普通高等学校招生全国统一考试江苏卷理科数学.docx

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普通高等学校招生全国统一考试江苏卷理科数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试

江苏卷理科数学

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝

（xi﹣

）2，其中

xi.

柱体的体积V＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

锥体的体积V＝

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__________.

解析由题知A∩B＝{1，6}.

答案{1，6}

2.已知复数（a＋2i）（1＋i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__________.

解析∵（a＋2i）（1＋i）＝a＋ai＋2i＋2i2＝a﹣2＋（a＋2）i，∴a﹣2＝0，∴a＝2.

答案2

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是__________.

解析执行第一次S＝S＋

，x＝1≥4否，循环，x＝x＋1＝2；

执行第二次S＝S＋

，x＝2≥4否，循环，x＝x＋1＝3；

执行第三次S＝S＋

＝3，x＝3≥4否，循环，x＝x＋1＝4；

执行第四次S＝S＋

＝5，x＝4≥4是，输出S＝5.

答案5

4.函数y＝

的定义域是__________.

解析要使式子有意义，则7＋6x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤7.

答案[﹣1，7]

5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是__________.

解析由题知，该组数据平均值为

＝8，所以该数据方差为

[（6﹣8）2＋（7﹣8）2＋（8﹣8）2＋（8﹣8）2＋（9﹣8）2＋（10﹣8）2]＝

.

答案

6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是__________.

解析由已知男女同学共5名.

从5名学生中任选2名，共有

＝10种选法.

若选出的2人中恰有一名女生，有

＝6种选法.

若选出的2人都是女生，有1种选法.

所以所求的概率为P＝

.

答案

7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣

＝1（b>0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是__________.

解析∵双曲线x2﹣

＝1（b>0）过点（3，4），

∴32﹣

＝1，

解得b2＝2，即b＝

或b＝﹣

（舍去）.

∵a＝1，且双曲线的焦点在x轴上，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

答案y＝±

x

8.已知数列{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是__________.

解析∵{an}为等差数列，设公差为d，a2a5＋a8＝0，S9＝27，

∴

整理②得a1＋4d＝3，即a1＝3﹣4d，③

把③代入①解得d＝2，∴a1＝﹣5.

∴S8＝8a1＋28d＝16.

答案16

9.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是__________.

解析∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为120，

∴AB·BC·CC1＝120.

∵E为CC1的中点，CC1⊥底面ABCD，

∴CE为三棱锥E﹣BCD的底面BCD上的高，CE＝

CC1，

∴VE﹣BCD＝

AB·BC·CE

＝

AB·BC·

CC1

＝

AB·BC·CC1＝

×120＝10.

答案10

10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋

（x>0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__________.

解析当直线x＋y＝0平移到与曲线y＝x＋

相切位置时，切点Q即为点P到直线x＋y＝0的最小距离的点，有y'＝

'＝1﹣

＝﹣1（x>0），得x＝

（﹣

舍）.

此时y＝

＝3

，即切点Q（

，3

），

则切点Q到直线x＋y＝0的距离为d＝

＝4，即为所求最小值.

答案4

11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是__________.

解析设点A（x0，y0），则y0＝lnx0，

又y'＝

，当x＝x0时，y'＝

，点A在曲线y＝lnx上的切线为y﹣y0＝

（x﹣x0），即y﹣lnx0＝

﹣1，代入点（﹣e，﹣1），得﹣1﹣lnx0＝

﹣1，

即x0lnx0＝e，得x0＝e，y0＝1，故点A（e，1）.

答案（e，1）

12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若

＝6

，则

的值是__________.

解析如图，过点D作DF∥CE，交AB于点F，

由BE＝2EA，D为BC中点，知BF＝FE＝EA，AO＝OD．

又

＝6

＝3

·（

）

＝

）·

＝

＝

＝

，

得

，即|

|＝

|，故

.

答案

13.已知

＝﹣

，则sin

2α＋

的值是__________.

解析由

＝﹣

，得3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，

解得tanα＝2或tanα＝﹣

.

