四边形池塘,在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树,此村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘的面积扩大一倍,又保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形状,你认为该村能否实现这一设想?
若能,请你设计并画出图形;若不能请说明理由.
8.已知:
如图1―4―7在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任
意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?
说明你的理由.
9.小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工(如图1-4-61甲所示),他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1-4-61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)
10.用三种不