丰台区高三数学期末试题及答案.docx

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丰台区高三数学期末试题及答案

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习

高三数学2020.01

第一部分（选择题

共40分）

一、选择题共

10小题，每小题

4分，共

40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合A

{x|1

x

3}，B

{x|

1

x

2}，则AB

（A）{x|

1x3}

（B）{x|

1x1}（C）{x|1

x2}

（D）{x|2x3}

2．命题“

x0（0,+），lnx0

x0

1”的否定是

（A）

x0

（0,+

），lnx0

x0

1

（B）x0

（0,+

），lnx0

x0

1

（C）

x

（0,+

），lnxx

1

（D）

x

（0,+

），lnx

x1

3．下列函数中，既是偶函数又在区间

（0,

）上单调递增的是

（A）y

x

（B）yx2

1

（C）y

cosx

（D）y

1

x2

4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系

O

xyz中的坐标分别是

（0,0,0）

，（0,0,1），（11,,0），（1,0,1），

则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为

（A）1

（B）1

（C）3

（D）1

4

2

4

5．已知菱形ABCD边长为1，

BAD=60

，则BDCD=

（A）

1

（B）

1

（C）

3

（D）

3

2

2

2

2

6．双曲线4x2

y2

1的离心率为

（）

5

（B）

5

（）

3

（

D

）

3

A

2

C

2

7．已知公差不为0的等差数列

an

，前n项和为Sn，满足S3

S1

10，且a1,a2,a4

成等比数列，则a3

（A）2

（B）6

（C）5或6

（D）12

1

8.在（x2）6的展开式中，常数项是x

丰台区高三数学期末考试试题第1页/共12页

（A）20（B）15（C）15（D）30

9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：

m/s），

鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q成正比.当v1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单

100

位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为

（A）1800（B）2700（C）7290（D）8100

10.在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足DE‖BC且

AD

（

（0,1）），将△ADE沿直线DE折到△ADE的位置.

在翻折过程中，下列结论成立的是

AC

（A）在边AE上存在点F，使得在翻折过程中，满足

BF‖平面ACD

（B）存在

1

ABC平面BCDE

（0,），使得在翻折过程中的某个位置，满足平面

2

（C）若

1

AB

10

，当二面角ADEB为直二面角时，

4

2

（D）在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为f（），f（）的最大值为

23

9

第二部分（非选择题

共110分）

二、填空题共

6小题，每小题

5分，共30分．

11.

复数

1

的实部为

．

1+i

12.

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的

6

个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，右图就是一重卦．如果某

重卦中有2个阳爻，则它可以组成

种重卦．（用数字作答）

13.

已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，c2

2ab且sinA

1

sinC，则cosA

．

2

14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：

①所有的奇数项满足a2n1a2n1，所有的偶数项满足a2na2n2；

②任意相邻的两项a2n1，a2n满足a2n1a2n.

根据上面的信息完成下面的问题：

（i）数列1，2，3，4，5，6“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；

丰台区高三数学期末考试试题第2页/共12页

（ⅱ）若ann

n2

“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.

（1）

，则数列an

n

15．已知抛物线C：

y2

4x的焦点为F，则F的坐标为

；过点F的直线交抛物线C于A,B两

点，若AF

4，则△AOB的面积为

．

16．定义域为R的函数f（x）同时满足以下两条性质：

①存在x0R,使得f（x0）0；

②对于任意xR，有f（x1）2f（x）.

根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.

（i）若f（x）是增函数，则f（x）；

（ⅱ）若f（x）不是单调函数，则f（x）.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17.（本小题共

13分）

已知函数f（x）sinxcosx3cos2x.

（Ⅰ）求

f（

π

）的值；

3

（Ⅱ）求

f（x）在区间[0,

π

上的最大值.

]

2

18.（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC

A1B1C1中，AA1

平面ABC，BAC

π

，

2

AA1ABAC1，CC1的中点为H.

（Ⅰ）求证：

AB

AC；

1

（Ⅱ）求二面角A1

BCA的余弦值；

（Ⅲ）在棱A1B1上是否存在点

N，使得HN‖平面A1BC？

若存在，求

出A1N的值；若不存在，请说明理由．

A1B1

丰台区高三数学期末考试试题第3页/共12页

19.（本小题共13分）

目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上

万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地

流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其

它垃圾四类.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：

回收利用

1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省

造纸能源消耗40％～50％.