又sin

＝sin2αcos

＋cos2αsin

＝

（sin2α＋cos2α）

＝

＝

.（*）

①当tanα＝2时，（*）式＝

；

②当tanα＝﹣

时，（*）式＝

.

综上，sin

.

答案

14.设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数.当x∈（0，2]时，f（x）＝

，g（x）＝

其中k>0.若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是__________.

解析当x∈（0，2]时，设y＝f（x）＝

⇔（x﹣1）2＋y2＝1（y≥0），结合f（x）是周期为4的奇函数，可作出f（x）的图象：

∵当x∈（1，2]时，g（x）＝﹣

，又g（x）的周期为2，

∴当x∈（3，4]∪（5，6]∪（7，8]时，g（x）＝﹣

.

由图可知：

当x∈（1，2]∪（3，4]∪（5，6]∪（7，8]时，f（x）与g（x）的图象有2个交点，

∴当x∈（0，1]∪（2，3]∪（4，5]∪（6，7]∪（8，9]时，f（x）与g（x）的图象有6个交点.

由图可知：

当x∈（2，3]∪（6，7]时，f（x）与g（x）的图象无交点，

∴当x∈（0，1]∪（4，5]∪（8，9]时，f（x）与g（x）的图象有6个交点，

由f（x）与g（x）的周期性可知：

当x∈（0，1]时，f（x）与g（x）的图象有2个交点.

如图，当y＝k（x＋2）与圆弧：

（x﹣1）2＋y2＝1（0

＝1⇒k2＝

（k>0）⇒k＝

.

当y＝k（x＋2）过点A（﹣2，0）与B（1，1）时，k＝

.

∴

≤k<

.

答案

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．

（1）若a＝3c，b＝

，cosB＝

，求c的值；

（2）若

，求sin

的值.

解

（1）因为a＝3c，b＝

，cosB＝

，

由余弦定理cosB＝

，

得

，

即c2＝

.所以c＝

.

（2）因为

，

由正弦定理

，

得

，所以cosB＝2sinB．

从而cos2B＝（2sinB）2，

即cos2B＝4（1﹣cos2B），故cos2B＝

.

因为sinB>0，所以cosB＝2sinB>0，

从而cosB＝

.

因此sin

＝cosB＝

.

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．

求证：

（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E.

证明

（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB．

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED．

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB＝BC，E为AC的中点，

所以BE⊥AC．

因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，

所以C1C⊥平面ABC．

又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，

所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＝1（a>b>0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）.过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：

（x﹣1）2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝

.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标.

解

（1）设椭圆C的焦距为2C．

因为F1（﹣1，0），F2（1，0），所以F1F2＝2，c＝1.

又因为DF1＝

，AF2⊥x轴，

所以DF2＝

.

因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.

由b2＝a2﹣c2，得b2＝3.

因此，椭圆C的标准方程为

＝1.

（2）（解法一）由

（1）知，椭圆C：

＝1，a＝2.

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x＝1代入圆F2的方程（x﹣1）2＋y2＝16，

解得y＝±4.

因为点A在x轴上方，所以A（1，4）.

又F1（﹣1，0），所以直线AF1：

y＝2x＋2.

由

得5x2＋6x﹣11＝0，

解得x＝1或x＝﹣

.

将x＝﹣

代入y＝2x＋2，得y＝﹣

.

因此B

.

又F2（1，0），所以直线BF2：

y＝

（x﹣1）.

由

得7x2﹣6x﹣13＝0，

解得x＝﹣1或x＝

.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝﹣1.

将x＝﹣1代入y＝

（x﹣1），得y＝﹣

.

因此E

.

（解法二）由

（1）知，椭圆C：

＝1.

如图，连接EF1.

因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，

从而∠BF1E＝∠B．

因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B．

所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A．

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

因为F1（﹣1，0），由

得y＝±

.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，

所以y＝﹣

.因此E

.

18.（本小题满分16分）

如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：

线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：

百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处?

并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：

百米），求当d最小时，P，Q两点间的距离.

解（解法一）

（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.

因为PB⊥AB，

所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝

.

所以PB＝

＝15.

因此道路PB的