变量与函数教案.docx
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变量与函数教案
《变量与函数》教案反思
2012.9.23.
一、围绕核心内容整合教案内容
《2.1.变量与函数》是湘教版第二章第一节的内容。
本课的教案实施计划是展示本章第一课时的教案。
通过讨论我们发现，尽管“变量的概念”是函数学习的入门，也是进一步学习的基础，地位十分重要，但是借助对实际背景的分析，学生不难理解变量和常量的概念。
再者，函数是数学中最重要的基本概念之一，是数学中的核心内容，能在第一课时了解到函数的本质内容将非常有利于学生对函数知识的进一步学习。
让学生通过实例，对变量之间的关系分析理解，进而更好地理解函数的概念。
二、良好的开端能激发学生探究问题的兴趣
俗话说“良好的开端是成功的一半”，如何能更好地集中学生学习的注意力，激发学生学习的激情？
我们决定选用学生一个非常感兴趣的例子“柯南”。
大家都爱看侦探小说《柯南》吧，其中有这样一个故事：
柯南到了一个杀人现场后，发现现场只留下一串脚印，但是柯南很快推断出了杀人嫌疑犯的身高，你知道他为什么如此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗？
结论：
人们的身高在一般情况下随着脚的大小的变化而变化。
通过“柯南”的神机妙算，让学生整体感知函数知识在日常生活中的妙用，并激发学生认真学习函数的知识，争取象柯南一样学会更理性地分析一些变化现象中所隐含的变化规律。
从实施的情况来看效果不错，与预期效果一致，很顺利地调动学生学习的兴趣，同时明确本节课的学习重点。
三、创设现实情境，感知变量和函数的存在和意义
在备课的初期，一直很矛盾的是“函数的概念作为我们数学的核心概念，对于这个核心的概念，我们是要求学生掌握还是理解？
”，通过仔细的分析，我们发现，函数概念是一个核心概念，其核心内容是“一个变化过程，两个变量的唯一对应关系”，如何能很好地解读什么是“唯一对应”关系？
应该是在高中学习函数概念时才能有一个更严谨的说法。
因此在初中阶段，我们只需让学生理解和感知变量和函数的有关概念即可。
但是如何才能更好引导学生学习这种抽象的概念，这又成了我们在本课的教案设计过程中成为了要思考的重点。
最终，我们选择了在本节教案过程中，通过创设学生熟悉的现实情景，使学生在熟悉的现实情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律。
1、问题1：
汽车以60千M/时的速度匀速行驶，行驶里程为
千M，行驶时间为
小时。
（1）试用一个数学表达式表示行驶里程
和时间
的关系：
_______________
（时）
1
2
3
4
5
…
（千M）
（2）请根据题意填表：
（3）从上述分析中发现：
①行驶路程随的变化而变化，即
随的变化而变化；
②任意确定一个行驶时间
的值，行驶路程
都有____个值与之对应。
2、问题2：
如图，是北京春季某一天的气温T随时间t变化的图象，请根据图象的信息填空：
（1）这一天的6时的气温是___℃、12时的气温是____℃；22时的气温是____℃；
（2）从上图中发现：
①温度随的变化而变化，即
随的变化而变化；
②任意确定一个时间
的值，温度
都有______个值与之对应。
3、问题3：
如表，是某班同学一次数学测试的成绩登记表，
（1）这一数学测试中，13号的成绩为______，17号的成绩为______，23号的成绩为______；
（2）从成绩表中发现：
①测试成绩随的变化而变化；
②任意确定一个学号，都有________个成绩与之对应。
从实施的情况来看，通过我们设计的这三个问题情景，学生能快而准地判断出一个变化过程中的“变量和常量”，并能感知到在一个变化过程中，两个变量之间的关系，达到在现实情景中感知变量和函数的存在意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律的教案目的。
四、函数概念的教案反思
前面已提到“函数的概念”是数学的核心概念，函数概念是本节课的重点内容之一，如何引入，如何评述才能让学生理解其核心内容呢？
我们在上述三个问题的信息填写中埋下伏笔，通过三个问题的“发现”部分，给学生直观地呈现出三个问题反映的共同特质，一是同反映了不同事物的变化过程，二是在变化过程中都有两个变量，并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值。
然后再通过实际例子的分析引出函数的概念，从而使得抽象的函数具体化的目的。
一个变化过程中，如果有两个变量T和t，
（1）其中T会随着t的变化而变化，
（2）并且当任意确定一个t的值时，T都有唯一的值与之对应，那么我们称t是自变量，T是t的函数。
为了让学生进一步明确函数的概念，我们选取了一个学生非常熟悉的例子让学生通过协助交流的形式进行讨论和分析，通过实例分析达到把变量和函数概念内化的目的。
例：
问题1：