现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下

表：

A小区

B小区

C小区

D小区

E小区

废纸投放量（吨）

5

5.1

5.2

4.8

4.9

塑料品投放量（吨）

3.5

3.6

3.7

3.4

3.3

（Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取

1

个小区，求该小区12

月份的可回收物中，废纸投放量超过

5吨且塑料品投放量超过

3.5吨的概率；

（Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取

2

个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过

4吨的

小区个数，求X的分布列及期望．

20.（本小题共13分）

x2

y2

1

C的短半轴长为半径的圆与直

已知椭圆C:

2

b

21（ab0）的离心率为

2

，以原点为圆心，椭圆

a

线xy60相切.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，

QS分别交直线x4于A，B两点.求证：

A，B两点的纵坐标之积为定值.

21.（本小题共14分）

已知函数f（x）

1

3

（a

1）

2

ax.

x

x

3

2

（Ⅰ）当a1时，求曲线y

f（x）在点（0,f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数

f（x）的单调性；

x1，x2

[0,2]，都有f（x1）f（x2）

2

（Ⅲ）对于任意

，求实数a的取值范围.

3

丰台区高三数学期末考试试题第4页/共12页

22.（本小题共13

分）

已知nN*，n

2，给定n

n个整点（x,y）,其中1x,y

n,x,yN*

.

（Ⅰ）当n

2

时,从上面的

22个整点中任取两个不同的整点

（x1,y1）,（x2,y2），求x1

x2的所有可能

值；

（Ⅱ）从上面

nn个整点中任取m个不同的整点，m

5n

1.

2

（i）证明：

存在互不相同的四个整点

（x1,y1）,（x1,y1）,（x2,y2）,（x2,y2），满足y1

y1,

y2

y2,y1y2；

（ii）证明：

存在互不相同的四个整点（x1,y1）,（x1,y1）,（x2,y2）,（x2,y2），满足

x1x1x2x2,y1y2.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习

高三数学参考答案及评分参考

2020．01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

题号12345678910

答案CCBBAABCDD

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．112．1513．7

28

14．是；是15．（1,0）；4316．2x；2xsin2x（答案不唯一）

3

注：

第14、15、16题第一空3分，第二空2分.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17.（本小题共13分）

丰台区高三数学期末考试试题第5页/共12页

解：

（Ⅰ）

π

π

π

2π

f（）sin

cos

3

3cos

3

3

3

3

1

3

（

1

）2

2

2

2

3

.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.（Ⅱ）

2

f（x）sinxcosx3cos2x

1

3

cos2x

1

sin2x

2

2

sin（2x

π

3

）

.

3

2

因为x[0,

π

ππ4π

]，所以

2x

[,

].

2

3

3

3

ππ

π

当2x

，即x

时，

3

2

12

f（x）取得最大值

1

3

.

2

18.（本小题共14

分）

证明：

（Ⅰ）因为AA1

平面ABC，AB

平面ABC，所以AA1AB.

因为

BAC

π，所以AC

AB.

2

又因为AC

AA1

A，

所以AB

平面AAC.

1

因为

AC

平面

A1AC

，所以

ABAC

1

1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

AB，AC，AA1两两互相垂直，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.4

如图，建立空间直角坐标系Axyz．

因为AA1ABAC1，

丰台区高三数学期末考试试题第6页/共12页

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1）.

因为AA1

平面ABC，

所以AA1

（0,0,1）即为平面ABC的一个法向量.

设平面A1BC的一个法向量为

n（x,y,z），

AB

（1,0,

1），AC

（0,1,

1），

1

1

则

nA1B

0,

x

z

0

即

nA1C

0.

y

z

0.

令z

1，则x

1,y

1.

于是n（1,1,1）.

AA1

n

3

所以cosAA1,n

n

.

AA1

3

由题知二面角ABC

A为锐角，所以其余弦值为

3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯10.分

.

1

3

（Ⅲ）假设棱A1B1上存在点

N（x,y,z），使得HN‖平面A1BC.

由AN

AB（0

1），又AB

（1,0,0），故AN

（,0,0）.

