规划的综合方法.docx
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规划的综合方法
规划的综合方法
1、线性规划法
线性规划（Linearprogramming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、使用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛使用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。
线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际使用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
由于有成熟的计算机使用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。
在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。
该方法的最大优点是可以处理多品种问题。
数学模型：
1）列出约束条件及目标函数
2）画出约束条件所表示的可行域
3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；
1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；
3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：
1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
发展：
法国数学家J.-B.-J.傅里叶和C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。
1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织和计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。
1947年美国数学家G.B.Dantzing提出求解线性规划的单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的使用范围和解题能力。
1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划使用到经济领域，为此和康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。
例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。
由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家L.G.Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。
用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。
现已形成线性规划多项式算法理论。
50年代后线性规划的使用范围不断扩大。
实际运用线性规划模型进行总生产计划时需要注意的一些问题
1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化；
2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得（如进行总生产计划常需考虑到的能源单耗就不易求得）时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制；
3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到；
4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。
这些问题给机械行业使用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。
2、多目标决策法
多目标决策是对多个相互矛盾的目标进行科学、合理的选优，然后作出决策的理论和方法。
它是20世纪70年代后迅速发展起来的管理科学的一个新的分支。
多目标决策和只为了达到一个目标而从许多可行方案中选出最佳方案的一般决策有所不同。
在多目标决策中，要同时考虑多种目标，而这些目标往往是难以比较的，甚至是彼此矛盾的；一般很难使每个目标都达到最优，作出各方面都很满意的决策。
因此多目标决策实质上是在各种目标之间和各种限制之间求得一种合理的妥协，这就是多目标最优化的过程。
国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。
到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。
1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。
1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。
目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解和原定的目标值之间的偏差为最小。
1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。
1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP（the analytical hierarchy process）法，并在1980年代初纂写了有关AHP法的专著。
自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。
总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。
多目标决策法的基本原理
从人们在多目标条件下合理进行决策的过程和机制从上分析，多目标决策的理论主要有：
多目标决策过程的分析和描述；冲突性的分解和理想点转移的理论；多属性效用理论；需求的多重性和层次性理论等。
它们是构成多目标决策分析方法的理论基础。
在多目标决策中，有一部分方案经比较后可以淘汰，称为劣解；但还有一批方案既不能淘汰，又不能互相比较，从多目标上考虑又都不是最优解，称为“非劣解”（或“有效解”、“帕累托解）。
多目标决策的方法
多目标决策的方法很多，有的要用线性规划、非线性规划、目标规划等方法。
对于多目标的方案有限的决策问题一般先采用列表的方式。
举例：
城市新区人口容量测算中多目标决策法的运用
多目标决策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：
目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。
目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。
例如房屋设计问题中，造价的单位是元/平方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。
目标间的矛盾性 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。
如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。
一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。
目标体系—是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；
备选方案—是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。
有的被选方案是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。
决策准则—是指用于选择的方案的标准。
通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方案依某个准则排序。
另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。
如“可接受”和“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”和“坏的”。
由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。
下面介绍几种较为常见的方法。
1） 主要目标优化兼顾其它目标的方法
设有m个目标f1（x），f2（x），….，fm（x），xR均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1（x），并要求其为最大。
在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题。
2）线性加权和法
设有一多目标决策问题，共有f1（x），f2（x），…，fm（x）等m个目标，则可以对目标 fi（x） 分别给以权重系数i（i=1，2，…，m），然后构成一个新的目标函数 ，计算所有方案的F（x）值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。
在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。
3） 平方和加权法
设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1（x），f2（x），…，fm（x）和规定的m个满意值f1*，f2*，…，fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：
并要求min F（x），其中i是第i（i=1,2,…）个目标的权重系数。
4）乘除法
当有m个目标f1（x），f2（x），…，fm（x）时，其中目标f1（x），f2（x），…，fk（x）的值要求越小越好，目标fk（x），fk+1（x），…，fm（x）的值要求越大越好，并假定fk（x），fk+1（x），…，fm（x）都大于0。
并要求minF（x）。
5）功效系数法
设有m个目标f1（x），f2（x），…，fm（x），其中k1个目标要求最大，k2个目标要求最小。
赋予这些目标f1（x），f2（x），…，fm（x）以一定的功效系数di（i=1,2,…,m），10id。
当第i个目标达到最满意时di=1，最不满意时di=0，其它情形di则为0，1之间的某个值。
描述di和fi（x）关系的函数叫作功效函数，用di=F（fi）表示。
不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。
3、动态规划法
动态规划（dynamicprogramming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decisionprocess）最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程（multistepdecisionprocess）的优化问题时，提出了著名的最优化原理（principleofoptimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著《DynamicProgramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
举例：
线性动规：
拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
区域动规：
石子合并，加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
树形动规：
贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；
背包问题：
01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（同济ACM第1132题）等；
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的使用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些和时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。
不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。
动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。
因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。
多阶段决策过程的最优化问题：
含有递推的思想以及各种数学原理（加法原理，乘法原理等等）。
在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：
（看词条图）
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法和分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
和分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
多阶段决策问题：
如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策（采取措施），一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。
各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。
每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。
策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果.
