高中数学必修4知识点总结.docx
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高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结
第一章：
三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
l
r
.
3、弧长公式：
lnRR
180
.
2
nR1
4、扇形面积公式：
lR
S
3602
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：
siny,cosx,tan
y
x
2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：
（设
22
rxy）
sin
y
r
，cos
x
r
，tan
y
x
，cot
x
y
y
T
P
3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线：
MP;余弦线：
OM;正切线：
AT
O
MA
x
4、特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
42
63
2
3
3
4
3
2
2
sin
cos
tan
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
22.1、平方关系：
sincos1
2、商数关系：
sin
tan.
cos
3、倒数关系：
tancot1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）
-1-
sin2ksin,
1、诱导公式一：
cos2kcos,（其中：
kZ）
tan2ktan.
sinsin,
2、诱导公式二：
coscos,
tantan.
sinsin,
coscos,3、诱导公式三：
tantan.
sinsin,
4、诱导公式四：
coscos,
tantan.
sincos,
2
5、诱导公式五：
cossin.
2
sincos,
2
6、诱导公式六：
cossin.
2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：
y
y=sinx
37
-5
-
1
2
22
2
-4-3-2-o234
-75
-3
-1
222
2
y
y=cosx
x
-4
-7
2
-3
-5
2
37
1
-
3
-2
22
-24
o
25
-3
-1
22
2
x
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：
3
（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.
22
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
-2-
y
y=tanx
3
-
2
--
2
o
2
3
2
x
2、记住余切函数的图象：
y
y=cotx
--
2
o
2
3
2
2
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：
定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：
对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
-2-
图表归纳：
正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
ysinycosxytanx
x
图象
定义域RR,}
{x|xkkZ
2
值域[-1,1][-1,1]R
最值
x2k,kZy1
时，
max
2
x2k,kZ时，y1
min
2
x2k,kZy1
时，
max
x2k,kZ时，y1
min
无
周期性T2T2T
奇偶性奇偶奇
单调性
kZ
在[2k,2k]上单调递增
22
在[2,23]
kk上单调递减
22
在[2k,2k]上单调递增
在[2k,2k]上单调递减
在（k,k）上单调递
22
增
对称性
kZ
对称轴方程：
xk
对称中心（k,0）
2
对称轴方程：
xk
对称中心（,0）
k
2
无对称轴
k
对称中心（,0）
2
§1.5、函数yAsinx的图象
1、对于函数：
yAsinxBA0,0有：
振幅A，周期
2
1
T，初相，相位x，频率2
f.
T
2、能够讲出函数ysinx的图象与
yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩：
yx平移||个单位ysinx
sin
（左加右减）
横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
2
纵坐标不变yAsinx
横坐标变为原来的
1
||倍
平移|B|个单位yAsinxB
（上加下减）
②先伸缩后平移：
yx横坐标不变yAsinx
sin
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变yAsinx
横坐标变为原来的
1
||倍
平移个单位yAsinx
（左加右减）
平移|B|个单位yAsinxB
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数ysin（x），x∈R及函数ycos（x），x∈R（A,,为常数，且A≠0）的周期
2
T；
||
函数ytan（x），,
xkkZ（A,ω,为常数，且A≠0）的周期
2
T.
||
对于yAsin（x）和yAcos（x）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数yAsin（x）图像的对称轴与对称中心，只需令（）
xkkZ与
2xk（kZ）
解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
yy
利用图像特征：
maxmin
A，
2
yy
maxmin
B.
2
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
sincostan
6
124
2
623
2
4
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3
1、sinsincoscossin
2、sinsincoscossin
3、coscoscossinsin
4、coscoscossinsin
5、tantan
tan.
1tantan
6、
tantan
tan.
1tantan
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、sin22sincos，
变形：
1
sincossin2.
2
2、
cos2
2sin
cos
2
2cos1
2
12sin.
2
变形如下：
2
1cos22cos升幂公式：
2
1cos22sin
降幂公式：
1
2
cos（1cos2）
2
1
2
sin（1cos2）
2
3、
2tan
tan2.
2
1tan
4、
tan
sin21cos2
1cos2sin2
§3.2、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
yasinxbcosxa
2b2x
sin（
）
（其中辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan
第二章：
平面向量
b
a
）.
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：
力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：
起点、方向、长度.
2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度
4
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：
零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、ab≤ab.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
a，它的长度和方向规定
如下：
⑴aa,
⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.
2、平面向量共线定理：
向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，
有且只有一对实数
1,，使a1e12e2.
2
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、axiyjx,y.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设
ax1,y,bx,y，则：
122
5
⑴
abx1x,yy，
212
⑵
abx1x,yy，
212
⑶ax1,y1，
⑷
a//bxyxy.
1221
2、设
Ax1,y,Bx,y，则：
122
ABx2x,yy.
121
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则
⑴线段AB中点坐标为
xx
12,
2
y
1
2
y
2
，
⑵△ABC的重心坐标为
xxx
123,
3
y
1
y
2
3
y
3
.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、ababcos.
2、a在b方向上的投影为：
acos.
3、
22
aa.
4、
2
aa.
5、abab0.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设
ax1,y,bx,y，则：
122
⑴
ab
x1xyy
212
⑵
a
22
x1y
1
⑶
abab0xxyy0
1212
⑷
a//babxyxy0
1221
2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：
22
ABx2xyy.
121
3、两向量的夹角公式
6
cos
ab
xxyy
1212
2222
abxyxy
1122
4、点的平移公式
平移前的点为P（x,y）（原坐标），平移后的对应点为P（x,y）（新坐标），平移向量为PP（h,k），
则
xxh
yyk.
函数yf（x）的图像按向量a（h,k）平移后的图像的解析式为ykf（xh）.
7
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