在这方程中有几个未知数？
有几个变量？
分别是谁？
问题2：
两个变量x、y之间是否存在函数关系？
如果是，谁是自变量？
谁是谁的函数？
在这里，学生第一次结合一个数学中非常熟悉的例子——方程，接触变量的概念，通过对变量x，y之间关系的分析，让他们进一步理解函数的内涵，与此同时，也让学生进一步审视已有的代数式、方程等知识与函数之间的联系，增强综合应用知识的意识。
从实施的情况来看，学生通过对方程
的分析，对所学的新知有进一步的认识，但是从学生对上述问题2的分析中发现，学生在判断两个变量的函数关系时，多只是关注到“谁随着谁的变化而变化”的条件，而在一定程度上淡化了对两个变量间的“唯一对应”的条件。
这时，引入例题的学习就显得至关重要了。
请分析下列各图中哪些表示y是x的函数。
通过对例题的分析和探讨，学生从具体的图象中看到“唯一对应”的具体表象，结合对之前的方程
的分析和理解，实现了最大程度的对函数内在含义的理解。
通过上述的“创设现实情景——问题引申概念——两个实际例题的分析”逐层推进的方式让学生通过探索、交流提供足够的内容和空间，让学生感受到求知的刺激和学习的快乐，从而达到更好的学习目的。
2.1.1.变量与函数
【教案目标】
1.知识与能力
（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律．
（2）从具体的事例了解常量、变量的意义．
（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．
2.过程与方法
在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．
3.情感、态度与价值观
通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣．
【教案重点】
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2.从具体的事例了解常量、变量的意义．
3.结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．
【教案难点】
函数的概念的理解．
【教案方法】
创设情境－自主探究－合作交流－应用提高．
【教案过程】
一、设置问题情境、激发学生的学习兴趣和学习欲望。
大家都爱看侦探小说《柯南》吧，其中有这样一个故事：
柯南到了一个杀人现场后，发现现场只留下一串脚印，但是柯南很快推断出了杀人嫌疑犯的身高，你知道他为什么如此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗？
结论：
人们的身高在一般情况下随着脚的大小的变化而变化。
新课引入：
其实生活中还有很多类似的现象。
例如：
气温随着时间的变化而变化，汽车行驶里程会随着行驶时间的变化而变化等等。
为了更好认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律，数学家们经过了很长时间的探索和研究，发现引入了“函数”的知识来表示这些变化过程中的数量关系。
从本节课开始我们将学习这一部分知识。
【设计意图】利用学生感兴趣的实例引入本课学习的内容，调动学生学习的兴趣。
二、独立探究具体问题的数量关系和变化规律。
1、问题1：
汽车以60千M/时的速度匀速行驶，行驶里程为
千M，行驶时间为
小时。
（1）试用一个数学表达式表示行驶里程
和时间
的关系：
_______________
（时）
1
2
3
4
5
…
（千M）
（2）请根据题意填表：
（3）从上述分析中发现：
①行驶路程随的变化而变化，即
随的变化而变化；
②任意确定一个行驶时间
的值，行驶路程
都有____个值与之对应。
2、问题2：
首都北京春季某一天的气温T随时间t变化的图象如下，请根据图象的信息填空：
（1）这一天的6时的气温是___℃、12时的气温是____℃；22时的气温是____℃；
（2）从上图中发现：
①温度随的变化而变化，即
随的变化而变化；
②任意确定一个时间
的值，温度
都有______个值与之对应。
3、问题3：
如表，是某班同学一次数学测试的成绩登记表，
（1）这一数学测试中，13号的成绩为______，
17号的成绩为______，23号的成绩为______；
（2）从成绩表中发现：
①测试成绩随的变化而变化；
②任意确定一个学号，都有________个成绩与之对应。
【设计意图】函数的概念是初中数学的一个核心概念，而函数概念的核心内容是两个变量的唯一对应关系，对函数概念本质上的理解需要高中的知识作为支撑，因此在初中阶段我们能做的，应该是让学生通过实例来感知函数的概念，体会变量之间的互相依存关系和变化规律。
故在本环节中，我们设计了三个问题情景，让学生在现实情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律。
此外，我们希望通过这三个问题引出常量、变量、函数等概念，使学生体验从具体到抽象地认识过程。
