学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程实际问题教案.docx

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学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程实际问题教案

九年级数学上册第二十一章一元二次方程实际问题与一元二次方程

学习案

（一）有习题答案

教学内容

由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

教学目标

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．

重难点关键

1．重点：

用“倍数关系”建立数学模型

2．难点与关键：

用“倍数关系”建立数学模型

教学过程

一、复习引入

（学生活动）问题1：

列方程解应用题

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：

股票每天交易结果时的价格）：

星期

一

二

三

四

五

甲

12元

12.5元

12.9元

12.45元

12.75元

乙

13.5元

13.3元

13.9元

13.4元

13.75元

某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？

老师点评分析：

一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．

解：

设这人持有的甲、乙股票各x、y张．

则

解得

答：

（略）

二、探索新知

上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？

请同学们完成下面问题．

（学生活动）问题2：

某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

老师点评分析：

直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．

解：

设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31

去括号：

1+1+x+1+2x+x2=3.31

整理，得：

x2+3x-0.31=0

解得：

x=10%

答：

（略）

以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：

设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．

解：

设平均增长率为x

则200+200（1+x）+200（1+x）2=950

整理，得：

x2+3x-1.75=0

解得：

x=50%

答：

所求的增长率为50%．

三、巩固练习

（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．

四、应用拓展

例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：

设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．

解：

设这种存款方式的年利率为x

则：

1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：

1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：

x1=-2（不符，舍去），x2=

=0.125=12.5%

答：

所求的年利率是12．5%．

五、归纳小结

本节课应掌握：

利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．

六、布置作业

1．教材P53复习巩固1综合运用1．

2．选用作业设计．

作业设计

一、选择题

1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．

A．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250

C．100（1-x）2=250D．100（1+x）2

2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．

A．（1+25%）（1+70%）a元B．70%（1+25%）a元

C．（1+25%）（1-70%）a元D．（1+25%+70%）a元

3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．

A．

B．pC．

D．

二、填空题

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．

3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．

三、综合提高题

1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：

2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．

3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?

（用代数式来表示）（注：

年获利率=

×100%）

（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

答案:

一、1．B2．B3．D

二、1．6（1+x）6（1+x）26+6（1+x）+6（1+x）2

2．a（1+x）2t

3．

三、1．平均增长率为x，则1600（1+x）2=1936，x=10%

2．设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：

则

即16x2+56x-15=0，解得x=

=25%，y=20（台）

3．

（1）第一年年终总资金=50（1+P）

（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：

P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%

22.3实际问题与一元二次方程

（2）

教学内容

建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．

教学目标

掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．

重难点关键

1．重点：

如何全面地比较几个对象的变化状况．

2．难点与关键：

某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．

问题：

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

老师点评：

总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+

×100）

解：

设每张贺年卡应降价x元

则（0.3-x）（500+

）=120

解得：

x=0.1

答：

每张贺年卡应降价0.1元．

二、探索新知

刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?

如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?

即绝对量与相对量之间的关系．

例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

分析：

原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；

，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．

解：

（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

（2）乙种贺年卡：

设每张乙种贺年卡应降价y元，

则：

（0.75-y）（200+

×34）=120

即（

-y）（200+136y）=120

整理：

得68y2+49y-15=0

y=

∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）

y≈0.23元

答：

乙种贺年卡每张降价的绝对量大．

因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．

（学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

老师点评：

绝对量：

甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

相对量：

从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?

也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?

下面我们通过计算来说明这个问题．

解：

设甲种药品成本的年平均下降率为x，

则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

依题意，得5000（1-x）2=3000

解得：

x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

设乙种药品成本的平均下降率为y．

则：

6000（1-y）2=3600

整理，得：

（1-y）2=0.6

解得：

y≈0.225

答：

两种药品成本的年平均下降率一样大．

因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．

三、巩固练习

新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：

当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：

当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?

四、应用拓展

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：

（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过

=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：

（1）销售量：

500-5×10=450（kg）；销售利润：

450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

解得：

x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

五、归纳小结

本节课应掌握：

建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

六、布置作业

1．教材P53复习巩固2综合运用7、9．

2．选用作业设计：

一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．

A．12%B．15%C．30%D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．

A．600B．604C．595D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．

三、综合提高题

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?

（用含a、b的代数式表示）

（2）若一名检验员1天能检验

b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?

答案：

一、1．C2．B3．D

二、1．22．13．（1-

）2=

三、1．甲：

设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%

乙：

设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，

那么乙商场年均利润的上升率大．

2．设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），

整理，得：

x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，

解得x1=20，x2=380

3．

（1）

=a+2b或

（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．

所以a+2b=

，解得：

a=4b

所以（a+2b）÷

b=6b÷

b=

=7.5（人）

所以至少要派8名检验员．

22.3实际问题与一元二次方程（3）

教学内容

根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．

教学目标

掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．

重难点关键

1．重点：

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．

2．难点与关键：

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？

一般三角形的面积公式是什么呢？

2．正方形的面积公式是什么呢？

长方形的面积公式又是什么？

3．梯形的面积公式是什么？

4．菱形的面积公式是什么？

5．平行四边形的面积公式是什么？

6．圆的面积公式是什么？

（学生口答，老师点评）

二、探索新知

现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．

例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

分析：

因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．

解：

（1）设渠深为xm

则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m

依题意，得：

（x+2+x+0.4）x=1.6

整理，得：

5x2+6x-8=0

解得：

x1=

=0.8m，x2=-2（舍）

∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．

（2）

=25天

答：

渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

学生活动：

例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

老师点评：

依据题意知：

中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：

7，由此可以判定：

上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：

7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：

中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的

，则中央矩形的面积是封面面积的．

所以（27-18x）（21-14x）=

×27×21

整理，得：

16x2-48x+9=0

解方程，得：

x=

，

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：

9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．

三、巩固练习

有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?

（精确到0．1尺）

四、应用拓展

例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：

过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：

）

分析：

（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．

（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：

AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．

解：

（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．

则：

（6-x）·2x=8

整理，得：

x2-6x+8=0

解得：

x1=2，x2=4

∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．

（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有

∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：

AC=

=10

∴DQ=

则：

（14-y）·

=12.6

整理，得：

y2-18y+77=0

解得：

y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，

∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．

∴本小题只有一解y1=7．

五、归纳小结

本节课应掌握：

利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P53综合运用5、6拓广探索全部．

2．选用作业设计:

一、选择题

1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．

A．

B