基本模型：
根据上例分析和动态规划的基本概念，可以得到动态规划的基本模型如下：
（1）确定问题的决策对象。
（2）对决策过程划分阶段。
（3）对各阶段确定状态变量。
（4）根据状态变量确定费用函数和目标函数。
（5）建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
适用条件
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。
同样，动态规划也并不是万能的。
适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
1.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：
一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。
一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。
换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。
这就是无后向性，又称为无后效性。
3.子问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。
其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。
动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。
动态规划分类
1、背包模型
包括0-1背包、无限背包、有限背包、有价值背包、小数背包（贪心即可）等，是极为经典的模型，其转化和优化也是很重要的。
2、最长非降子序列模型
改版：
渡河问题、合唱队型等
3、最大子段和模型
改版：
K大子段和、最佳游览，最大子矩阵和等。
4、LCS模型
改版：
回文字串、多串的LCS等
5、括号序列模型
改版：
关灯问题（TSOJ）、charexp（TSOJ）、最大算式等，核心思想在于以串的长度为阶段。
6、递推模型
这类题是属于徘徊在DP和递归之间得一类题，本质是类似于记忆化搜索的一种填表，有很强的数学味。
7、线段覆盖问题
改版：
Tom的烦恼（TOJ）等。
经常利用到离散化等技巧辅助。
8、单词划分模型
和LCS基本上构成了字符串DP的主要类型。
改版：
奇怪的门（TOJ）等。
9、股票模型
这是DP优化的经典模型。
改版有换外汇等。
10、连续段划分模型
即要求把数列划分成k个连续段，使每段和的最大值最小。
改版有任务调度等。
11、游戏模型
这类题的阶段（一般是时间）和决策（一般就是游戏目标）很清楚，因此比较容易想到。
改版：
免费馅饼（NOI98）、Help Jimmy（CEOI2000）、瑰丽华尔兹（NOI2005，优化需要多费功夫）。
4、系统工程法
系统工程方法是一种现代的科学决策方法，也是一门基本的决策技术。
系统工程方法把要处理的问题及其有关情况加以分门别类、确定边界，又强调把握各门类之间和各门类内部诸因素之间的内在联系和完整性、整体性，否定片面和静止的观点和方法。
在此基础上，它没有遗漏地有区别地针对主要问题、主要情况和全过程，运用有效工具进行全面的分析和处理。
系统工程方法的特点是整体性、综合性、协调性、科学性、实践性。
系统工程方法是人类在自然科学和社会科学领域的不断实践中而产生的一系列科学处理问题的方法，它包括整体观念、综合观念、科学观念、创新观念等。
1）整体观念，就是要用系统的方法研究系统的对象，立足整体，统筹全局，全面规划，协调处理，使系统的总体和部分之间、部分之间、系统和环境之间达到辩证统一。
我们说系统是由各部分组成的，系统的功能要大于各部分的功能。
古代哲学中就有"总体大于各部分总和"的论点，这里的大于，指的是各部分组成一个整体后，产生了总体的功能，即系统的功能，这种功能的产生是一种质变，因为这种功能是各部分所不具备的，系统之所以为系统，不仅是各个组成部分的简单的总和，而在于它具备总体的系统的功能。
如"三个臭皮匠，顶过诸葛亮"，又比如说一个球队，个人技术再好，如果没有正确的战略战术以及相互的默契配合，也难以取胜。
因此我们强调在处理问题时，要有全局观念，整体观念。
