谈谈高斯勒让德公式推导过程.docx
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谈谈高斯勒让德公式推导过程
4章数值积分与数值微分
4.1引言
4.1.1数值求积的基本思想
实际问题当中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系．
依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分
．
只要找到被积函数
的原函数
，便有下列牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式：
但实际使用这种积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如
等等，我们找不到用初等函数表示的原函数；另外，当
是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿－莱布尼兹公式也不能直接使用．因此有必要研究积分的数值计算问题．
积分中值定理告诉我们，在积分区间
内存在一点
，成立
就是说，底为
而高为
的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积
（图４－１）．问题在于点
的具体位置一般是不知道的，因而难准确算出
的值．我们将
称为区间
上的平均高度．这样，只要对平均高度
提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．
如果我们用两端点“高度”
和
的算术平均平均作为平均高度
的近似值，这样导出的求积公式
（4.1.1）
便是我们所熟悉的梯形公式（几何意义参看图４－２）．而如果改用区间中点
的“高度”
近似地取代平均高度
，则又可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）
（4.1.2）
更一般地，我们可以在区间
上适当选取某些节点
，然后用
加权平均得到平均高度
的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：
（4.1.3）
式中
称为求积节点；
称为求积系数，亦称伴随节点
的权．权
仅仅与节点
的选取有关，而不依赖于被积函数
的具体形式．
这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．
4.1.2代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．
定义１ 如果某个求积公式对于次数不超过
的多项式均能准确地成立，但对于
次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有
次代数精度．
不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有一次代数精度．
一般地，欲使求积公式（4.１.３）具有
次代数精度，只要令它对于
都能精确成立，这就要求
（4.1.4）
为简洁起见，这里省略了符号
中的上下标．
如果我们事先选定求积节点
，臂如，以区间
的等距分点作为节点，这时取
求解方程组（4.1.4）即可确定求积系数
，而使求积公式（4.1.3）至少具有
次代数精度．本章第２节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例．
为了构造出形如（4.1.3）的求积公式，原则上是一个确定参数
和
的代数问题．
4.1.3插值型的求积公式
设给定一组节点
且已知函数
在节点上的值，作插值函数
（参见第２章（2.9）式）．由于代数多项式
的原函数是容易求出的，我们取
作为积分
的近似值，这样构造出的求积公式
（4.1.5）
称为是插值型的，式中求积系数
通过插值基函数
的积分得出
（4.1.6）
由插值余项定理（第２章的定理２）即知，对于插值型的求积公式（4.1.5），其余项
（4.1.7）
式中
与变量
有关，
．
如果求积公式（4.1.5）是插值型的，按式（4.1.7），对于次数不超过
的多项式
，其余项
等于零，因而这时求积公式至少具有
次代数精度．
反之，如果求积公式（4.1.5）至少具有
次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公式（4.1.5）对于插值基函数
应准确成立，即有
注意到
，上式右端实际上即等于
，因而式（4.1.6）成立．
综上所述，我们的结论是：
定理１ 形如（4.1.5）的求积公式至少具有
次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．
4.1.4求积公式的收敛性与稳定性
定义２ 在求积公式（4.1.3）中，若
．
其中
，则称求积公式（4.1.3）是收敛的．
在求积公式（4.1.3）中，由于计算
可能产生误差
，实际得到
，即
．记
．
如果对任给小正数
，只要误差
充分小就有
， （4.1.8）
它表明求积公式（4.1.3）计算是稳定的，由此给出：
定义３ 在任给
，若
，只要
就有（4.1.8）成立，则称求积公式（4.1.3）是稳定的．
定理２ 若求积公式（4.1.3）中系数
，则此求积公式是稳定的．
证明 对任给
，若取
，对
都有
，则有
由定义３可知求积公式（4.1.3）是稳定的．证毕．
定理２表明只要求积系数
，就能保证计算的稳定性．
4.2牛顿－4.3柯特斯公式
4.2.1柯特斯系数
设将积分区间
划分为
等分，步长
，选取等距节点
构造出的插值型求积公式
（4.2.1）
称为牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）公式，式中
称为柯特斯系数．按（4.1.6）式，引进变换
，则有
