立体图形上的最短路径问题.docx
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立体图形上的最短路径问题
第8讲立体图形上的最短路径问题
_、方法技巧
解决立体图形上最短路径问题：
1•基本思路：
立体图形平面化，即化"曲”为“直”
2.“平面化”的基本方法：
（1）通过平移来转化
例如：
求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可
（2）通过旋转來转化
例如：
求4、C'两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
图1图2
例如：
求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
Af
（3）通过轴对称来转化
例如：
求圆柱形杯子外侧点〃到内侧点4的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯I】的对称点根据“两点之间，线段最短”可知即为最短距离
=>
3•储备知识点：
（1）两点之间，线段最短
（2）勾股定理
4.解题关键：
准确画出立体图形的平面展开图
二、应用举例
类型一通过平移来转化
【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5⑷，3伽和lcm
A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可II的食■物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到3点，最短线路是多少？
【答案】13c?
n
【解析】
试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到4点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.
试题解析：
解：
展开图如图所示，AB=a/52+122=l3cm
所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm
类型二通过旋转来转化
【例题2】如卞图，正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为&加，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点处吃食■物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？
D1
【答案】2741677?
【解析】
试题分析：
解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点河的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.
试题解析：
解：
如图1,设蚂蚁爬行的路径是AECf（在面ADDW上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AAEE与BBCC相连，连接AC\使E点在川匸上（如图2）
AC=yj^AB+BC）2+CC2=a/102+82=2冈（cm）
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为2顷加
【难度】一般
【例题3】如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底lc/n的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上II外侧距开II处1CM的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.
【答案】346777
【解析】
试题分析：
展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SE丄CD于E,求出SE、EF,根据勾股定理求出SF即可.
试题解析：
解：
如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S,F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，得到R应EF
SF=如+（18-1-1尸=346777
【难度】较易
【例题4]（2015-红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6/〃的正三角形
ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧
面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m（结果不取近似值）
【答案】3巧
【解析】
试题分析：
求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题,根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中ZBAP=90°,即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离3P长.
试题解析：
解：
作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为"，
由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得n；r'AC=7r-BC,
180
再由AC=BC=6m,可得2180。
故在展开的平面图形中，Z^AC=-x180°=90°
2
点B到P的最短距离为BP=Jab?
+4P=+3—
【难度】一般
类型三通过轴对称来转化
【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯I】内壁离杯1丨3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？
【答案】15厘米
【解析】
试题分析：
把圆柱展开，得到矩形形状，4、3的最短距离就是线段34’的长，根据勾股定理解答即可
试题解析：
解：
如图所示，作人点关于杯I】的对称点/T
则B4'=Jy+122=15厘米
B
【难度】较易三、实战演练类型一通过平移来转化
1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20d加、3d川、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可II的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为d〃・
【答案】25dm
【解析】
试题分析：
先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答
试题解析：
解：
如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20加,宽为（2+3）好加,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为人加”，
由勾股定理可得x2=20-+[（2+3）x3p,
解得x=25.
即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm.
20
【难度】较易类型二通过旋转来转化
2.（2015•陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m,高AB是5加，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？
【答案】13加
【解析】
试题分析：
把圆柱沿43侧面展开，连接AB,再根据勾股定理得出结论
试题解析：
解：
展开图如图所示，AC=l2m,BC=5m
AB=Vac2+BC2=7122+52=13〃？
丘12C
【难度】较易
3.有一个圆柱体，如图，高4®,底面半径5cm,A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离.
［答案］716+25^（^7）
【解析】
试题分析：
圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：
解：
・・・4〃=4,BC为底面周长的一半，即BC=5
・•・AC=JAB'+BC2=曲+（5兀丫=J16+25亦（c〃7）
【难度】较易
4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？
阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30（7",绕一圈升高（即圆柱的高）40口”,则它爬行一周的路程是多少？
（2）如果树干的周长是80s?
