选修44坐标系与参数方程高考文科数学通用讲义.docx

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选修44坐标系与参数方程高考文科数学通用讲义

重点增分专题十三　选修4－4　坐标系与参数方程

[全国卷3年考情分析]

年份

全国卷Ⅰ

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ

2018

极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解

参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用

参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用

2017

参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离

直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题

直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法

2016

参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系

参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值

（1）坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：

一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

（2）全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

保分考点·练后讲评

1.（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解：

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1,0），半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，

所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，

所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（x－）2＋（y－2）2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．

解：

∵曲线C1的普通方程为（x－）2＋（y－2）2＝4，

即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.

∵直线C2的方程为y＝x，

∴直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

3.（2017·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解：

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1＞0）．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ（ρ＞0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB＞0），

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－＝2.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

[解题方略]

1．直角坐标与极坐标方程的互化

（1）直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．

（2）极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．

2．求解与极坐标有关的问题的主要方法

（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；

（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.

保分考点·练后讲评

1.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cosθ＝0，M.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．

解：

由ρsin2θ－cosθ＝0得ρ2sin2θ＝ρcosθ，

∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.

故曲线C的参数方程为（t为参数），

由题意，M的直角坐标为（0,1），

则直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数）．

2.（2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．

解：

（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，

于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

[解题方略]

参数方程化为普通方程消去参数的方法

（1）代入消参法：

将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．

（2）三角恒等式法：

利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．

（3）常见消参数的关系式：

①t·＝1；

②2－2＝4；

③2＋2＝1.

极坐标与参数方程的综合应用

[分点研究]

题型一　直线的参数方程中参数几何意义的应用

[例1]　（2019届高三·湖北五校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a,1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

[解]　

（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，a∈R），

∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，

∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，

又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，

∴x2＋4x－x2－y2＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

（2）设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

由得t2－2t＋2－8a＝0.

Δ＝（－2）2－4（2－8a）>0，即a>0，

∴

根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，

∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，

∴当t1＝2t2时，有

解得a＝>0，符合题意，

当t1＝－2t2时，有

解得a＝>0，符合题意．

综上所述，a＝或a＝.

[变式1]　本例

（2）的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．

解：

由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6，

解得a＝1或－.又∵a>0，

∴a＝1.

[变式2]　若本例曲线C1变为过点P（0，－1），其参数方程为（t为参数），其他条件不变，求|PA|＋|PB|.

解：

曲线C1的参数方程化为代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－6t＋2＝0.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则

∴t1>0，t2>0.

∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6.

[解题方略]

利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

（1）t0＝；

（2）|PM|＝|t0|＝；

（3）|AB|＝|t2－t1|；

（4）|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

题型二　极坐标方程中极径几何意义的应用

[例2]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：

θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

[解]　

（1）由圆C的参数方程为（φ为参数），

可得圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，

圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（2）由得P，

由得Q，

结合图可得|PQ|＝|OQ|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.

[解题方略]　极径的几何意义及其应用

（1）几何意义：

极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．

（2）应用：

一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．

[多练强化]

1．（2019届高三·湖北八校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

解：

（1）曲线C1的普通方程为＋y2＝1，

由ρsin＝，得ρsinθ＋ρcosθ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）设点P的坐标为（cosα，sinα），

则点P到C2的距离为＝，

当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ（k∈Z），

α＝－＋2kπ（k∈Z）时，所求距离最大，最大值为2，

此时点P的坐标为.

2．（2018·南昌模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝（ρ1∈R），θ2＝（ρ2∈R），设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．

解：

（1）由参数方程得普通方程为x2＋（y－2）2＝4，

把代入x2＋（y－2）2＝4，得ρ2－4ρsinθ＝0.

所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

（2）由直线l1：

θ1＝（ρ1∈R）与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin＝2.

由直线l2：

θ2＝（ρ2∈R）与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin＝2.

易知∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|×|ON|＝×2×2＝2.

1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.

（1）求半圆C的参数方程；

（2）若半圆C与圆D：

（x－5）2＋（y－）2＝m（m是常数，m＞0）相切，试求切点的直角坐标．

解：

（1）半圆C的普通方程为（x－2）2＋y2＝4（0≤y≤2），

则半圆C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）C，D的圆心坐标分别为（2,0），（5，），

于是直线CD的斜率k＝＝.

由于切点必在两个圆心的连线上，

故切点对应的参数t满足tant＝，t＝，

所以切点的直角坐标为，

即（2＋，1）．

2．（2018·贵阳摸底考试）曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.

（1）写出C的普通方程，并用（α为直线的倾斜角，t为参数）的形式写出直线l的一个参数方程；

（2）l与C是否相交？

若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．

解：

（1）C的普通方程为＋y2＝1，

由ρcos＝得x－y－2＝0，

则直线l的倾斜角为，

又直线l过点（2,0），

得直线l的一个参数方程为（t为参数）．

（2）将l的参数方程代入C的普通方程得

5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，

显然l与C有两个交点，

分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程．

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．

解：

（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），普通方程为x2＋＝1，

曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3，

即ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.

（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，

即＝，

当且仅当α＝2kπ＋（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，

此时P.

4．（2018·贵阳适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：

（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）过点M（－1,0）且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．

解：

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1，

由ρcos＝－1，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

（2）直线l1的参数方程为（t为参数），将其代入＋y2＝1中，

化简得2t2－t－2＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝，t1t2＝－1，

所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝.

5．（2018·福州四校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解：

（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），得曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝（ρ∈R）（tanθ＝）．

（2）由得ρ2－（2＋2）ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

6．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C.

（1）求证：

|OB|＋|OC|＝|OA|；

（2）当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

解：

（1）证明：

设点A，B，C的极坐标分别为（ρ1，φ），，，

因为点A，B，C在曲线C1上，

所以ρ1＝4cosφ，ρ2＝4cos，ρ3＝4cos，

所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos＋4cos＝4cosφ＝ρ1，

故|OB|＋|OC|＝|OA|.

（2）由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点（m,0）且倾斜角为α的直线．

当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为2，，2，－，

化为直角坐标为B（1，），C（3，－），

所以tanα＝＝－，又0≤α＜π，所以α＝.

故曲线C2的方程为y＝－（x－2），易知曲线C2恒过点（2,0），即m＝2.

7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：

ρ＝4cosθ.直线l与曲线C1相切．

（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．

（2）已知点Q（2,0），直线l与曲线C2：

x2＋＝1交于A，B两点，求△ABQ的面积．

解：

（1）曲线C1：

ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即C1：

（x－2）2＋y2＝4，可得圆心（2,0），半径r＝2，

直线l的参数方程为（t为参数），其中0≤α＜π，由题意l与C1相切，可得普通方程为y－＝k（x－1），k＝tanα，0≤α＜π且α≠，

因为直线l与曲线C1相切，所以＝2，

所以k＝，所以α＝.

（2）直线l的方程为y＝x＋，

代入曲线C2：

x2＋＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，

所以|AB|＝·＝，

Q到直线的距离d＝＝2，

所以△ABQ的面积S＝××2＝.

8．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

（1）求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．

解：

（1）由（t为参数），得L的普通方程为2x＋y－6＝0，

令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得直线L的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ－6＝0，

由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.

（2）由

（1），知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，

设曲线C上任意一点P（cosα，2sinα），

则点P到直线L的距离d＝.

由题意得|PA|＝＝，

所以当sin＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.