2）综合观念，即要求从系统的总目标出发，将各种有关的经验和知识予以有机结合，协调运用，从而开发出全新的系统概念，创造出全新的系统结合和功能，这就是1+1>2的系统综合效果，即综合出创造，综合出效益。
现在我们经常讲的"整合资源"也是讲的综合观念。
如世界著名的阿波罗登月计划中，登月舱是其中关键的一项工程，但其中所采取的单项技术都是已有的成就技术，只是很巧妙地把它们综合起来，起了卓越的作用。
3）科学观念，即要求分析问题时树立科学的观念，按照科学规律办事，努力开发系统的潜在价值。
也就是说，我们在处理问题时，一方面要有严格的工作步骤和工作顺序，做到定性和定量相结合，另一方面要遵照科学规律办事，充分认识到整体和部分的统一、协同和矛盾的统一。
即整体是相对的，它既是更大系统的部分，又是本系统的整体，整体是具有一定结构、层次和特定功能的有机整体，整体的各组成部分相互联系又相互作用。
4）创新观念，系统工程方法是现代科学技术和社会实践相结合的产物，它要求人们在运用现代科学技术的同时，充分发挥人的创新能力，大胆地进行系统的概念开发和结构开发，以实现系统的最优效果。
由于现代社会实践发展的节奏加快，社会运动加速，未来的因素成为现实的过程，要求我们加强超前性预测，不断创新，以便为进行"目的性"的活动提供保证。
1.系统工程的方法体系
工具：
计算机、算法…… 技术：
使用工具的方法。
方法：
选择什么技术来达到目的的办法。
方法论：
处理系统工程问题的一整套思想、原则，是运用方法的方法。
方法论研究：
从哪里开始着手解决问题？
如何设计解决问题的过程？
如何最终实现问题的解决？
2.系统工程方法论的特点
..研究方法强调整体
..技术使用强调综合
..管理决策强调科学性
3.具有代表性的系统工程方法
霍尔（Hall）“三维结构”
切克兰德的“学习调查”法
并行工程
综合集成方法
霍尔 “三维结构
1969年美国贝尔电话公司工程师霍尔（A·D·Hall）提出了系统工程三维结构，简称为霍尔模型。
基本思想：
任何复杂问题都可以归结为工程问题来研究，它强调明确目标，其核心思想是优化，使用定量的手段求得最优解。
二、霍尔模型模型将系统的整个管理过程分为六个阶段（时间维）和七个步骤（逻辑维），并同时考虑到为完成这些阶段和步骤的工作所需的各种专业管理知识（知识维）。
1.时间维（时间进程）表示系统工程的工作阶段或进程。
即：
从规划到更新，按时间顺序排列的系统工程全过程。
2.逻辑维（方法步骤）每个阶段需进行的工作步骤，是运用系统工程方法进行思考、分析和解决问题应遵循的一般程序。
3.知识维（科学技术）表示从事系统工程工作所需要的知识。
即：
完成上述各阶段和各步骤所需要的各种专业知识和管理知识。
4.霍尔管理矩阵把三维结构中的六个时间阶段（时间维）和七个逻辑步骤（逻辑维）结合起来，形成一个二维结构，称为系统工程的活动矩阵，也称霍尔管理矩阵。
5.霍尔模型的特点研究方法上的整体性（三维）技术使用上的综合性（知识维）组织管理上的科学性（时间维和逻辑维）系统工程工作的问题导向性（逻辑维）
6.霍尔模型的优势
运用系统工程过程管理方法，决策的可靠性可提高一倍以上，节约时间和总投资平均15%以上，而用于管理的费用一般只占总投资的3%－6%。
切克兰德的“调查学习”模式
切克兰德1981年提出“调查学习”模式。
基本思想：
方法的核心不是寻“最优化”，而是“调查、比较”或者说是“学习”，从模型和现状比较中，研究改善现存系统的途径。
方法步骤 ：
1. 不良结构系统现状说明通过调查分析，对现存的不良结构系统的现状进行说明。
2. 弄清关联因素初步弄清、改善和现状有关的各种因素及其相互关系。
3. 建立概念模型用结构模型或语言模型来描述系统的现状。
4. 改善概念模型进一步用更合适的模型或方法改进上述概念模型。
5. 比较将概念模型和现状进行比较，找出符合决策者意图，而且可行的改革途径或方案。
6. 实施实施提出的改革方案。
概念模型代替数学模型，思路更加开阔。
满意解代替最优解，价值观方面的重要变化。
两种方法论的比较
可用数学模型描述，有定量方法可以计算出系统的行为和最佳结果。
特点 ：
用霍尔模型等“硬方法”求出最佳的定量结果。
工程、机理明显的物理型的硬系统结构系统方法定义难用数
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