丰台区高三数学期末试题及答案.docx

1、丰台区高三数学期末试题及答案丰台区20192020学年度第一学期期末练习高三数学 2020.01第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合Ax|1x3，Bx|1x2，则AB（A）x|1x3（B）x|1x1（C）x|1x2（D）x|2x32命题“x0(0,+)，lnx0x01”的否定是（A）x0(0,+)，lnx0x01（B）x0(0,+)，lnx0x01（C）x(0,+)，lnxx1（D）x(0,+)，lnxx13下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是（A）yx（B）yx21（C）ycosx（D）y

2、1x24一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(11,0)，(1,0,1)，则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（A）1（B）1（C）3（D）14245已知菱形ABCD边长为1，BAD=60，则BDCD=（A）1（B）1（C）3（D）322226双曲线4x2y21的离心率为（）5（B）5（）3（D）3A2C27已知公差不为0的等差数列an，前n项和为Sn，满足S3S110，且a1,a2,a4成等比数列，则a3（A）2（B）6（C）5或6（D）1218. 在(x2)6的展开式中，常数项是x丰台区高三数学期末考试试题 第1页/共12页（A

3、） 20 （B） 15 （C）15 （D）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵 .记鲑鱼的游速为 v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q.科学研究发现 v与log3Q成正比.当v 1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单100位数为900.当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为（A）1800 （B） 2700 （C）7290 （D）810010. 在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足DEBC且AD(0,1)，将ADE沿直线DE折到ADE的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是AC（A）在边AE上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF平面AC

4、D（B）存在1ABC平面BCDE(0,)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面2（C）若1AB10，当二面角ADEB为直二面角时，42（D）在翻折过程中，四棱锥 A BCDE体积的最大值记为 f( )，f()的最大值为239第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.复数1的实部为1+i12.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦（用数字作答）13.已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，c22ab且sinA1sinC，则cosA21

5、4. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足a2n1a2n1，所有的偶数项满足a2na2n2；任意相邻的两项 a2n1，a2n满足a2n1 a2n.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1，2，3，4，5，6 “有趣数列”（填“是”或者“不是” ）；丰台区高三数学期末考试试题 第2页/共12页（）若annn2“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.(1)，则数列ann15已知抛物线C：y24x的焦点为F，则F的坐标为；过点F的直线交抛物线C于A,B两点，若AF4，则AOB的面积为16定义域为R的函数 f(x)同时满足以下两条性质：存在x0 R,使得f(x

6、0) 0；对于任意 x R，有f(x 1) 2f(x).根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数 .（i）若f(x)是增函数，则 f(x) ；（）若 f(x)不是单调函数，则 f(x) .三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.（本小题共13分）已知函数f(x)sinxcosx3cos2x.（）求f()的值；3（）求f(x)在区间0,上的最大值.218.（本小题共 14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAC，2AA1ABAC1，CC1的中点为H.（）求证：ABAC；1（）求二面角A1BCA的余弦值；（）在棱A1B1上是否存在点N

7、，使得HN平面A1BC？若存在，求出 A1N的值；若不存在，请说明理由A1B1丰台区高三数学期末考试试题 第3页/共12页19.（本小题共 13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境 .我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境 .垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有 30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源 .如：回收利用1吨废纸可再造出 0.8吨好纸，可以挽救 17棵大树，少用纯碱 240

8、千克，降低造纸的污染排放 75，节省造纸能源消耗 4050.现调查了北京市 5个小区 12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量（吨）55.15.24.84.9塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望20.（本小题共 13分）x2y21C的短半轴长为半径的圆与直已知椭圆

9、C:2b21(ab0)的离心率为2，以原点为圆心，椭圆a线 xy60相切.（）求椭圆方程；（）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线 l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线 x 4于A，B两点.求证：A，B两点的纵坐标之积为定值 .21.（本小题共 14分）已知函数f(x)13(a1)2ax.xx32（）当a1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）讨论函数f(x)的单调性；x1，x20,2，都有f(x1)f(x2)2（）对于任意，求实数a的取值范围.3丰台区高三数学期末考试试题 第4页/共12页22.（本小题共13分）已知nN*，n2，给定nn个整点(

10、x,y),其中1x,yn,x,yN*.（）当n2时,从上面的22个整点中任取两个不同的整点(x1,y1),(x2,y2)，求x1x2的所有可能值；（）从上面nn个整点中任取m个不同的整点，m5n1.2（i）证明：存在互不相同的四个整点(x1,y1),(x1,y1),(x2,y2),(x2,y2)，满足y1y1,y2y2,y1y2；（ ii）证明：存在互不相同的四个整点(x1,y1),(x1,y1),(x2,y2),(x2,y2)，满足x1 x1 x2 x2,y1 y2.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区20192020学年度第一学期期末练习高三数学 参考答案及评分参考202