还有我们运用了三种不同的表达方式（图象、列表、数学表达式）来表述三个问题，目的是给学生呈现函数的三种表示方式。
三、问题引申，理解变量、常量的含义和函数的概念、自变量的意义。
上述三个问题反映了不同事物的变化过程，在变化过程中，其中有些量的值按照某种规律变化，有些量的值始终不变；其中每个问题中的变量都有两个，两个变量是相互联系的，并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值。
1、变量和常量：
在某个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，其中变量y随着变量x的变化而变化，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一个确定的值和它相对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
例：
问题1：
在这方程中有几个未知数？
有几个变量？
分别是谁？
问题2：
两个变量x、y之间是否存在函数关系？
如果是，谁是自变量？
谁是谁的函数？
3、小结归纳变量和函数的有关概念，函数的三种表示方法，以及用解读式法表示函数时注意事项。
4、理解巩固：
①购买一些铅笔，若单价为0.2元/枝，总价y元随铅笔枝数x变化，则总价y与枝数x的关系为：
_____________，其中常量是_______，变量是________；
自变量是_______，______是_____的函数。
②用10m长的绳子围成一个长方形，如果设长方形的一边长为xm，那么另一边的长为__________m，面积为__________m2。
积为ym2，
一边长x（m）
1
2
2.5
3
…
面积为y（m2）
…
（1）根据上述关系填表：
（2）若设面积为ym2，则面积y与边长x的函数关系式为：
____________________
其中的常量是_______，变量是________；自变量是_______，______是_____的函数。
【设计意图】通过上述的三个问题进行具体的讲评，借助实例来理解变量、常量以及函数等概念，强调理解函数概念的关键为：
①一个变化过程，②两个变量，③唯一对应关系.在讲解概念后立即给出理解巩固题，给学生创设一个独立领悟的空间，再通过小组讨论的形式，借助协助交流进一步理解、领会有关的概念。
四、课题学习：
请分析下列各图中哪些表示y是x的函数。
【设计意图】这是一道书本中的练习题，但考虑到难度较大，要对学生函数概念的有较好的理解的同时还要求学生有较好的识图能力，故把它设置为例题，供同学们讨论交流，进一步加深对本课学习内容的理解。
五、学会小结：
1、在一个变化过程中，有两个变量x和y，其中变量y随着变量x的变化而变化，并且对于变量x的_____个值，变量y都有_____个确定的值和它相对应，我们就说x是____变量，____是____的函数。
六、综合检测：
1、如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积，则根据圆的面积公式得S与r的关系式为：
________，其中自变量是______，______是_____的函数。
2、现有笔记本500本，学生x人，若每人5本，则余下y本笔记本，
用含x的式子表示y为：
y=________，其中常量是_____，y和x都是_____量。
3、在圆的周长公式C=2πR中，下列说法正确的是（）
（A）C、π、R是变量，2是常量（B）R是变量，C、2、π是常量
（C）C是变量，2、π、R是常量（D）C、R是变量，2、π是常量
4、一个等腰三角形的周长为20cm，若它的腰长为xcm，底边长为ycm，则底边y与腰长x的函数关系式为：
_____________，其中____是自变量，______是_____的函数。
5、如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要多少？
第1个第2个第3个……
（1）请按照上图的摆放规律填表：
图形序号n
1
2
3
4
5
……
火柴棒的根数s
……
（2）写出火柴棒的根数s与图形序号n的函数关系式：
_____________
6、瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式_______________，其中的常量是_________，变量是_________。
七、课堂小结与反思：
本节课你的收获是什么？
还存在的疑惑是什么？
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【设计意图】通过小结、课堂训练和学生反思，进一步理顺学生的学习思路，加深对变量、常量和函数等有关概念的理解。
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