绕一圈爬行lOOcw,它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
【答案】
（1）50（77?
：
（2）6m
【解析】
试题分析：
（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为BC的长，求出AB的长即为葛藤树的最短路程
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高
试题解析：
解：
（1）如图，OO的周长为30cm,即AC=30cm
高是40cm,则BC=40cm,
由勾股定理得AB=y/AC2+BC2=50伽
故爬行一周的路程是50c//?
（2）OO的周长为80cw,即AC=SQcm
绕_圈爬行lOOc/n,则AB=100cnh高BC=6Qcm
•••树干高=60x10=600c/?
?
=6/?
7
故树干高6m
【难度】一般
5.
（2015•江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2,BC的中点为—只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）
A.、/B・JF7C・1D・2+J?
【答案】B
【解析】
试题分析：
根据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，进而利用勾股定理求出
试题解析：
解：
•・•蚂蚁从盒外的〃点沿正方体的表面爬到盒内的M点
・•・蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度
•・•无盖的正方体盒子的棱长为2,的中点为M
・•・4/=2+2=4側=1
A5M=>/42+l2=y/n
故选：
B
AiMp,
已C1
o
BC
【难度】较易
6•已知0为圆锥顶点，OA.OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）
【答案】C
【解析】
试题分析：
要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点它们所爬行的最短路线.试题解析：
解：
TC为OB中点,一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A
・••侧面展开图B0为扇形对称轴，连接AC即是最短路线
•.•另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,作出C关于0A的对称点，再利用扇形对称性得出关于B0的另一对称点，连接即可.
故选C
【难度】一般
7.（2014•枣庄）图①所示的正方体木块棱长为&加，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点4爬行到顶点万的最短距离为CM.
【答案】（30+3拆）脑
【解析】
试题分析：
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之河线段最短”得
出结果
试题解析：
解：
如答图，
易^/\BCD是等腰直角三角形，厶4仞是等边三角形,
在R3CD中，CD=JBC?
+BD?
=6y/2cm,
在RtAAC£中,AE=VAC2—CE2=3品cm9
・•・从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3>/2+3V6）C7H
【难度】一般
8•—个圆锥的母线长为0A=8,底面圆的半径尸2,若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）
【答案】8^2
【解析】
解：
设圆锥的展开图扇形0AA的中心角ZAQA1^度数为”,
则2x2x;r=竺空，解得：
7?
=90180
即ZAQA'=90
在心△404'中，根据勾股定理
AA^Sy/2
【难度】一般
9•如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
【答案】2^5
【解析】
试题分析：
根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一个端点,而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点3和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离
试题解析：
解：
设圆锥的展开图的圆心角为”，
〃兀x4
贝iJ2x2x^=,解得：
77=180°
180
即ZC4Cr=180°
在展开图中，54丄CC',54=4,AP=2
由勾股定理得，BP=jn压=2书
点评：
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键
【难度】较难
10.
（1）^图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC=3cm,AB=4cm,=5cw,盒子的内部顶点G处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点4处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点q处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲
c\处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法
（2）如果
（1）问中的长方体的棱长分别为AB=BC=6cm,AA,=14cm,如图②，假设昆虫甲从盒内顶点G以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C\C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点4以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】
（1）AtEtC；就是最短路径
（2）5秒
【解析】
解：
（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即4、人、Q三点共
线，AA+AD=5+3=8DG=4
根据勾股定理得如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即A、〃、d三点共线
AB+码=4+5=9,BG=3根据勾股定理得AC严侦
如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即4、3、C三点共线.
