九年级数学 初中各种函数知识点总结良心出品必属.docx
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九年级数学初中各种函数知识点总结良心出品必属
初中各种函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，b?
a（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限0y?
?
0,?
x点P（x,y）在第二象限0?
0,y?
x?
点P（x,y）在第三象限0?
0,y?
x?
点P（x,y）在第四象限0?
y?
x?
0
2、坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上，x为任意实数0y?
?
点P（x,y）在y轴上，y为任意实数0x?
?
点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，?
0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等?
1
y互为相反数与点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x?
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
位于平行于
y轴或远点对称的点的坐标的特征、关于x轴、5轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数p'关于x点P与点?
纵坐标相等，横坐标互为相反数'关于y轴对称点P与点p?
横、纵坐标均互为相反数与点p'关于原点对称点P?
、点到坐标轴及原点的距离6到坐标轴及原点的距离：
点P（x,y）x轴的距离等于到
（1）点P（x,y）
y轴的距离等于y）点P（x,y）到2（x（3）点P（x,y）到原点的距离等于22yx?
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
2
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四，正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
?
b?
kx?
y特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。
这?
kxy?
bkx?
?
y时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像：
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经b?
y?
kx过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
kxy?
3
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
0
x
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<0
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0
图像经过二、三、四象
4
y
0
x
的增大而减小。
y随x限，
时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
注：
当b=0
4、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：
kxy?
的增大而增大；x时，图像经过第一、三象限，y随
（1）当k>0的增大而减小。
随xy
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，
、一次函数的性质5一般地，一次函数有下列性质：
by?
kx?
x随的增大而增大k>0
（1）当时，y的增大而减小xyk<02（）当时，随
5
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常?
kxy?
数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常?
by?
kx?
数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k）叫做反比例函数。
反比例函数的解k0一般地，函数（k是常数，?
?
y
x的一切实数，函x0的取值范围是析式也可以写成的形式。
自变量x1?
?
kxy?
数的取值范围也是一切非零实数。
、反比例函数的图像2反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、，由于反比例函数中自变量它们关于原点对称。
x0三象限，或第二、四象限，?
轴都没有交点，即双曲线的两个分支无y0函数y，所以，它的图像与x轴、?
限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
6
3、反比例函数的性质
反比例函数
k）?
k?
y0（x
的符k号
k>0
k<0
图像
yOx
yOx
7
性质
的取值范围是x0，①x?
y的取值范围是y0；?
时，函数图像的两个分支②当k>0分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
，的取值范围是x0①x?
；的取值范围是y0y?
函数图像的两个分支时，②当k<0分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定k只有一个由于在反比例函数确定及诶是的方法仍是待定系数法。
中，?
y
x的k待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出值，从而确定其解析式。
、反比例函数中反比例系数的几何意义5k，P图像上任一点如下图，过反比例函数作x轴、y轴的垂线PM）y?
（k0?
xk。
。
S=PMPN，则所得的矩形PMON的面积PN=
xy?
yx?
k?
?
?
?
y,xyk,S?
?
x
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念不为零，那，特别注意a一般地，如果特2）?
是常数，,,（?
axy?
?
bxcabca0么yx的二次函数。
叫做叫做二次函数的一般式。
2）a（?
bxax?
y?
c是常数，c,b,a0?
8
2、二次函数的图像
b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
二次函数的图像是一条关于?
?
x
a2抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：
，在平面直角坐标系中描出顶点M
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，并用虚线画出对称轴与坐标轴的交点：
（2）求抛物线2cbx?
ax?
?
y轴的交当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向点C，再找到点C的对称点D上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
及C轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点当抛物线与x三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较DM、D对称点。
由C、，然后顺次连接五点，画出二次函数、B精确的图像，可再描出一对对称点A的图像。
知识点七、二次函数的解析式三顶点二次函数的解析式有三种形式：
口诀-----一般两根
（1）一般一般式：
2）是常数，,c（ab,ca?
0?
axy?
?
bx轴有交点时，即对应二次好方程x当抛物线与）两根（22cbxax?
y?
?
9
有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式2xx0?
?
axc?
bx21，二次函数可转化为两根式22）xx）（x?
bx?
c?
a（xax?
?
cbx?
ax?
?
y21。
如果没有交点，则不能这样表示。
）xx）（x?
y?
a（x?
21（3）三顶点顶点式：
2）?
0k是常数，a?
k（a,hy?
a（x?
h）,a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最2b?