11、001一、选择题共 10小题，每小题 4分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C B B A A B C D D二、填空题共 6小题，每小题 5分，共30分111 1215 1372 814是；是 15(1,0)；4 3 162x；2xsin2x(答案不唯一)3注：第14、15、16题第一空 3分，第二空 2分.三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.（本小题共 13分）丰台区高三数学期末考试试题 第5页/共12页解：（）2f()sincos33cos333313(1)22223.4分.（）2f(x) sinxcosx 3cos

12、2x13cos2x1sin2x22sin(2x3).32因为x0,4，所以2x,.2333当2x，即x时，3212f(x)取得最大值13.218.（本小题共14分）证明：（）因为AA1平面ABC，AB平面ABC，所以AA1AB.因为BAC，所以ACAB.2又因为ACAA1A，所以AB平面AAC.1因为AC平面A1AC，所以ABAC11.（）由（）可知AB，AC，AA1两两互相垂直，13.分分.4如图，建立空间直角坐标系 A xyz因为AA1 AB AC 1，丰台区高三数学期末考试试题 第6页/共12页所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1).因为AA1平面A

13、BC，所以AA1(0,0,1)即为平面ABC的一个法向量.设平面A1BC的一个法向量为n(x,y,z)，AB(1,0,1)，AC(0,1,1)，11则nA1B0,xz0,即nA1C0.yz0.令z1，则x1,y1.于是n (1,1,1).AA1n3所以cosAA1,nn.AA13由题知二面角ABCA为锐角，所以其余弦值为310.分.13（）假设棱A1B1上存在点N(x,y,z)，使得HN平面A1BC.由ANAB(01)，又AB(1,0,0)，故AN(,0,0).1111111因为C1(0，1，1)，H为CC1的中点，所以H(0，1，).21所以HNHA1A1N(,-1,).2若HN平面A1BC

14、，则HNn-1+10，解得10,1.22又因为HN平面A1BC.所以在棱A1B1上存在点N，使得HN平面A1BC，且A1N1A1B1.214. 分19（本小题共 13分）解：（）记“该小区 12月份的可回收物中废纸投放量超过 5吨且塑料品投放量超过 3.5吨”为事件 A.丰台区高三数学期末考试试题 第7页/共12页由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P(A)24分.5（）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)C323；C521

15、0P(X1)C31C2163C52；105P(X2)C221.C5210所以X的分布列为:X012P33110510E(X)033214101510513.分20.（本小题共13分）解：（）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy60相切，所以半径b等于原点到直线的距离d，b006，即b3.d11由离心率e1，可知c1，且a2b2c2，得a2.2a2故椭圆C的方程为x2y21.4分.43（）由椭圆C的方程可知S(2,0).若直线l的斜率不存在，则直线l方程为x1，所以P(1,3),Q(1,3).22则直线PS的方程为3x2y60，直线QS的方程为3x2y60.令x 4，得A(4,-

16、3)，B(4,3).丰台区高三数学期末考试试题 第8页/共12页所以A，B两点的纵坐标之积为9.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)(k0),由yk(x1)得(34k2)x28k2x4k2120，3x24y2120依题意0恒成立.设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1,x20)，则x1x28k2,x1x24k212.34k234k2设 A(4,yA)B(4,yB)，由题意P，S，A三点共线可知yAy1，2x124所以点A的纵坐标为yA2y1.x12同理得点B的纵坐标为yB2y2.x22所以yAyB2y12y2.x12x224k2x1x2(x1x2)1x1x22(x1x2)44k

17、24k2128k24k234k21228k24(4k23)2 94k4k29综上，A，B两点的纵坐标之积为定值 .13.分21（本小题共 14分）解：（）当a1时，因为f(x)13x2xx3所以f(x)x22x1，f(0)1.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为yx.分.4丰台区高三数学期末考试试题 第9页/共12页（）因为f(x)1x3(a1)x2ax，32所以f(x)x2(a1)xa0.令f(x)0，解得xa或x1.若a1，当f(x)0即x1或xa时，函数f(x)单调递增；当f(x)0即1xa时，函数f(x)单调递减.若a1，则f(x)x22x1(x1)20，当且仅当x1时取等号，函数f(x)是增函数.若a1，当f(x)0即xa或x1时，函数f(x)单调递增.当f(x)0即ax1时，函数f(x)单调递减.综上，a 1时，函数a 1时，函数a 1时，函数f (x)单调递增区间为f (x)单调递增区间为f (x)单调递增区间为(,1),(a,+)，单调递减区间为(1,a)；(,)；(,a),(1,+)，单调递减区间为(a,1).分.9（）令f(x)x2(a1)xa0，解得xa或x1.当a0时，随x变化，f(x),f(x)变化情况如下表：