（4.2.2）
由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当
时，
这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式（4.1.1）．
当
时，按（4.2.2）式，这时柯特斯系数为
相应的求积公式是下列辛普森（Simpson）公式
，（4.2.3）
而当
的牛顿－柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式是
（4.2.4）
为里
．
下表列出柯特斯系数表开头的一部分．
1
2
3
4
5
6
7
8
从表中看到
时，
出现负值，于是有
，
特别地，假定
，且
，则有
它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故
时的牛顿－柯特斯公式是不用的．
4.2.2偶阶求积公式的代数精度
作为插值型的求积公式，
阶的牛顿－柯特斯公式至少具有
次代数精度（定理１）．实际的代数精度能否进一步提高呢？
先看辛普森公式（4.2.3），它是二阶牛顿－柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度．进一步用
进行检验，按辛普森公式计算得
另一方面，直接求积得
．
这时有
，即辛普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成立，又容易验证它对
通常是不准确的，因此，辛普森公式实际上具有三次代数精度．
一般地，我们可以证明下述论断：
定理３ 当阶
为偶数时，牛顿－柯特斯公式（4.2.1）至少具有
次代数精度．
证明 我们只要验证，当
为偶数时，牛顿－柯特斯公式对
的余项为零．
按余项公式（4.1.7），由于这里
，从而有
．
引进变换
，并注意到
，有
，
若
为偶数，则
为整数，再令
，进一步有
，
据此可以断定
，因为被积函数
是个奇函数．证毕．
4.2.3几种低阶求积公式的余项
首先考虑梯形公式，按余项公式（4.1.7），梯形公式（4.1.1）的余项
，
这里积分的核函数
在区间
上保号（非正），应用积分中值定理，在
内存在一点
，使
． （4.2.5）
再研究辛普森公式（4.2.3）的余项
．为此构造次数不超过３的多项式
，使满足
（4.2.6）
这里
．由于辛普森公式具有三次代数精度，它对于构造出的三次多项式
是准确的，即
，
而利用插值条件（4.2.6）知，上式右端实际上等于按辛普森公式（4.2.3）求得的积分值Ｓ，因此积分余项
．
对于满足条件（4.2.6）的多项式
，其插值余项由第２章（2.5.11）得
，
故有
．
这时积分的核函数
在
上保号（非正），再用积分中值定理有
． （4.2.7）
关于柯特斯公式（4.2.4）的积分余项，这里不再具体推导，仅列出结果如下：
． （4.2.8）
4.3复4.4化求积公式
前面已经指出高阶牛顿－柯特斯求公式不稳定的，因此，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度．为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式．这种方法称为复化求积法．本节讨论复化梯形公式与复化辛普森公式．
4.4.1复4.4.2化梯形公式
将区间
划分为
等分，分点
，在每个子区间
上采用梯形公式（4.1.1），则得
（4.3.1）
记
， （4.3.2）
称为复化梯形公式，其余项可由（4.2.5）得
．
由于
，且
．
所以
使
．
于是复化梯形公式余项为
． （4.3.3）
可以看出误差是
阶，且由（4.3.3）立即得到，当
，则
，
即复化梯形公式是收敛的．事实上只要设
，则可得到收敛性，因为只要把
改写为
．
当
时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分
，所以复化梯形公式（4.3.2）收敛．此外，
的求积系数为正，由定理２知复化梯形公式是稳定的．
4.4.3复4.4.4化辛普森求积公式
将区间
分为
等分，在每个子区间
上采用辛普森公式（4.2.3），若记
，则得
（4.3.4）
记
（4.3.5）
称为复化辛普森求积公式．其余项由（4.2.7）得
，
于是当
时，与复化梯形公式相似有
． （4.3.6）
由（4.3.6）看出，误差阶为
，收敛性是显然的，实际上，只要
则可得收敛性，即
此外，由于
中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定．
例１ 对于函数
，给出
的函数表（见表４－２），试用复化梯形公式（4.3.2）及复化辛普森公式（4.3.5）计算积分
0
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
1
0.9973978
0.9896158
0.9767267
0.9588510
0.9361556
0.9088516
0.8771925
0.8414709
，
并估计误差．
解 将积分区间[0,1]划分为８等分，应用复化梯形法求得
；
而如果将[0,1]分为４等分，应用复化辛普森法有
．
比较上面两个结果
和
，它们都需要提供９个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值I=0.9460831比较，复化梯形公式的结果
只有两位有效数字，而复化辛普森的结果
却有六位有效数字．
为了利用余项公式估计误差，要求
的高阶导数，由于
，
所以有
，
于是
．
由（4.3.3）得复化梯形公式的误差
．
对复化辛普森公式误差，由（4.3.6）得
．
4.5高斯求积公式
4.5.1一般理论
形如（1.3）的机械求积公式
含有
个待定参数
．当
为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为
