默认标题.docx

默认标题.docx

《默认标题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《默认标题.docx（37页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

默认标题

默认标题-2011年8月29日

©2011菁优网

一、解答题（共13小题）

1、（2001•青海）已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：

四边形ABCD是等腰梯形．

分析：

要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

2、如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根据正三角形的性质可知：

在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：

在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边　_________　；

（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；

（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．

3、如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D

是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

4、点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=

∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于D、E，求证：

BE=CD．

5、如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：

点P是否也在边AC的垂直平分线上．

6、如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N．

（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；

（2）若∠ACB=110°，求∠MCN的度数．

7、如图，△ABC中，∠B=25°，∠C=40°，AB的垂直平分线DN交BC于D，AC的垂直平分线EF交BC于E，连接AD、AE．求△ADE各内角的度数．

8、电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

9、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE的周长和∠EBC的度数．

10、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE是直角边AB的垂直平分线，∠DBA=∠ABC，连接AD求证：

（1）四边形ADBC是梯形；

（2）

．

11、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，且CD=5，求AD的长？

12、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，求证：

AB+AD=AC．

13、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF=4cm．求

（1）∠F的度数；

（2）AB的长．

二、选择题（共17小题）

14、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）

A、1个B、2个

C、3个D、4个

15、在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：

（1）AC⊥BD；

（2）BC=DE；（3）∠DBC=

∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（　　）

A、

（1）和

（2）B、

（2）和（3）

C、（3）和（4）D、

（1）和（4）

16、如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（　　）

A、3cmB、4cm

C、1.5cmD、2cm

17、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A、1个B、2个

C、3个D、4个

18、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（　　）

A、1个B、3个

C、4个D、5个

19、如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是（　　）

A、5+2

B、5+

C、3+2

D、3+

20、如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（　　）

A、6B、8

C、10D、无法确定

21、如图：

AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中共有等腰三角形（　　）

A、2个B、3个

C、4个D、5个

22、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）

A、7B、14

C、17D、20

23、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

B、4

C、6D、4

24、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

25、（2009•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A、

B、

C、

D、2

26、和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）

A、三条角平分线的交点B、三边中线的交点

C、三边上高所在直线的交点D、三边的垂直平分线的交点

27、直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　）

A、形内B、形外

C、斜边的中点D、不能确实

28、如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（　　）

A、5cmB、10cm

C、15cmD、17.5cm

29、（2011•黄石）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）

A、3cmB、6cm

C、

cmD、

cm

30、（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）

A、3.5B、4.2

C、5.8D、7

答案与评分标准

一、解答题（共13小题）

1、（2001•青海）已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：

四边形ABCD是等腰梯形．

分析：

要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

考点：

等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

此处选择证A、D两种情况，A）过点A作AE∥DC，交BC边于点E，根据已知可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而得到∠ABC=∠DCB，根据平行线的性质可得到∠DCB=∠AEB，从而推出AE=AB=DC，根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，从而推出AD∥EC即AD∥BC，又因为AD≠BC，AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．

D）同理可证明得四边形ABCD是等腰梯形．

解答：

此处选择证A、D两种情况．

A）证明：

过点A作AE∥DC，交BC边于点E，

∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠ABC=∠DCB．

∵AE∥DC，

∴∠DCB=∠AEB．

∴∠AEB=∠ABC．

∴AE=AB=DC．

∴四边形ADCE为平行四边形．

∴AD∥EC即AD∥BC．

∵AD≠BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

D）证明：

过点D作DG∥AC，交BC延长与点G，

∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠ACB=∠DBC．

∵DG∥AC，

∴∠ACB=∠DGC．

∴∠DBC=∠DGC．

∴DG=DB=AC．

∴四边形ADGC为平行四边形．

∴AD∥GC即AD∥BC．

∵AD≠BC，AB=DC，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

点评：

此题主要考查学生对全等三角形的判定及等腰梯形的判定的理解及掌握情况．

2、如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根据正三角形的性质可知：

在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：

在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边　等于斜边的一半　；

（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；

（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．

考点：

线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形。

专题：

证明题。

分析：

（1）由等边三角形的性质即可得到答案；

（2）设DE交BC于点I，由∠CBD和∠FDB的度数即可求出a的度数；

（3）设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，推出HI=2x，EH=BD=x，再证△AHE和△CID全等，即可得到答案．