4acb小值），即当时，。
?
y?
x?
最值4a2ab是否在自变量取，那么，首先要看如果自变量的取值范围是xx?
x?
?
212a2b?
4acb值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此?
yx?
x?
x?
21最值4a2a范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x?
xx?
21，；x的增大而增大，则当时，当时，22x?
xx?
xcbx?
?
ax?
?
y?
ax?
bxcy112212最小最大，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当2x?
x?
xxc?
bx?
?
yax1121最大时，。
2c?
bx?
y?
ax22最小知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
2）0是常数，ca?
,（?
axy?
?
bxcab
图像
a>0
a<0
y
10
0x
y0x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；b，顶点坐标是2（）对称轴是x=?
2a2b4ac?
b；（，）?
a42abx<（3）在对称轴的左侧，即当?
2ax的增大而减小；在对时，y随b时，yx>称轴的右侧，即当?
2a随x的增大而增大，简记左减右增；b当）（4抛物线有最低点，x=时，?
2a
并向下无限抛物线开口向下，1）（延伸；b顶点坐标是，2）对称轴是x=（?
a22b?
4acb；（，）?
a4a2bx<在对称轴的左侧，即当（3）?
a2的增大而增大；在xy时，随b时，对称轴的右侧，即当x>?
a2的增大而减小，简记左xy随增右减；b时，x=）4抛物线有最高点，当（?
a2
11
】h<0）>0）【或左（向右（h向右（h>0）】<0）个单位|k|平移个单位k|平移|】（k<0）>0）向上（k【或下个单位平移|k|
2?
b4acy有最小值，?
y最小值4a2y=ax
2b?
4ac有最大值，y?
y最大值a42k+y=ax
的含义：
中，2、二次函数2）0c,b,是常数，a?
y?
axbx?
?
c（acb、a、时，抛物线开口向上表示开口方向：
>0aa时，抛物线开口向下<0ab与对称轴有关：
对称轴为x=?
b
a2，）y轴的交点坐标：
（0表示抛物线与cc
3、二次函数与一元二次方程的关系
轴的交点坐标。
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴是否有x因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与2ac?
?
b4?
交点。
轴有两个交点；x当>0时，图像与?
轴有一个交点；时，图像与x=0当?
轴没有交点。
<0当时，图像与x?
中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）知识点十
12
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y
如图：
点A坐标为（x，y）点B坐标为（x，y）2112?
?
?
?
22AAB的长度为间的距离，即线段则AByy?
x?
x?
2112
0x
B
2．二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2?
?
?
?
kh，kh?
?
yax?
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法?
?
2k，haxy?
如下：
13
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位
】<0）【或左（h（向右（h>0）【或左h个单位|k|平移2）y=a（x-h2+kx-h）y=a（个单位|k|【或下向上（k>0）（k<0）】平移
③平移规律
负下移”．负左移；值正上移，在原有函数的基础上“值正右移，kh
）（必须理解记忆异右下减特别记忆--同左上加
说明：
值异号，图像顶轴左侧同左，ab，b值同号，图像顶点在y①函数中aY轴右侧异右点必在向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减②
轴上的截距b、直线斜率：
为直线在y3yy?
?
12?
k?
tan
x?
x12、直线方程：
4
:
①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式
y?
y?
12）x（x?
x?
b?
y?
ykx?
?
（tan）x?
b
11x?
x12②点斜）?
x（yy?
?
kxx110）
≠＋＝直线的斜截式方程，简称斜截式③斜截:
ykxb（k14
简称截轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，④截距由直线在yxyx距式：
1?
?
ba截距点斜斜截牢记口诀---两点斜截距--两点
ll、设两条直线分别为，：
：
5b?
kx?
yb?
kx?
y122211l//lb?
bkk?
l//l?
若且。
，则有21212211若1?
k?
l?
l?
k?
2211
:
6、点P（x，y）到直线y=kx+b（即：
kx-y+b=0）的距离00bkxkx?
y?
b?
y?
0000?
?
d2221k（?
?
1）k?
７．抛物线中，abc,的作用2c?
bx?
y?
ax
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.2ax?
yaa
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对2cbxax?
?
y?
ab称轴是直线
bb，故：
①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对x?
?
?
0ayb0b?
aa2b口、（即异号）时，对称轴在轴右侧.称轴在轴左侧；③0?
ayyb
a诀---同左异右
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
2yc?
bx?
axy?
c当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，2ycybx?