1

1

1

1

1

1

1

因为C1（0，1，1），H为CC1的中点，所以H（0，1，）.

2

1

所以HNHA1A1N（,-1,）.

2

若HN‖平面A1BC，则HNn

-1+1

0，解得

1

[0,1].

2

2

又因为HN

平面A1BC.

所以在棱A1B1上存在点N，使得HN‖平面A1BC，且

A1N

1

A1B1

.

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯14.分

19．（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.

丰台区高三数学期末考试试题第7页/共12页

由题意，有B，C两个小区

12月份的可回收物中废纸投放量超过

5吨且塑料品投放量超过

3.5吨，

所以

P（A）

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.

.

5

（Ⅱ）因为回收利用

1

吨废纸可再造出

0.8吨好纸，

所以12月份投放的废纸可再造好纸超过

4吨的小区有B，C，共2个小区.

X的所有可能取值为

0，1，2.

P（X

0）

C32

3

；

C52

10

P（X

1）

C31

C21

6

3

C52

；

10

5

P（X

2）

C22

1

.

C52

10

所以X的分布列为:

X

0

1

2

P

3

3

1

10

5

10

E（X）0

3

3

2

1

4

10

1

．

5

10

5

⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分

20.（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

x

y

6

0相切，

所以半径b等于原点到直线的距离

d，b

0

0

6

，即b

3.

d

1

1

由离心率e

1

，可知c

1

，且a2

b2

c2，得a

2.

2

a

2

故椭圆C的方程为x2

y2

1.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.

4

3

（Ⅱ）由椭圆C的方程可知S（2,0）.

若直线l的斜率不存在，则直线

l方程为x

1，

所以P（1,3）,Q（1,

3）.

2

2

则直线PS的方程为3x

2y

6

0，直线QS的方程为3x

2y

6

0.

令x4，得A（4,-3），B（4,3）.

丰台区高三数学期末考试试题第8页/共12页

所以A，B两点的纵坐标之积为

9

.

若直线l的斜率存在，设直线l

的方程为

yk（x

1）（k

0）,

由y

k（x

1）

得（34k2）x2

8k2x

4k2

12

0，

3x2

4y2

12

0

依题意

0恒成立.

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）（x1,x2

0），

则x1

x2

8k2

x1x2

4k2

12.

3

4k2

3

4k2

设A（4,yA）B（4,yB），

由题意P，S，A三点共线可知

yA

y1

，

2

x12

4

所以点A的纵坐标为yA

2y1.

x12

同理得点B的纵坐标为yB

2y2.

x2

2

所以yAyB

2y1

2y2.

x12

x22

4k2

x1x2

（x1

x2）1

x1x2

2（x1

x2）4

4k2

4k2

12

8k2

4k2

3

4k2

12

2

8k2

4（4k2

3）

29

4k4k2

9

综上，A，B两点的纵坐标之积为定值.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯13.分

21．（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）当a1时，因为

f（x）

1

3

x

2

x

x

3

所以f（x）

x2

2x1

，f

（0）

1

.

又因为f（0）

0

，

所以曲线y

f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为yx.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.4

丰台区高三数学期末考试试题第9页/共12页

（Ⅱ）因为

f（x）

1

x3（a

1）

x2

ax，

3

2

所以f（x）x2

（a1）xa0.

令f

（x）

0

，解得x

a或x

1.

若a

1

，当f

（x）

0

即x

1

或xa时，函数f（x）单调递增；

当f

（x）

0

即

1

x

a时，函数f（x）单调递减.

若a

1，则f（x）

x2

2x1（x1）2

0，

当且仅当x

1时取等号，函数

f（x）是增函数.

若a

1，当f

（x）

0即x

a或x1时，函数f（x）单调递增.

当f

（x）

0

即a

x1时，函数f（x）单调递减.

综上，a1时，函数

a1时，函数

a1时，函数

f（x）单调递增区间为

f（x）单调递增区间为

f（x）单调递增区间为

（

1）,（a,+），单调递减区间为

（1,a）；

（

）；

（

a）,（1,+），单调递减区间为

（a,1）.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.9

（Ⅲ）

令f

（x）x2

（a1）x

a

0，解得xa或x1.

当a

0时，随x变化，

f

（x）,f（x）变化情况如下表：