解答：

解：

（1）FD=AC=

AB=

DE．

故答案为：

等于斜边的一半．

（2）解：

设DE交BC于点I

∵AC∥DE，

∴∠CIE=∠ACB=90°，

∵∠FDE=60°，

∴α=30°．

答：

α=30°．

（3）AE=CD，

理由是：

在图④中，设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，

则由

（1）得ED=4x，BD=x，

又因为AC=FD=2x，

所以HI=2x，

EH=4x﹣2x﹣x=x，

∵AC‖DE，

∴AH=CI，

∵∠AHE=∠CBD=90°，

∴△AHE≌△CID，

∴AE=CD．

点评：

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练地运用性质进行证明是解此题的关键．题型较好，综合性强．

3、如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D

是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

探究型。

分析：

（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；

（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．

解答：

解：

（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．

点评：

本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

4、点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=

∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于D、E，求证：

BE=CD．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

证明题。

分析：

作BF⊥CE于F点，CG⊥BD于G点．证明Rt△BEF≌Rt△CDG．

易证Rt△PBF≌Rt△PCG，得到BF=CG；由于∠A=∠BPE，在四边形ADPE中，根据内角和定理可得∠BEF=∠CDG，

所以Rt△BEF≌Rt△CDG．得证．

解答：

证明：

作BF⊥CE于F点，CG⊥BD于G点．

则∠PFB=∠PGC=90°．

∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC．

又∠BPF=∠CPG，

∴Rt△PBF≌Rt△PCG，

∴BF=CG；

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB=

∠BPE．

∵∠PBC=

∠A，

∴∠A=∠BPE．

∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，

∴∠AEP+∠ADP=180°．

又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDG=180°，

∴∠BEF=∠CDG．

∴Rt△BEF≌Rt△CDG．

∴BE=CD．

点评：

此题考查了垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质等知识点，如何构造全等三角形是难点．

5、如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：

点P是否也在边AC的垂直平分线上．

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．

解答：

证明：

∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，

∴PA=PB，PB=PC．

∴PA=PB=PC．

∴点P必在AC的垂直平分线上．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．

6、如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N．

（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；

（2）若∠ACB=110°，求∠MCN的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理。

分析：

（1）根据垂直平分线性质知，AM=MC，BN=CN．由△CMN的周长易求AB；

（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．

解答：

解：

（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM=CM，BN=CN．

∵△CMN的周长=CM+MN+CN=20cm，

∴AB=AM+MN+BN=20；

（2）∵∠ACB=110°，∴∠A+∠B=70°．

∵AM=CM，BN=CN，

∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，

∴∠ACM+∠BCN=70°．

∴∠MCN=∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）=110°﹣70°=40°．

点评：

此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大．

7、如图，△ABC中，∠B=25°，∠C=40°，AB的垂直平分线DN交BC于D，AC的垂直平分线EF交BC于E，连接AD、AE．求△ADE各内角的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

由于AB=AC，∠B=40°，根据等边对等角可以得到∠C=40°，又AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=CE，再根据等边对等角得到∠C=40°=∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度数．

解答：

解：

∵AB的垂直平分线DN交BC于D，AC的垂直平分线EF交BC于E，

∴DB=DA，EC=EA，

∴∠B=∠BAD=25°，∠EAC=∠C=40°

∴∠ADE=∠B+∠BAD=2×25°=50°，

∠AED=∠C+∠EAC=2×40°=80°，

∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°

∴∠ADE=50°（2分）

∠AED=80°（4分）

∠DAE=50°（6分）

点评：

本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．

8、电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

考点：

线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。

专题：

作图题。

分析：

根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．

解答：

解：

设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的交点，即为发射塔的位置．

点评：

此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．

9、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE的周长和∠EBC的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