次，如果适当选取
，有可能使求积公式具有
次代数精度，这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式．为使问题更具有一般性，我们研究带权积分
，这里
为权函数，类似（4.1.3），它的求积公式为
， （4.5.1）
为不依赖于
的求积系数，
为求积节点，可适当选取
及
使（4.5.1）具有
次代数精度．
定义４ 如果求积公式（4.5.1）具有
次代数精度，则称其节点
为高斯点，相应公式（4.5.1）称为高斯求积公式．
根据定义要使使（4.5.1）具有
次代数精度，只要取
，对
，（4.5.1）精确成立，则得
． （4.5.2）
当给定权函数
，求出右端积分，则可由（4.5.2）解得
及
．
例５ 试构造下列积分的高斯求积公式：
． （4.5.3）
解 令公式（4.5.3）对于
准确成立，得
（4.5.4）
由于
，
利用（4.5.4）的第１式，可将第２式化为
．
同样地，利用第２式化第３式，利用第３式化第４式，分别得到
从上面三式子消去
，有
进一步整理得
由此解出
，
从而求出
于是形如（4.5.3）的高斯求积公式是
．
从此例看到求解非线性方程组（4.5.2）较为复杂，通常
就很难求解．故一般不通过求解方程（4.5.2）求
及
，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．
定理５ 插值型求积公式（4.5.1）的节点
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
与任何次数不超过
的多项式
带权
正交，即
． （4.5.5）
证明 必要性．设
，则
，因此，如果
是高斯点，则求积公式（4.5.1）对于
精确成立，即有
．
因
，故（4.5.5）成立．
再证充分性．对于
，用
除
，记商为
，余式为
，即
，其中
．由（4.5.5）可得
． （4.5.6）
由于所给求积公式（4.5.1）是插值型的，它对于
是精确的，即
．
再注意到
，知
，从而由（4.5.6）有
．
可见求积公式（4.5.1）对一切次数不超过
的多项式均精确成立．因此，
为高斯点． 证毕．
定理表明在
上带权
的
次正交多项式的零点就是求积公式（4.5.1）的高斯点，有了求积节点
，再利用（4.5.2）对
成立，则得到一组关于求积系数
的线性方程．解此方程则得
．也可以直接由的插值型多项式求出求积系数．
下面讨论高斯求积公式（4.5.1）的余项．利用
在节点
的埃尔米特插值
，即
．
于是
两端乘
，并由
到
积分，则得
． （4.5.7）
其中右端第一项积分对
次多项式精确成立，故
．
由于
，故由积分中值定理得（4.5.1）的余项为
． （4.5.8）
下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性．
定理６ 高斯求积公式（4.5.1）的求积系数
全是正的．
证明 考察
，
它是
次多项式，因而
是
次多项式，故高斯求积公式（4.5.1）对于它能够准确成立，即有
．
注意到
，上式右端实际上即等于
，从而有
．
定理得证．
由本定理及定理２，则得
推论 高斯求积公式（4.5.1）是稳定的．
定理７ 设
，则高斯求积公式（4.5.1）是收敛的，即
．
证明见［１］．
4.5.2高斯－4.5.3勒让德求积公式
在高斯求积公式（4.5.1）中，若取权函数
，区间为
，则得公式
． （4.5.9）
我们知道勒让德多项式（参见式（3.2.5））是区间
上的正交多项式，因此，勒让德多项式
的零点就是求积公式（4.5.9）的高斯点．形如（4.5.9）的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．
若取
的零点
做节点构造求积公式
．
令它对
准确成立，即可定出
．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．
再取
的两个零点
构造求积公式
，
令它对
都准确成立，有
．
由此解出
，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．
表４－７列出高斯－勒让德求积公式（4.5.9）的节点和系数．
表４－７
0
0.0000000
2.0000000
1
0.5773503
1.0000000
2
0.7745967
0.0000000
0.5555556
0.8888889
3
0.8611363
0.3399810
0.3478548
0.6521452
4
0.9061798
0.5384693
0.0000000
0.2369269
0.4786287
0.5688889
公式（4.5.9）的余项由（4.5.8）得
，
这里
是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3.2.6）及（3.2.7）得
． （4.5.10）
当
时，有
．
它比辛普森公式余项
还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间
时，只要做变换
可将
化为［－１，１］，这时
． （4.5.11）
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
例６ 用４点（
）的高斯－勒让德求积公式计算
．
解 先将区间
化为［－１，１］，由（4.5.11）有
．
根据表４－７中
的节点及系数值可求得
（准确值
）．
4.5.4高斯－4.5.5切4.5.6比雪夫求积公式
若
，且权函数
，
则所建立的高斯求积公式为
． （4.5.12）
特别地称为高斯－切比雪夫求积公式．由于区间［－１，１］上关于权函数
的正交多项式是切比雪夫多项式（参见3.2节），因此求积公式（4.5.12）的高斯点是
次切比雪夫多项式的零点，即为
．