?
ax?
cy?
0x?
15
）：
c①，抛物线经过原点;0?
c②,与轴交于正半轴；y0c?
③,与轴交于负半轴.
y0?
c以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴yb.右侧，则0?
a
）十一，初中数学助记口诀（函数部分
（+,+）,（-,+）,（-,-）（x,y）,横在前来纵在后；特殊点坐标特征:
坐标平面点轴。
00,x为在Y（+,-）,和四个象限分前后；X轴上y为
Y相反X轴对称y对称点坐标要记牢对称点坐标:
相反数位置莫混淆，横纵坐标变符号。
轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,
自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
、二次函数+b（x+0）y=k函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成,2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号（的解析式写成y=ax+h）同左上加,异右下减．上下平移在末稍
一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函一次函数图像与性质口诀:
16
数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三（象）限,k为负,图在二、四（象）限;图在一、三函数减,两个分支分别减。
图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。
正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
17
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
１．对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，
X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；
原点对称最好记,横纵坐标变符号。
关于轴对称x关于轴对称后，得到的解析式是；22cax?
bx?
c?
bxy?
y?
ax?
?
x关于轴对称后，得到的解析式是；22?
?
?
?
khy?
?
y?
aax?
hk?
?
x?
x关于轴对称y关于轴对称后，得到的解析式是；22c?
cbxy?
axy?
ax?
?
bx?
y关于轴对称后，得到的解析式是；22?
?
?
?
kax?
h?
?
kxh?
y?
y?
ay关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；22cbx?
ax?
?
axbx?
?
c?
y?
y关于原点对称后，得到的解析式是22?
?
?
?
k?
hk?
y?
?
y?
aax?
hx?
关于顶点对称
2b关于顶点对称后，得到的解析式是；22caxy?
?
bx?
?
c?
ax?
bx?
?
y
a2关于顶点对称后，得到的解析式是．22?
?
?
?
k?
ky?
?
ax?
y?
?
axhh?
关于点对称?
?
nm，关于点对称后，得到的解析式是22?
?
?
?
?
?
nm，kh?
?
ay?
xkn2ha?
y?
x?
?
m?
2?
18
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方
a便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
口诀---Y反对X，X反对Y，都反对原点
2．自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，
３．函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，
二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，
则用下面后的口诀：
“左右平移在括号,上下平移在末稍,
左正右负须牢记,上正下负错不了”。
４．一次函数图像与性质口诀:
一次函数是直线，图像经过仨象限；
正比例函数更简单,经过原点一直线；
19
两个系数k与b,作用之大莫小看，
k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,
k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；
k的绝对值越大,线离横轴就越远。
５．二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点,它们确定图象限；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。
若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
20
轴看，△的y的正负开口判，c的大小二次函数抛物线，选定需要三个点，a不变，顶点牵着a、b同号轴左边抛物线平移符号最简便，x轴上数交点，a图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
:
６．反比例函数图像与性质口诀
;
双曲线相背离的远反比例函数有特点,;
）限图在二、四（象,,为正图在一、三（象）限；k为负k线;两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添,图在一、三函数减永远与轴不沾边。
越长越近轴,
的正负是关键，决定k函数学习口决：
正比例函数是直线，图象一定过原点，不变，由引得到一在减，上下平移k经过二四限，kx增大y直线的象限，负向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关次线，向上加b键；
在减，图象增大yx反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，的顺序可交换；x、y上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线
７．求定义域：
21
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
８．解一元一次不等式：
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。
先去分母再括号，移项别忘要变号。
同类各项去合并，系数化“1”注意了。
同乘除正无防碍，同乘除负也变号。
９．解一元二次不等式：
22
首先化成一般式，构造函数第二站。
判别式值若非负，曲线横轴有交点。
a正开口它向上，大于零则取两边。
代数式若小于零，解集交点数之间。
方程若无实数根，口上大零解为全。
小于零将没有解，开口向下正相反。
１０．用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
，计算方程判别式。
确定参数abc
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
１１．用常规配方法解一元二次方程：
”是其次。
左未右已先分离，二系化“1
一系折半再平方，两边同加没问题。
左边分解右合并，直接开方去解题。
该种解法叫配方，解方程时多练习。
１２．用间接配方法解一元二次方程：
23
已知未知先分离，因式分解是其次。
调整系数等互反，和差积套恒等式。
完全平方等常数，间接配方显优势
【注】恒等式
１３．解一元二次方程：
方
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