探究型。

分析：

下根据DE是AB的垂直平分线可知AE=BE，∠DBE=∠A=50°，故△BCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC，再由AB=AC，∠A=50°可求出∠ABC的度数，再由∠DBE=50°即可求出∠EBC的度数．

解答：

解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，∠DBE=∠A=50°，

∵AB=12cm，BC=10cm，

∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC=12+10=22cm；

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=

=

=65°，

∴∠EBC=65°﹣50°=15°．

故答案为：

22cm，15°．

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．

10、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE是直角边AB的垂直平分线，∠DBA=∠ABC，连接AD求证：

（1）四边形ADBC是梯形；

（2）

．

考点：

线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；梯形。

专题：

证明题。

分析：

（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB，进而可以证明AD∥BC，可以证出四边形ADBC是梯形；

（2）延长DE交BC于F，证明△BDE≌△BEF，从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出命题．

解答：

（1）证明：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DBA=∠DAB，

∵∠DBA=∠ABC，

∴∠ABC=DAB，

∴AD∥BC，

∵AD与BD不平行，

∴四边形ADBC是梯形，

（2）证明：

延长DE交BC于F，

∵∠DBA=∠ABC，∠DEB=∠BEF=90°，BD=BD

∴△BDE≌△BEF，

∴BF=BD=AD，

∵∠BAC=∠BEF=90°

∴DF∥AC

∴四边形ACFD是平行四边形，

∴AD=FC，FC=BF=AD，

∴

．

点评：

此题主要考查了垂直平分线的性质以及平行四边形的判定等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及做出延长DE交BC于F，是解决问题的关键．

11、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，且CD=5，求AD的长？

考点：

含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

根据∠C=90°，∠A=30°，易求∠ABC=60°，而BD是角平分线，易得∠ABD=∠DBC=30°，那么易证△ABD是等腰三角形，且△BCD是含有30°角的直角三角形，易求BD，从而可求AD．

解答：

解：

如右图所示，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵BD是角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

在Rt△BCD中，BD=2CD=10，

又∵∠A=∠ABD=30°，

∴AD=BD=10．

点评：

本题考查了角平分线定义、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半．解题的关键是求出BD．

12、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，求证：

AB+AD=AC．

考点：

含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

由对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°时，可以推出△ABC≌△ADC且每个直角三角形都有角是60°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可就可以解决问题．

解答：

证明：

∵在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，

∴在直角△ABC中，∠BAC=60°=∠DAC，AC公共，

∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴∠ACB=30°=∠ACD，

∴AB=

AC，

而AB=AD，

∴AB+AD=AC．

点评：

本题证明的关键是根据已知条件证明△ABC≌△ADC和含30度角的直角三角形的性质．

13、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF=4cm．求

（1）∠F的度数；

（2）AB的长．

考点：

含30度角的直角三角形；平行线的性质。

分析：

（1）先利用三角形内角和定理的推论得出∠ABC的度数，利用平行线的性质定理可得出∠BEF=∠ABC，和∠EBF=∠C=90°，从而可得出在△BEF中，∠F=30°．

（2）结合

（1），利用含30°角的直角三角形的性质，易得BE的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BC的长，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可得出AB的长．

解答：

解：

（1）∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°．

∵EF∥AB，∠BEF=∠ABC=60°．

∵BF∥AC，∠EBF=∠C=90°，

∴∠F=30°．

（2）∵∠EBF=90°，∠F=30°，EF=4，

∴BE=

EF=2．

∵E是边BC的中点，

∴BC=4．

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC=8．

点评：

本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及平行线的性质定理，同时也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，本题难度不大，适合学生平时练习．

二、选择题（共17小题）