通过计算可知（4.5.12）的系数
，使用时将
个节点公式改为
个节点，于是高斯－切比雪夫求积公式写成
． （4.5.13）
公式余项由（4.5.9）可算得
． （4.5.14）
带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分．
例７ 用５点（n=5）的高斯－切比雪夫求积公式计算积分
．
解 这里
，当
时由公式（4.5.13）可得
．
由余项（4.5.14）可估计得
．
4.6数值微分
4.6.1中点方法与误差分析
数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值．按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式
（６．１）
其中
为一增量，称为步长．后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均．但它的误差阶却由
提高到了
．上面给出的三个公式是很实用的．尤其是中点公式更为常用．
为要利用中点公式
计算导数
的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析．分别将
在
处做泰勒展开有
代入上式得
由此可知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确．且
其中
．
再考虑舍入误差．按中点公式计算，当
很小时，因
和
很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失（参看第１章第４节）．因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的．
例如，用中点公式求
在
处的一阶导数
设取４位数字计算．结果见表４－８（导数的准确值
）．
表４－８
h
G（h）
h
G（h）
h
G（h）
1.0
0.5
0.1
0.3660
0.3564
0.3535
0.05
0.01
0.005
0.3530
0.3500
0.3500
0.001
0.0005
0.0001
0.3500
0.3000
0.3000
从表４－８中看到
的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差．这是因为当
和
分别有舍入误差
和
．若令
，则计算
的舍入误差上界为
它表明
越小，舍入误差
越大，故它是病态的．用中点公式（4.6.1）计算
的误差上界为
要使误差
最小，步长
不宜太大，也不宜太小．其最优步长为
．
4.6.2 插值型的求导公式
对于列表函数
：
运用插值原理，可以建立插值多项式
作这［经的的似．由于多项式的求导比较容易，我们取
的值作为
的近似值，这样建立的数值公式
（4.6.3）
统称为插值型的求导公式．
必须指出，即使
与
值相差不多，导数的近似值
与导数的真值
仍然可能差别很大，因而在使用求导公式（4.6.3）时应该特别注意误差的分析．
依据插值余项定理，求导公式（4.6.3）的余项为
，
式中
．
在这一余项公式中，由于
是
的未知函数，我们无法对它的第二项
做出进一步的说明．因此，对于随意给出的点
，误差
是无法预估的．但是，如果我们限定求某个节点
上的导数值，那么上面的第二项因式
变为零，这时有余项公式
． （4.6.4）
下面我们仅仅考察节点处的导数值．为简化讨论，假定所给的节点是等距的．
１．两点公式
设已给出两个节点
上的函数值
，做线性插值得公式
．
对上式两端求导，记
，有
于是有下列求导公式：
而利用余项公式（4.6.4）知，带余项的两个点公式是
２．三点公式
设已给出三个节点
上的函数值，
做二次插值
．
令
，上式可表示为
．
两端对
求导，有
．（4.6.5）
这里撇号
表示对变量
求导数．上式分别取
，得到三种三点公式：
而带余项的三点求导公式如下：
（4.6.6）
其中的公式（4.6.6）是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值
而引人注目．
用插值多项式
作为
的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：
，k=1,2,…
例如，将式（4.6.5）再对
求导一次，有
，
于是有
．
而带余项的二阶三点公式如下：
． （4.6.7）
4.6.3 利用数值积分求导
微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分．设
是一个充分光滑的函数，设
，则有
， （4.6.8）
对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式．例如，对
用中矩形公式（4.1.2），则得
．
从而得到中点微分公式．
若对（4.6.8）右端积分用辛普森求积公式，则有
上式略去余项，并记
的近似值为
，则得到辛普森数值微分公式
．
这是关于
这
＋１个未知量的
－１个方程组，若
，
已知，则可得
（4.6.9）
这是关于
的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解（见第５章５.４节）．
如果端点导数数值不知道，那么对（4.6.3）中第１个和第n-1个方程可分利用
及
的中点微分公式近似，即取
．
然后求
即为
的近似值．
例８ 给定
的一张数据表（表４－９左部），并给定
及
的值（见表４－９）．利用辛普森数值微分公式求
在
上的一阶导数．
解 根据（4.6.9）有
解之得
，结果见表４－９．
表４－９
０
１
２
３
４
５
100
101
102
103
104
105
10.00000000
10.04987562
10.0995
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