等腰三角形的性质定理2课时含答案.docx

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等腰三角形的性质定理2课时含答案

2.3等腰三角形的性质定理

（一）

A组

1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（C）

A．36°B．60°　　　C．72°　　　D．108°

（第1题）

（第2题）

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）

A．30°B．45°C．50°D．75°

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为（A）

A．40°B．30°C．70°D．50°

（第3题）

（第4题）

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：

①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是（D）

A．①②③B．②③④

C．①③⑤D．①③④

（第5题）

5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为（D）

A．50°B．51°

C．51．5°D．52．5°

（第6题）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．

【解】　∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ACB＝∠ABC＝72°，

∴∠A＝36°．

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°－36°＝54°．

（第7题）

7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．

【解】　∵D是AB的中点，

∴BD＝AD．

由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．

∴∠BA′D＝∠B＝50°．

∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，

∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．

（第8题）

8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．

【解】　∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

同理，∠ADE＝∠AED．

设∠EDC＝α，∠C＝β，

则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，

∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．

∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，

∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．

B组

（第9题）

9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（D）

A．44°B．66°C．88°D．92°

【解】　∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．

在△AMK和△BKN中，∵

∴△AMK≌△BKN（SAS）．∴∠AMK＝∠BKN．

∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，

∴∠A＝∠MKN＝44°，

∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．

10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为（C）

（第10题）

A．

°B．

°C．

°D．

°

【解】　在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，

∴∠BA1A＝∠A＝70°．

∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，

∴∠B1A2A1＝

＝35°．

同理，∠B2A3A2＝

∠B1A2A1＝

，∠B3A4A3＝

∠B2A3A2＝

，…，

∴∠Bn－1AnAn－1＝

＝

°．

11．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．

（第11题）

【解】　设AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠DCB＝∠ACE，

∴△DCB≌△ACE（SAS），

∴∠CDB＝∠CAE．

又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，

∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，

∠DHC＝∠AHO，

∴∠AOH＝∠DCH＝60°．

∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．

（1）求证：

OB＝OC．

（2）若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．

（第12题）

【解】　

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∵BD，CE是△ABC的两条高线，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°．

又∵BC＝CB，

∴△BEC≌△CDB（AAS），

∴BE＝CD．

又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，

∴△BOE≌△COD（AAS），

∴OB＝OC．

（2）连结DE．

∵∠ABC＝70°，AB＝AC，

∴∠A＝180°－2×70°＝40°．

∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，

∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．

又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，

∴∠A＋∠DOE＝180°，

∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．

（第13题）

13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D．若∠ADC＝

∠CAD，求∠ABC的度数．

（第13题解）

【解】　如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，

则∠ACD＝2x，∠ADC＝

∠CAD＝

y，

∴

解得

∴∠ABC＝36°．

数学乐园

14．

（1）已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．

（2）已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

（第14题）

导学号：

91354010

【解】　

（1）如解图①②（共有2种不同的分割法）．

（第14题解）

（第14题解③）

（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．

在△DBC中，

①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－

x，∠A＝180°－x－y．

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋

x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－

，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－

∠C．

②若∠C是底角，

第一种情况：

如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x．在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C．

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

④）

⑤）

（第14题解）

第二种情况：

如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝

∠BDC＝

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．

∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．

综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－

∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°（∠C是小于45°的任意锐角）．

2.3等腰三角形的性质定理

（二）

A组

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__32°__．

（第1题））　　

（第2题））

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（C）

A．35°B．45°

C．55°D．60°

（第3题））　　

（第4题））

4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为（B）

A．18B．20

C．22D．24

（第5题）

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．

【解】　连结AD．

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．

（第6题）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：

AB平分∠EAD．

【解】　∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴BD＝DC，AD⊥BC．

又∵BE＝DC，∴BD＝BE．

又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，

∴△ABD≌△ABE（SAS），

∴∠BAD＝∠BAE，

即AB平分∠EAD．

（第7题）

7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：

EF＝ED．

【解】　∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．

B组

（第8题）

8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（B）

A．当∠B为定值时，∠CDE为定值

B．当α为定值时，∠CDE为定值

C．当β为定值时，∠CDE为定值

D．当γ为定值时，∠CDE为定值

【解】　∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．

∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，

即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，

∴2∠CDE＝α．

9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：

以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．

（第9题）

【解】　由题意可知：

AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，

则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．

∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．

同理可得∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，∠A5A4B＝54°，∠A6A5C＝63°，∠A7A6B＝72°，∠A8A7C＝81°，∠A9A8B＝90°，

∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：

△AEF≌△BCF．

（第10题）

【解】　过点F作FG⊥AB于点G．

∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴∠ABF＝45°．

∵FG⊥AB，

∴∠AGF＝∠BGF＝90°．

在△AGF和△BGF中，

∵

∴△AGF≌△BGF（AAS），

∴AF＝BF．

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF＋∠C＝90°．

∵BF⊥AC，

∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，

∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，

∵

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

（第11题）

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：

DE＝DF．

（2）问：

如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？

【解】　

（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

（2）相等．理由如下：

由

（1）知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，

∴∠ADE＝

∠ADB，∠ADF＝

∠ADC，

∴∠ADE＝∠ADF．

在△ADE和△ADF中，

∵

∴△ADE≌△ADF（ASA），

∴DE＝DF．

数学乐园

（第12题）

12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．

【解】　连结BO．

∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，

∴∠OBA＝∠OAB＝

∠BAC＝25°．

∵AB＝AC，∠BAC＝50°，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°．

∴∠OBC＝65°－25°＝40°．

根据等腰三角形的对称性，得∠OCB＝∠OBC＝40°．

∵点C沿EF折叠后与点O重合，

∴EO＝EC，∠CEF＝∠OEF，

∴∠EOC＝∠ECO＝40°，

∴∠CEF＝∠OEF＝

＝50°．