A3+3C=4+3=7,CC严5
根据勾股定理得AC严帀
IV74/90
:
.最短路程是\fl4cni・
Er
*
A4E3C
图四
在图四中，•:
山BEs»CC\
BE_AB
：
t~CC~~AC
・BE420
••=—,l5L=—
577
如图一，在BB、上取一点使BE=—9连接AE,EC、,AtEtC；就是最短路径
（2）如图五，设ClF=x,则AF=3x,CF=5-x
在RbACF中，根据勾股定理得
AF2=AC2+CF2即：
（3x）2=（6+6）2+（14-x）2
17
解得：
人=5,禺=—一
-2
Vx>0
・°・x=5
所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.
图五
点评：
在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：
在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长
【难度】较难
11・如图，A是高为10。
加的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30。
角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（）
【解析】
试题分析：
将圆柱侧面展开，连接43,根据三角函数求出的长即可
试题解析：
解：
根据题意得，BC=10cm,ABAC=30°
•••AB=BC^Sin30°=10--=20cm
2
故选B・
【难度】一般
12・如图，是一个长4加，宽3加，高2加的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）
A.4.8B・V29C.5D・3+2a/2
【答案】C
【解析】有两种展开方法：
①长方体展开成如图所示，连接A
根据两点之间线段最短，AB=y/52+22=V29：
②将长方体展开成如图所示，连接4、B,则AB=yl32+42=5<>/29；
3
A
故选C・
【难度】较易
13.（2015-2016•内蒙古包头）如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm点B距离C点5cw,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点需要爬行的最短距离
【答案】25
【解析】
试题分析：
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.
试题解析：
解：
如图：
（1）AB=y/Bff+AD2=a/152+202=25
（2）4B=JAE'+BE'=J10,+25?
二5何；
（3）AB=VAC2+BC2=>/302+52=5^37・
RC
A
所以需要爬行的最短距离是25.
【难度】较难
14.已知：
如图，一个玻璃材质的长方体，其中AB=&BC=4,BF=6,在顶点E处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E.则此蚂蚁爬行的最短距离为.
RS
:
、
歹曰C
AS
【答案】V109
【解析】
试题分析：
要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将£、0（设面BCSF的中心为点0）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段E0的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：
解：
设面BCSF的中心为点0,根据题意，最短路径有下列两种情况：
①如图1,沿SF把长方体的侧面展开，
蚂蚁爬行的最短距离=J（8+6一2）'+（4一2『=5书
②如图2,沿BF把长方体的侧面展开,
蚂蚁爬行的最短距离=J（8+4一2）'+（6一2）'=V109
且BC
图2
•・•5x/5>5/109
故此蚂蚁爬行的最短距离是V109
【难度】较难
15.如图，圆柱形容器中，高为1・2皿底面周长为1皿在容器内壁离容器底部0.3加的点B
••
处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿03〃与蚊子相对的点A处，则壁
••••
虎捕捉蚊子的最短距离为加（容器厚度忽略不计）.
【答案】1.3加
【解析】
试题分析：
将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点2,,根据两点之间线段最短可知的长度即为
所求
试题解析：
解：
要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC上找一点P,使刊+PB最短，
过点A作£C的对称点/V,连结A'B.则与的交点P就是所求的点P
因为两点之间，线段最短，/矽的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离
T底面周长为1/H
/.4'£）=0.5〃?
，BD—1.2〃？
A^B=yjA^D^+BD2=V0.52+1.22=l.3m
D
【难度】一般
类型三通过轴对称来转化
16.—只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶II的距离AC为12肋,点B到桶II的距离BD为8cmCD的长为15®,那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？
【答案】25cm
【解析】
试题分析：
如图，作点B关于CD的对称点万,，连结AB\交CD于点P,连结则最短路线应该
是沿AP、阳即可
试题解析：
解：
如下图所示，作点B关于CD的对称点连结AB\交CD于点P,则蚂蚁的爬
行路线AtPtF为最短，且AP+PB=AP+P^
在R仏AEB'中，AE=CD=15,EB'=ED+DB^AC-^-BD=12+3=20
由勾股定理知43’=25
所以，蚂蚁爬行的最短路程是25伽
AE
【难度】一般
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